1. 下面图形能够验证勾股定理的有
①
③
①②③
（填序号）.①
③答案：1. ①②③
解析：
【分析】
要判断图形能否验证勾股定理，核心思路是用两种不同的方法表示同一图形的面积，再对等式化简，若能推导出$a^2+b^2=c^2$即可验证。我们依次对三个图形用面积法分析即可。
【解析】
1. 对图①：
大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；
同时大正方形面积 = 边长为$c$的小正方形面积 + 4个直角边为$a,b$的直角三角形面积，即：
$(a+b)^2 = c^2 + 4×\frac{1}{2}ab$
展开化简得：$a^2+2ab+b^2 = c^2+2ab$，即$a^2+b^2=c^2$，可以验证勾股定理。
2. 对图②：
大正方形边长为$c$，面积为$c^2$；
同时大正方形面积 = 边长为$b-a$的小正方形面积 + 4个直角边为$a,b$的直角三角形面积，即：
$c^2 = (b-a)^2 + 4×\frac{1}{2}ab$
展开化简得：$c^2 = a^2-2ab+b^2+2ab$，即$a^2+b^2=c^2$，可以验证勾股定理。
3. 对图③：
该图形是梯形，上底为$a$，下底为$b$，高为$a+b$，面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$；
同时梯形面积 = 2个直角边为$a,b$的直角三角形面积 + 1个直角边为$c$的直角三角形面积，即：
$\frac{1}{2}(a+b)^2 = 2×\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2$
两边同乘2化简得：$a^2+2ab+b^2 = 2ab + c^2$，即$a^2+b^2=c^2$，可以验证勾股定理。
综上，①②③均可验证勾股定理。
【答案】
①②③
【知识点】
勾股定理的验证；面积法；整式化简
【点评】
本题考查勾股定理的验证方法，解题关键是掌握“面积法”的核心：用两种方式表示同一个图形的面积，构造等式后化简推导结论，体现了数形结合的数学思想，三类图形都是勾股定理验证的经典模型。
【难度系数】
0.7
要判断图形能否验证勾股定理，核心思路是用两种不同的方法表示同一图形的面积，再对等式化简，若能推导出$a^2+b^2=c^2$即可验证。我们依次对三个图形用面积法分析即可。
【解析】
1. 对图①：
大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；
同时大正方形面积 = 边长为$c$的小正方形面积 + 4个直角边为$a,b$的直角三角形面积，即：
$(a+b)^2 = c^2 + 4×\frac{1}{2}ab$
展开化简得：$a^2+2ab+b^2 = c^2+2ab$，即$a^2+b^2=c^2$，可以验证勾股定理。
2. 对图②：
大正方形边长为$c$，面积为$c^2$；
同时大正方形面积 = 边长为$b-a$的小正方形面积 + 4个直角边为$a,b$的直角三角形面积，即：
$c^2 = (b-a)^2 + 4×\frac{1}{2}ab$
展开化简得：$c^2 = a^2-2ab+b^2+2ab$，即$a^2+b^2=c^2$，可以验证勾股定理。
3. 对图③：
该图形是梯形，上底为$a$，下底为$b$，高为$a+b$，面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$；
同时梯形面积 = 2个直角边为$a,b$的直角三角形面积 + 1个直角边为$c$的直角三角形面积，即：
$\frac{1}{2}(a+b)^2 = 2×\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2$
两边同乘2化简得：$a^2+2ab+b^2 = 2ab + c^2$，即$a^2+b^2=c^2$，可以验证勾股定理。
综上，①②③均可验证勾股定理。
【答案】
①②③
【知识点】
勾股定理的验证；面积法；整式化简
【点评】
本题考查勾股定理的验证方法，解题关键是掌握“面积法”的核心：用两种方式表示同一个图形的面积，构造等式后化简推导结论，体现了数形结合的数学思想，三类图形都是勾股定理验证的经典模型。
【难度系数】
0.7
2. 如图，若四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则中间小正方形的对角线长为
（第2题）
$\sqrt{2}$
。（第2题）答案：2. $\sqrt{2}$
解析：
【分析】
解题时首先观察图形特征，明确小正方形的边长与直角三角形直角边的关系：因为四个直角三角形全等，所以小正方形的边长等于直角三角形较长直角边减去较短直角边；得到小正方形边长后，再利用勾股定理计算小正方形的对角线长度即可。
【解析】
已知全等直角三角形的两条直角边长分别为3和4，观察图形可得：
1. 中间小正方形的边长 = 较长直角边 - 较短直角边 = $4 - 3 = 1$；
2. 小正方形的对角线与它的两条邻边构成等腰直角三角形，根据勾股定理，对角线长为$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题侧重考查图形观察能力和勾股定理的基础应用，解题的核心是找到小正方形边长和已知直角三角形边长的关系，是勾股定理应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征，明确小正方形的边长与直角三角形直角边的关系：因为四个直角三角形全等，所以小正方形的边长等于直角三角形较长直角边减去较短直角边；得到小正方形边长后，再利用勾股定理计算小正方形的对角线长度即可。
【解析】
已知全等直角三角形的两条直角边长分别为3和4，观察图形可得：
1. 中间小正方形的边长 = 较长直角边 - 较短直角边 = $4 - 3 = 1$；
2. 小正方形的对角线与它的两条邻边构成等腰直角三角形，根据勾股定理，对角线长为$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题侧重考查图形观察能力和勾股定理的基础应用，解题的核心是找到小正方形边长和已知直角三角形边长的关系，是勾股定理应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=2$. 以$AB$为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是
20
.答案：3. 20
解析：
【分析】
要计算正方形的面积，首先明确正方形的边长为AB，正方形面积等于边长的平方，即$AB^2$。观察到$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，已知两条直角边AC、BC的长度，因此可以直接用勾股定理求出$AB^2$，无需计算AB的具体长度，即可得到正方形的面积。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2$
将$AC=4$，$BC=2$代入上式：
$AB^2=4^2+2^2=16+4=20$
因为正方形以AB为边，所以正方形的面积$=AB^2=20$。
【答案】
20
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题时不需要求出AB的实际长度，直接通过勾股定理得到边长的平方即可算出正方形面积，简化了计算步骤。
【难度系数】
0.9
要计算正方形的面积，首先明确正方形的边长为AB，正方形面积等于边长的平方，即$AB^2$。观察到$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，已知两条直角边AC、BC的长度，因此可以直接用勾股定理求出$AB^2$，无需计算AB的具体长度，即可得到正方形的面积。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2$
将$AC=4$，$BC=2$代入上式：
$AB^2=4^2+2^2=16+4=20$
因为正方形以AB为边，所以正方形的面积$=AB^2=20$。
【答案】
20
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题时不需要求出AB的实际长度，直接通过勾股定理得到边长的平方即可算出正方形面积，简化了计算步骤。
【难度系数】
0.9
4. 如图是由四个全等的直角三角形构成的图形，设 $ CE = 7 $，$ HG = 1 $，则斜边 $ BD $ 的长是
5
.答案：4. 5
解析：
【分析】
首先观察图形，四个直角三角形全等，因此它们的对应直角边长度相等。我们可以设直角三角形的短直角边长为x，长直角边长为y：①线段CE是两条直角边的和，即x+y=7；②线段HG是中间小正方形的边长，等于长直角边减短直角边，即y-x=1。联立方程求出x、y的值后，再在Rt△BCD中利用勾股定理计算斜边BD的长度即可。
【解析】
设全等直角三角形的短直角边长为x，长直角边长为y。
根据题意可得：
$\begin{cases}x + y = 7 \\y - x = 1\end{cases}$
解方程组：两式相加得$2y=8$，解得$y=4$，代入得$x=3$。
在Rt△BCD中，两条直角边长度分别为3和4，根据勾股定理：
$BD^2 = x^2 + y^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
因此$BD=\sqrt{25}=5$（边长为正数，舍去负根）。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理；全等三角形的性质
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题的关键是结合图形特征，找到已知线段长度和直角三角形直角边的数量关系，通过设未知数列方程求出直角边长后即可用勾股定理求解斜边。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，四个直角三角形全等，因此它们的对应直角边长度相等。我们可以设直角三角形的短直角边长为x，长直角边长为y：①线段CE是两条直角边的和，即x+y=7；②线段HG是中间小正方形的边长，等于长直角边减短直角边，即y-x=1。联立方程求出x、y的值后，再在Rt△BCD中利用勾股定理计算斜边BD的长度即可。
【解析】
设全等直角三角形的短直角边长为x，长直角边长为y。
根据题意可得：
$\begin{cases}x + y = 7 \\y - x = 1\end{cases}$
解方程组：两式相加得$2y=8$，解得$y=4$，代入得$x=3$。
在Rt△BCD中，两条直角边长度分别为3和4，根据勾股定理：
$BD^2 = x^2 + y^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
因此$BD=\sqrt{25}=5$（边长为正数，舍去负根）。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理；全等三角形的性质
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题的关键是结合图形特征，找到已知线段长度和直角三角形直角边的数量关系，通过设未知数列方程求出直角边长后即可用勾股定理求解斜边。
【难度系数】
0.7
5. 如图，$a=3$，$b=4$，阴影部分的面积为 （
A.5
B.25
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{25}{2}$
D
）A.5
B.25
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{25}{2}$
答案：5. D
解析：
【分析】
要求阴影部分的面积，有两种常见思路：一是用割补法，先计算整个直角梯形的总面积，再减去两个空白直角三角形的面积和，剩余部分就是阴影面积；二是先判断阴影三角形的形状，结合角的关系可推出它是直角三角形，再用勾股定理求出直角边长度，直接计算三角形面积。两种方法均符合所学知识，其中割补法计算更简便。
【解析】
我们用割补法求解：
1. 计算直角梯形的面积：梯形的上底长为$a=3$，下底长为$b=4$，高为$a+b=3+4=7$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，可得：
$S_{梯形}=\frac{1}{2}×(3+4)×7=\frac{49}{2}$
2. 计算两个空白直角三角形的面积和：每个空白直角三角形的两条直角边分别为3和4，单个空白三角形面积为$\frac{1}{2}×3×4=6$，则两个空白三角形的面积和为$2×6=12=\frac{24}{2}$
3. 阴影部分面积等于梯形面积减去空白面积和：
$S_{阴影}=\frac{49}{2}-\frac{24}{2}=\frac{25}{2}$
也可直接计算：先由勾股定理得空白三角形斜边$c=\sqrt{3^2+4^2}=5$，再通过角的互余关系证明阴影三角形是直角三角形，两条直角边均为$c=5$，则$S_{阴影}=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；割补法求面积；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查几何图形的面积计算和勾股定理的应用，解题思路灵活，既可以用间接的割补法求解，也可以通过分析图形特征直接计算，能很好地锻炼学生的图形观察和分析能力。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，有两种常见思路：一是用割补法，先计算整个直角梯形的总面积，再减去两个空白直角三角形的面积和，剩余部分就是阴影面积；二是先判断阴影三角形的形状，结合角的关系可推出它是直角三角形，再用勾股定理求出直角边长度，直接计算三角形面积。两种方法均符合所学知识，其中割补法计算更简便。
【解析】
我们用割补法求解：
1. 计算直角梯形的面积：梯形的上底长为$a=3$，下底长为$b=4$，高为$a+b=3+4=7$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，可得：
$S_{梯形}=\frac{1}{2}×(3+4)×7=\frac{49}{2}$
2. 计算两个空白直角三角形的面积和：每个空白直角三角形的两条直角边分别为3和4，单个空白三角形面积为$\frac{1}{2}×3×4=6$，则两个空白三角形的面积和为$2×6=12=\frac{24}{2}$
3. 阴影部分面积等于梯形面积减去空白面积和：
$S_{阴影}=\frac{49}{2}-\frac{24}{2}=\frac{25}{2}$
也可直接计算：先由勾股定理得空白三角形斜边$c=\sqrt{3^2+4^2}=5$，再通过角的互余关系证明阴影三角形是直角三角形，两条直角边均为$c=5$，则$S_{阴影}=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；割补法求面积；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查几何图形的面积计算和勾股定理的应用，解题思路灵活，既可以用间接的割补法求解，也可以通过分析图形特征直接计算，能很好地锻炼学生的图形观察和分析能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形围成. 若 $AC=12$，$BC=7$，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，可以得到如图所示的“数学风车”，则这个“风车”的外围周长是
148
。答案：6. 148
解析：
【分析】
要求“数学风车”的外围周长，首先需要明确构成外围的线段组成：向外延长边长为12的直角边一倍后，每个突出部分对应一个直角三角形，我们可以先利用勾股定理求出该直角三角形的斜边长，再结合延长的线段长度，计算出一组外围边的长度，最后乘4即可得到总周长。
【解析】
解：由题意可知，将边长为12的直角边向外延长一倍后，新的长直角边长度为 $12 × 2 = 24$，另一条直角边长为 $BC=7$。
根据勾股定理，每个突出的直角三角形的斜边长为：
$\sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$
观察图形可知，风车的外围由4组“斜边+长度为12的延长线段”组成，因此总周长为：
$4 × (25 + 12) = 4 × 37 = 148$
【答案】
148
【知识点】
勾股定理，周长计算
【点评】
本题结合传统数学文化“赵爽弦图”出题，解题的关键是正确分析外围周长的线段构成，熟练运用勾股定理计算边长，做题时要注意观察图形，避免漏算延长的12长度的线段。
【难度系数】
0.7
要求“数学风车”的外围周长，首先需要明确构成外围的线段组成：向外延长边长为12的直角边一倍后，每个突出部分对应一个直角三角形，我们可以先利用勾股定理求出该直角三角形的斜边长，再结合延长的线段长度，计算出一组外围边的长度，最后乘4即可得到总周长。
【解析】
解：由题意可知，将边长为12的直角边向外延长一倍后，新的长直角边长度为 $12 × 2 = 24$，另一条直角边长为 $BC=7$。
根据勾股定理，每个突出的直角三角形的斜边长为：
$\sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$
观察图形可知，风车的外围由4组“斜边+长度为12的延长线段”组成，因此总周长为：
$4 × (25 + 12) = 4 × 37 = 148$
【答案】
148
【知识点】
勾股定理，周长计算
【点评】
本题结合传统数学文化“赵爽弦图”出题，解题的关键是正确分析外围周长的线段构成，熟练运用勾股定理计算边长，做题时要注意观察图形，避免漏算延长的12长度的线段。
【难度系数】
0.7