7. 图①是由三个正方形和一个直角三角形构成的图形，可以用其面积关系验证勾股定理. 图②是把图①放入一个长方形内得到的，$∠ BAC=90°$，$AB=3$，$AC=4$，点$D$，$E$，$F$，$G$，$H$，$I$都在长方形$KLMJ$的边上，则长方形$KLMJ$的面积为
110
.答案：7. 110
解析：
【分析】
首先已知△ABC是直角三角形，两条直角边长分别为3和4，可先用勾股定理求出斜边BC的长度。要计算长方形KLMJ的面积，需要先求出它的长和宽：观察图形可知，长方形的边由正方形的边和与△ABC全等的小直角三角形的直角边组成，我们可以通过角的互余关系证明图中小直角三角形都与△ABC全等，得到对应边的长度，再拼接求出长方形的长和宽，最后计算面积即可。
【解析】
解：
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴根据勾股定理得，$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
观察图形，结合正方形性质和角的互余关系，可证得图中所有小直角三角形都与△ABC全等（AAS），对应直角边长分别为3和4。
由此可得长方形KLMJ的长为$3+4+4=11$，宽为$3+4+3=10$，
则长方形的面积为$11×10=110$。
【答案】
110
【知识点】
勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质
【点评】
本题需要结合图形特征，通过角的关系推导全等三角形，进而得到长方形边长与已知线段的关系，对图形观察能力和知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先已知△ABC是直角三角形，两条直角边长分别为3和4，可先用勾股定理求出斜边BC的长度。要计算长方形KLMJ的面积，需要先求出它的长和宽：观察图形可知，长方形的边由正方形的边和与△ABC全等的小直角三角形的直角边组成，我们可以通过角的互余关系证明图中小直角三角形都与△ABC全等，得到对应边的长度，再拼接求出长方形的长和宽，最后计算面积即可。
【解析】
解：
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴根据勾股定理得，$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
观察图形，结合正方形性质和角的互余关系，可证得图中所有小直角三角形都与△ABC全等（AAS），对应直角边长分别为3和4。
由此可得长方形KLMJ的长为$3+4+4=11$，宽为$3+4+3=10$，
则长方形的面积为$11×10=110$。
【答案】
110
【知识点】
勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质
【点评】
本题需要结合图形特征，通过角的关系推导全等三角形，进而得到长方形边长与已知线段的关系，对图形观察能力和知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
8.（1）图①是由20个边长为1的正方形组成的，把它按图①的分割方法分割成五部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图②中画出拼接成的大正方形.
（2）如果（1）中分割成的直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c.请你利用图②证明勾股定理.
（2）如果（1）中分割成的直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c.请你利用图②证明勾股定理.
答案：
8.（1）如图所示即为拼接成的大正方形
（2）$S_{大正方形}=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2=a^2+b^2$,而$S_{大正方形}=c^2,∴ a^2+b^2=c^2$
8.（1）如图所示即为拼接成的大正方形
（2）$S_{大正方形}=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2=a^2+b^2$,而$S_{大正方形}=c^2,∴ a^2+b^2=c^2$
解析：
【分析】
（1）首先计算原图形总面积：20个边长为1的正方形总面积为$20×1^2=20$，因此拼接后大正方形的面积为20，边长为$\sqrt{20}$，恰好等于分割所得直角三角形的斜边长$c$。拼接时将4个直角三角形的斜边作为大正方形的边依次摆放，中间空缺部分放入剩余的小正方形块，即可完成拼接。
（2）证明勾股定理采用面积法：用两种方式表示大正方形的面积，一种直接以斜边$c$为边长计算得$c^2$；另一种将大正方形拆分为4个全等直角三角形和中间的小正方形，分别计算面积求和，令两个面积表达式相等，化简后即可得到$a^2+b^2=c^2$。
【解析】
（1）原图形总面积为20，故拼接的大正方形面积为20，边长为$\sqrt{20}$。将四个直角三角形的斜边朝外对应大正方形的四条边摆放，中间剩余区域放入剩下的小正方形，即可得到符合要求的大正方形。
（2）证明：
拼接后大正方形的面积有两种表示方法：
① 大正方形边长为斜边$c$，因此$S_{大正方形}=c^2$；
② 大正方形由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成，每个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，中间小正方形边长为$b-a$，面积为$(b-a)^2$，因此$S_{大正方形}=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$。
化简第二种表达式：
$4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2=a^2+b^2$
由于两个表达式均表示大正方形的面积，因此$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
【答案】
（1）如图所示即为拼接成的大正方形
（2）$S_{大正方形}=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2=a^2+b^2$，而$S_{大正方形}=c^2$，$∴ a^2+b^2=c^2$
【知识点】
图形剪拼，勾股定理，面积法
【点评】
本题结合图形剪拼考察勾股定理的推导，通过数形结合的思想，利用面积相等建立等式，既锻炼了图形操作能力，也加深了对勾股定理推导逻辑的理解。
【难度系数】
0.6
（1）首先计算原图形总面积：20个边长为1的正方形总面积为$20×1^2=20$，因此拼接后大正方形的面积为20，边长为$\sqrt{20}$，恰好等于分割所得直角三角形的斜边长$c$。拼接时将4个直角三角形的斜边作为大正方形的边依次摆放，中间空缺部分放入剩余的小正方形块，即可完成拼接。
（2）证明勾股定理采用面积法：用两种方式表示大正方形的面积，一种直接以斜边$c$为边长计算得$c^2$；另一种将大正方形拆分为4个全等直角三角形和中间的小正方形，分别计算面积求和，令两个面积表达式相等，化简后即可得到$a^2+b^2=c^2$。
【解析】
（1）原图形总面积为20，故拼接的大正方形面积为20，边长为$\sqrt{20}$。将四个直角三角形的斜边朝外对应大正方形的四条边摆放，中间剩余区域放入剩下的小正方形，即可得到符合要求的大正方形。
（2）证明：
拼接后大正方形的面积有两种表示方法：
① 大正方形边长为斜边$c$，因此$S_{大正方形}=c^2$；
② 大正方形由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成，每个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，中间小正方形边长为$b-a$，面积为$(b-a)^2$，因此$S_{大正方形}=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$。
化简第二种表达式：
$4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2=a^2+b^2$
由于两个表达式均表示大正方形的面积，因此$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
【答案】
（1）如图所示即为拼接成的大正方形
（2）$S_{大正方形}=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2=a^2+b^2$，而$S_{大正方形}=c^2$，$∴ a^2+b^2=c^2$
【知识点】
图形剪拼，勾股定理，面积法
【点评】
本题结合图形剪拼考察勾股定理的推导，通过数形结合的思想，利用面积相等建立等式，既锻炼了图形操作能力，也加深了对勾股定理推导逻辑的理解。
【难度系数】
0.6
9. 意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图①的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，图③的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成。设图①中空白部分的面积为 $ S_1 $，图③中空白部分的面积为 $ S_2 $。
（1）请用含 $ a $，$ b $，$ c $ 的代数式分别表示 $ S_1 $，$ S_2 $；
（2）达·芬奇是如何利用该方法证明勾股定理的？
（1）请用含 $ a $，$ b $，$ c $ 的代数式分别表示 $ S_1 $，$ S_2 $；
（2）达·芬奇是如何利用该方法证明勾股定理的？
答案：9. （1）根据题意得，图①中空白部分的面积$S_1=a^2+b^2+2×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$,图③中空白部分的面积$S_2=c^2+2×\frac{1}{2}ab=c^2+ab$
（2）由$S_1=S_2$,得$a^2+b^2+ab=c^2+ab,∴ a^2+b^2=c^2$
（2）由$S_1=S_2$,得$a^2+b^2+ab=c^2+ab,∴ a^2+b^2=c^2$
解析：
【分析】
（1）求$S_1$时，先明确图①空白部分的构成：边长为$a$的正方形、边长为$b$的正方形，以及2个直角边分别为$a$、$b$的全等直角三角形，分别计算各部分面积相加即可；求$S_2$时，图③空白部分为边长为$c$的正方形加2个和上述完全相同的直角三角形，同样相加得到面积表达式。
（2）证明勾股定理的核心是确定$S_1$和$S_2$的等量关系：图形仅经过剪开、翻转操作，总图形面积和阴影部分面积都没有变化，因此空白部分面积相等，将两个面积表达式联立化简即可得到勾股定理。
【解析】
（1）图①的空白部分由1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形、2个直角边为$a,b$的直角三角形组成，因此：
$S_1=a^2+b^2+2×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$
图③的空白部分由1个边长为$c$的正方形、2个和上述全等的直角边为$a,b$的直角三角形组成，因此：
$S_2=c^2+2×\frac{1}{2}ab=c^2+ab$
（2）由于图形操作过程中总面积和阴影面积均不变，因此空白部分面积相等，即$S_1=S_2$，代入得：
$a^2+b^2+ab=c^2+ab$
两边同时减去$ab$，可得$a^2+b^2=c^2$，即证明了勾股定理。
【答案】
（1）$S_1=a^2+b^2+ab$，$S_2=c^2+ab$；
（2）由$S_1=S_2$，得$a^2+b^2+ab=c^2+ab$，因此$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
【知识点】
勾股定理的证明，面积法计算，翻折的性质
【点评】
本题通过剪拼图形的方式推导勾股定理，将几何图形变换和代数运算结合，直观展现了勾股定理的推导逻辑，考查了对图形面积不变性的理解和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
（1）求$S_1$时，先明确图①空白部分的构成：边长为$a$的正方形、边长为$b$的正方形，以及2个直角边分别为$a$、$b$的全等直角三角形，分别计算各部分面积相加即可；求$S_2$时，图③空白部分为边长为$c$的正方形加2个和上述完全相同的直角三角形，同样相加得到面积表达式。
（2）证明勾股定理的核心是确定$S_1$和$S_2$的等量关系：图形仅经过剪开、翻转操作，总图形面积和阴影部分面积都没有变化，因此空白部分面积相等，将两个面积表达式联立化简即可得到勾股定理。
【解析】
（1）图①的空白部分由1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形、2个直角边为$a,b$的直角三角形组成，因此：
$S_1=a^2+b^2+2×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$
图③的空白部分由1个边长为$c$的正方形、2个和上述全等的直角边为$a,b$的直角三角形组成，因此：
$S_2=c^2+2×\frac{1}{2}ab=c^2+ab$
（2）由于图形操作过程中总面积和阴影面积均不变，因此空白部分面积相等，即$S_1=S_2$，代入得：
$a^2+b^2+ab=c^2+ab$
两边同时减去$ab$，可得$a^2+b^2=c^2$，即证明了勾股定理。
【答案】
（1）$S_1=a^2+b^2+ab$，$S_2=c^2+ab$；
（2）由$S_1=S_2$，得$a^2+b^2+ab=c^2+ab$，因此$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
【知识点】
勾股定理的证明，面积法计算，翻折的性质
【点评】
本题通过剪拼图形的方式推导勾股定理，将几何图形变换和代数运算结合，直观展现了勾股定理的推导逻辑，考查了对图形面积不变性的理解和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7