10. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知$AD=4\ \mathrm{m}$，$CD=3\ \mathrm{m}$，$∠ ADC=90°$，$AB=13\ \mathrm{m}$，$BC=12\ \mathrm{m}$，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米30元，用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？
答案：10. 连接$AC$,在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$\because AC^2=CD^2+AD^2=3^2+4^2=25$,$\therefore AC=5$. $\because AC^2+BC^2=5^2+12^2=169$,$AB^2=13^2=169$,$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$,$\therefore ∠ ACB=90°$,该区域面积$=S_{△ ACB}-S_{△ ACD}=30-6=24(\mathrm{m}^2)$,铺满这块空地共需花费$=24× 30=720$(元)
解析：
【分析】
要计算铺满空地的总花费，首先需要求出空地的面积，空地是不规则图形，我们可以通过连接辅助线AC，将其转化为两个三角形的面积差求解。第一步先在Rt△ADC中，利用勾股定理算出AC的长度；第二步结合AC、BC、AB的长度，用勾股定理的逆定理判断△ACB为直角三角形；第三步计算两个直角三角形的面积差得到空地面积，最后用面积乘每平方米草坪的价格即可得到总花费。
【解析】
解：连接$AC$，
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ ADC=90°$，$AD=4\ \mathrm{m}$，$CD=3\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AC^2=CD^2+AD^2=3^2+4^2=25$，
$\therefore AC=5\ \mathrm{m}$。
在$△ ABC$中，$AC=5\ \mathrm{m}$，$BC=12\ \mathrm{m}$，$AB=13\ \mathrm{m}$，
$\because AC^2+BC^2=5^2+12^2=169$，$AB^2=13^2=169$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$，
由勾股定理的逆定理可得$∠ ACB=90°$，即$△ ACB$是直角三角形。
$\therefore$空地面积$=S_{△ ACB}-S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×3×4=30-6=24(\mathrm{m}^2)$，
总花费$=24×30=720$（元）。
【答案】
铺满这块空地共需花费720元。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；面积计算
【点评】
本题属于勾股定理相关的实际应用题，核心是通过添加辅助线把不规则图形转化为可计算面积的直角三角形组合，解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
要计算铺满空地的总花费，首先需要求出空地的面积，空地是不规则图形，我们可以通过连接辅助线AC，将其转化为两个三角形的面积差求解。第一步先在Rt△ADC中，利用勾股定理算出AC的长度；第二步结合AC、BC、AB的长度，用勾股定理的逆定理判断△ACB为直角三角形；第三步计算两个直角三角形的面积差得到空地面积，最后用面积乘每平方米草坪的价格即可得到总花费。
【解析】
解：连接$AC$，
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ ADC=90°$，$AD=4\ \mathrm{m}$，$CD=3\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AC^2=CD^2+AD^2=3^2+4^2=25$，
$\therefore AC=5\ \mathrm{m}$。
在$△ ABC$中，$AC=5\ \mathrm{m}$，$BC=12\ \mathrm{m}$，$AB=13\ \mathrm{m}$，
$\because AC^2+BC^2=5^2+12^2=169$，$AB^2=13^2=169$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$，
由勾股定理的逆定理可得$∠ ACB=90°$，即$△ ACB$是直角三角形。
$\therefore$空地面积$=S_{△ ACB}-S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×3×4=30-6=24(\mathrm{m}^2)$，
总花费$=24×30=720$（元）。
【答案】
铺满这块空地共需花费720元。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；面积计算
【点评】
本题属于勾股定理相关的实际应用题，核心是通过添加辅助线把不规则图形转化为可计算面积的直角三角形组合，解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
11. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”。
（1）按照这个法则，写出一组勾股数：
（2）用含有k的等式表示“罗士琳法则”并证明。
（1）按照这个法则，写出一组勾股数：
3,4,5
（最大数不超过18）。（2）用含有k的等式表示“罗士琳法则”并证明。
答案：11. （1）3,4,5
（2）当 $k$ 大于 2 时，$k^2+[(\frac{1}{2}k)^2-1]^2=[(\frac{1}{2}k)^2+1]^2$.
证明:$\because$ 左边$=k^2+[(\frac{1}{2}k)^2-1]^2=k^2+[\frac{1}{4}k^2-1]^2=k^2+\frac{1}{16}k^4+1-\frac{1}{2}k^2=\frac{1}{16}k^4+\frac{1}{2}k^2+1$;右边$=[(\frac{1}{2}k)^2+1]^2=[\frac{1}{4}k^2+1]^2=\frac{1}{16}k^4+\frac{1}{2}k^2+1$. $\therefore$ 左边$=$右边,$\therefore$ 等式成立
（2）当 $k$ 大于 2 时，$k^2+[(\frac{1}{2}k)^2-1]^2=[(\frac{1}{2}k)^2+1]^2$.
证明:$\because$ 左边$=k^2+[(\frac{1}{2}k)^2-1]^2=k^2+[\frac{1}{4}k^2-1]^2=k^2+\frac{1}{16}k^4+1-\frac{1}{2}k^2=\frac{1}{16}k^4+\frac{1}{2}k^2+1$;右边$=[(\frac{1}{2}k)^2+1]^2=[\frac{1}{4}k^2+1]^2=\frac{1}{16}k^4+\frac{1}{2}k^2+1$. $\therefore$ 左边$=$右边,$\therefore$ 等式成立
解析：
【分析】
（1）首先读懂“罗士琳法则”：k是大于2的偶数，三个勾股数分别为k、$(\frac{1}{2}k)^2-1$、$(\frac{1}{2}k)^2+1$，且要求最大数不超过18。我们可以先选取满足条件的偶数k=4，代入计算即可得到符合要求的勾股数。
（2）根据勾股数的定义，勾股数中两个较小数的平方和等于最大数的平方，先判断三个数中最大的是$(\frac{1}{2}k)^2+1$，因此列出对应等式，再利用完全平方公式分别展开化简等式左右两边，验证两边相等即可完成证明。
【解析】
（1）取大于2的偶数$k=4$，代入计算得：$(\frac{1}{2}×4)^2-1=3$，$(\frac{1}{2}×4)^2+1=5$，即可得到一组勾股数。
（2）先写出表示法则的等式，再分别化简左右两边：
左边$=k^2+[(\frac{1}{2}k)^2-1]^2=k^2+(\frac{1}{4}k^2-1)^2=k^2+\frac{1}{16}k^4+1-\frac{1}{2}k^2=\frac{1}{16}k^4+\frac{1}{2}k^2+1$
右边$=[(\frac{1}{2}k)^2+1]^2=(\frac{1}{4}k^2+1)^2=\frac{1}{16}k^4+\frac{1}{2}k^2+1$
可得左边=右边，等式成立。
【答案】
（1）3,4,5（答案不唯一）
（2）当$k$大于2时，$k^2+[(\frac{1}{2}k)^2-1]^2=[(\frac{1}{2}k)^2+1]^2$，证明见解析。
【知识点】
1. 勾股数
2. 完全平方公式
3. 代数式化简
【点评】
本题结合传统数学文化考查勾股数相关知识，既需要读懂给定法则完成举例，又需要掌握整式运算验证等式，兼顾了对阅读理解能力和代数运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
（1）首先读懂“罗士琳法则”：k是大于2的偶数，三个勾股数分别为k、$(\frac{1}{2}k)^2-1$、$(\frac{1}{2}k)^2+1$，且要求最大数不超过18。我们可以先选取满足条件的偶数k=4，代入计算即可得到符合要求的勾股数。
（2）根据勾股数的定义，勾股数中两个较小数的平方和等于最大数的平方，先判断三个数中最大的是$(\frac{1}{2}k)^2+1$，因此列出对应等式，再利用完全平方公式分别展开化简等式左右两边，验证两边相等即可完成证明。
【解析】
（1）取大于2的偶数$k=4$，代入计算得：$(\frac{1}{2}×4)^2-1=3$，$(\frac{1}{2}×4)^2+1=5$，即可得到一组勾股数。
（2）先写出表示法则的等式，再分别化简左右两边：
左边$=k^2+[(\frac{1}{2}k)^2-1]^2=k^2+(\frac{1}{4}k^2-1)^2=k^2+\frac{1}{16}k^4+1-\frac{1}{2}k^2=\frac{1}{16}k^4+\frac{1}{2}k^2+1$
右边$=[(\frac{1}{2}k)^2+1]^2=(\frac{1}{4}k^2+1)^2=\frac{1}{16}k^4+\frac{1}{2}k^2+1$
可得左边=右边，等式成立。
【答案】
（1）3,4,5（答案不唯一）
（2）当$k$大于2时，$k^2+[(\frac{1}{2}k)^2-1]^2=[(\frac{1}{2}k)^2+1]^2$，证明见解析。
【知识点】
1. 勾股数
2. 完全平方公式
3. 代数式化简
【点评】
本题结合传统数学文化考查勾股数相关知识，既需要读懂给定法则完成举例，又需要掌握整式运算验证等式，兼顾了对阅读理解能力和代数运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
12. 如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A按逆时针方向旋转后得到△P'AB，求PP'的长和∠APB的大小.
答案：12. $\because △ ABC$ 是等边三角形,$\therefore ∠ CAB=60°$. $\because △ PAC$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转后得到$△ P'AB$,$\therefore ∠ PAP'=∠ CAB=60°,AP=AP',P'B=PC=10$,$\therefore △ APP'$ 是等边三角形. $\therefore PP'=AP=6$,$∠ APP'=60°$. $\because PB^2+PP'^2=8^2+6^2=100=P'B^2$,$\therefore △ BPP'$ 是直角三角形. $\therefore ∠ P'PB=90°$,$\therefore ∠ APB=∠ APP'+∠ P'PB=150°$
解析：
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：1. 先利用旋转的性质，确定旋转前后的对应边、对应角关系，结合等边三角形内角为60°的特征，可得旋转角∠PAP'=60°，且AP=AP'，由此判定△APP'是等边三角形，就能直接求出PP'的长度；2. 已知PA=6、PB=8、PC=10，结合旋转后P'B=PC，可得到△BPP'的三边长，观察三边长符合勾股数特征，用勾股定理逆定理判断△BPP'是直角三角形，得到∠P'PB的度数；3. 最后将∠APP'与∠P'PB相加，即可求出∠APB的大小。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠CAB=60°。
∵ △PAC绕点A按逆时针方向旋转后得到△P'AB，
∴ ∠PAP'=∠CAB=60°，AP=AP'，P'B=PC=10，
∴ △APP'是等边三角形，
∴ PP'=AP=6，∠APP'=60°。
∵ $PB^2+PP'^2=8^2+6^2=100=10^2=P'B^2$，
∴ △BPP'是直角三角形，且∠P'PB=90°，
∴ ∠APB=∠APP'+∠P'PB=60°+90°=150°。
【答案】
PP'的长为6，∠APB的大小为150°
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是旋转与特殊三角形结合的典型题型，通过旋转将原本分散的三条线段转化到同一个三角形中，结合等边三角形性质和勾股定理逆定理即可求解，解题时要注意准确应用旋转的性质。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路逐步推导：1. 先利用旋转的性质，确定旋转前后的对应边、对应角关系，结合等边三角形内角为60°的特征，可得旋转角∠PAP'=60°，且AP=AP'，由此判定△APP'是等边三角形，就能直接求出PP'的长度；2. 已知PA=6、PB=8、PC=10，结合旋转后P'B=PC，可得到△BPP'的三边长，观察三边长符合勾股数特征，用勾股定理逆定理判断△BPP'是直角三角形，得到∠P'PB的度数；3. 最后将∠APP'与∠P'PB相加，即可求出∠APB的大小。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠CAB=60°。
∵ △PAC绕点A按逆时针方向旋转后得到△P'AB，
∴ ∠PAP'=∠CAB=60°，AP=AP'，P'B=PC=10，
∴ △APP'是等边三角形，
∴ PP'=AP=6，∠APP'=60°。
∵ $PB^2+PP'^2=8^2+6^2=100=10^2=P'B^2$，
∴ △BPP'是直角三角形，且∠P'PB=90°，
∴ ∠APB=∠APP'+∠P'PB=60°+90°=150°。
【答案】
PP'的长为6，∠APB的大小为150°
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是旋转与特殊三角形结合的典型题型，通过旋转将原本分散的三条线段转化到同一个三角形中，结合等边三角形性质和勾股定理逆定理即可求解，解题时要注意准确应用旋转的性质。
【难度系数】
0.7