1. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面后还多2 m，当他把绳子的下端拉离旗杆8 m后发现绳子底端刚好接触地面，则旗杆的高为
15
m.答案：1. 15
解析：
【分析】
这是勾股定理的实际应用题，解题时首先要将实际场景抽象为直角三角形模型：旗杆垂直于地面，绳子底端拉离旗杆8m后，旗杆、地面上的8m线段、绳子恰好构成直角三角形。我们可以设旗杆高度为未知数，用含未知数的式子表示绳子长度，再结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设旗杆的高为$ x $ m，则绳子的总长度为$ (x+2) $ m。
由题意可知，旗杆、地面上绳子底端到旗杆底部的8m距离、绳子为直角三角形的三条边，其中旗杆和8m的地面线段为两条直角边，绳子为斜边。
根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）列方程：
$ x^2 + 8^2 = (x+2)^2 $
展开并整理方程：
$ x^2 + 64 = x^2 + 4x + 4 $
消去$ x^2 $后得：$ 4x = 60 $
解得：$ x = 15 $
经检验，结果符合实际场景。
【答案】
15
【知识点】
勾股定理的应用，列方程解应用题
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想解决实际问题的典型题型，解题的核心是正确建立几何模型，准确梳理三条边的数量关系，计算时注意避免展开完全平方时出错。
【难度系数】
0.7
这是勾股定理的实际应用题，解题时首先要将实际场景抽象为直角三角形模型：旗杆垂直于地面，绳子底端拉离旗杆8m后，旗杆、地面上的8m线段、绳子恰好构成直角三角形。我们可以设旗杆高度为未知数，用含未知数的式子表示绳子长度，再结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设旗杆的高为$ x $ m，则绳子的总长度为$ (x+2) $ m。
由题意可知，旗杆、地面上绳子底端到旗杆底部的8m距离、绳子为直角三角形的三条边，其中旗杆和8m的地面线段为两条直角边，绳子为斜边。
根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）列方程：
$ x^2 + 8^2 = (x+2)^2 $
展开并整理方程：
$ x^2 + 64 = x^2 + 4x + 4 $
消去$ x^2 $后得：$ 4x = 60 $
解得：$ x = 15 $
经检验，结果符合实际场景。
【答案】
15
【知识点】
勾股定理的应用，列方程解应用题
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想解决实际问题的典型题型，解题的核心是正确建立几何模型，准确梳理三条边的数量关系，计算时注意避免展开完全平方时出错。
【难度系数】
0.7
2. 如图所示的一段楼梯，$BC=3\ \mathrm{m}$，$AB=5\ \mathrm{m}$，每层楼梯的宽均为$\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，若在楼梯上铺地毯，则至少要用地毯
3√3+4√3
$\mathrm{m}^2$.答案：2. $3\sqrt{3}+4\sqrt{3}$
解析：
【分析】
要计算楼梯铺地毯的面积，首先需要明确地毯总长度的计算方法：观察图形可知，所有竖直台阶的高度之和等于直角边BC的长度，所有水平台阶的长度之和等于另一条直角边AC的长度。因此可先利用勾股定理求出AC的长度，再得到地毯的总长度，最后结合楼梯的宽度计算地毯面积即可。
【解析】
解：由题意可知$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，
根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{m}$，
根据平移的性质，地毯的总长度 = 竖直台阶总高度 + 水平台阶总长度 = $BC+AC=3+4=7\ \mathrm{m}$，
已知楼梯的宽为$\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，因此地毯面积 = 总长度×宽度 = $7×\sqrt{3}=3\sqrt{3}+4\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$3\sqrt{3}+4\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理，平移的应用，面积计算
【点评】
本题是勾股定理结合平移思想的实际应用题，解题核心是通过平移将零散的台阶长度转化为直角三角形两条直角边的长度和，简化计算过程，解题时注意要结合楼梯宽度计算面积，不要只算长度。
【难度系数】
0.7
要计算楼梯铺地毯的面积，首先需要明确地毯总长度的计算方法：观察图形可知，所有竖直台阶的高度之和等于直角边BC的长度，所有水平台阶的长度之和等于另一条直角边AC的长度。因此可先利用勾股定理求出AC的长度，再得到地毯的总长度，最后结合楼梯的宽度计算地毯面积即可。
【解析】
解：由题意可知$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，
根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{m}$，
根据平移的性质，地毯的总长度 = 竖直台阶总高度 + 水平台阶总长度 = $BC+AC=3+4=7\ \mathrm{m}$，
已知楼梯的宽为$\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，因此地毯面积 = 总长度×宽度 = $7×\sqrt{3}=3\sqrt{3}+4\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$3\sqrt{3}+4\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理，平移的应用，面积计算
【点评】
本题是勾股定理结合平移思想的实际应用题，解题核心是通过平移将零散的台阶长度转化为直角三角形两条直角边的长度和，简化计算过程，解题时注意要结合楼梯宽度计算面积，不要只算长度。
【难度系数】
0.7
3. 一个长方形抽屉的底面长4 cm，宽3 cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是 （
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
B
）A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
答案：3. B
解析：
【分析】
要找到贴抽屉底面能放置的最长木棒，首先要明确长方形内部最长的线段是它的对角线，因此本题本质是求长方形底面的对角线长度。我们可以把长方形的长和宽看作直角三角形的两条直角边，对角线看作斜边，用勾股定理即可计算出对角线的长度，也就是木棒的最长长度。
【解析】
当木棒沿长方形底面的对角线放置时，木棒长度最长。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，此处长方形长4cm、宽3cm为直角三角形的两条直角边，对角线为斜边，因此对角线长度为：
$\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$（cm）
即这根木棒最长为5cm，故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用；长方形的性质
【点评】
本题是勾股定理的简单实际应用，解题核心是将生活问题转化为数学问题，明确长方形内最长线段为对角线，再结合勾股定理计算即可，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.9
要找到贴抽屉底面能放置的最长木棒，首先要明确长方形内部最长的线段是它的对角线，因此本题本质是求长方形底面的对角线长度。我们可以把长方形的长和宽看作直角三角形的两条直角边，对角线看作斜边，用勾股定理即可计算出对角线的长度，也就是木棒的最长长度。
【解析】
当木棒沿长方形底面的对角线放置时，木棒长度最长。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，此处长方形长4cm、宽3cm为直角三角形的两条直角边，对角线为斜边，因此对角线长度为：
$\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$（cm）
即这根木棒最长为5cm，故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用；长方形的性质
【点评】
本题是勾股定理的简单实际应用，解题核心是将生活问题转化为数学问题，明确长方形内最长线段为对角线，再结合勾股定理计算即可，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.9
4. 两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8 cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6 cm，10 min之后两只小鼹鼠相距 （
A.100 cm
B.50 cm
C.140 cm
D.80 cm
A
）A.100 cm
B.50 cm
C.140 cm
D.80 cm
答案：4. A
解析：
【分析】
解题时首先明确向北和向东的方向互相垂直，因此两只鼹鼠10分钟后各自挖的路程可作为直角三角形的两条直角边，二者的距离就是这个直角三角形的斜边。解题步骤为：第一步根据路程=速度×时间分别算出两只鼹鼠挖的长度，第二步利用勾股定理计算斜边长度，即二者的距离。
【解析】
解：先计算10分钟后两只小鼹鼠各自挖的距离：
朝北挖的鼹鼠的路程：$8×10=80\ \mathrm{cm}$
朝东挖的鼹鼠的路程：$6×10=60\ \mathrm{cm}$
因为向北和向东的方向互相垂直，所以两只鼹鼠的距离为直角三角形的斜边长，根据勾股定理得：
相距距离$=\sqrt{80^2+60^2}=\sqrt{6400+3600}=\sqrt{10000}=100\ \mathrm{cm}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用；路程计算公式
【点评】
本题是勾股定理结合行程问题的基础应用题，解题的关键是结合实际方向的垂直关系构造直角三角形，再代入对应数据计算即可，解题时也可直接利用6、8、10的勾股数倍数关系快速得到结果。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确向北和向东的方向互相垂直，因此两只鼹鼠10分钟后各自挖的路程可作为直角三角形的两条直角边，二者的距离就是这个直角三角形的斜边。解题步骤为：第一步根据路程=速度×时间分别算出两只鼹鼠挖的长度，第二步利用勾股定理计算斜边长度，即二者的距离。
【解析】
解：先计算10分钟后两只小鼹鼠各自挖的距离：
朝北挖的鼹鼠的路程：$8×10=80\ \mathrm{cm}$
朝东挖的鼹鼠的路程：$6×10=60\ \mathrm{cm}$
因为向北和向东的方向互相垂直，所以两只鼹鼠的距离为直角三角形的斜边长，根据勾股定理得：
相距距离$=\sqrt{80^2+60^2}=\sqrt{6400+3600}=\sqrt{10000}=100\ \mathrm{cm}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用；路程计算公式
【点评】
本题是勾股定理结合行程问题的基础应用题，解题的关键是结合实际方向的垂直关系构造直角三角形，再代入对应数据计算即可，解题时也可直接利用6、8、10的勾股数倍数关系快速得到结果。
【难度系数】
0.85
5. 如图，小明将一张长为20 cm，宽为15 cm的长方形纸(AE＞DE)剪去了一角，量得AB＝3 cm，CD＝4 cm，则剪去的直角三角形的斜边长为 (
A.5 cm
B.12 cm
C.16 cm
D.20 cm
D
)A.5 cm
B.12 cm
C.16 cm
D.20 cm
答案：5. D
解析：
【分析】
遇到剪去一角的不规则多边形求剪去部分边长的问题，可采用补形法，将图形补回原长方形，从而找到剪去的直角三角形的两条直角边长度，再用勾股定理计算斜边。首先明确原长方形长20cm、宽15cm，由AE＞DE可知AE为长、DE为宽；延长AB、DC交于一点，得到的直角三角形就是剪去的部分，先计算两条直角边的长度，再代入勾股定理即可求出斜边。
【解析】
延长AB、DC交于点F，则△BFC为剪去的直角三角形，且∠F=90°。
∵原长方形长为20cm，宽为15cm，AE＞DE，
∴AF=DE=15cm，DF=AE=20cm。
已知AB=3cm，CD=4cm，
∴BF=AF - AB =15 - 3=12cm，CF=DF - CD=20 - 4=16cm。
在Rt△BFC中，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{BF^2+CF^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$cm，
即剪去的直角三角形斜边长为20cm。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，长方形的性质，补形法
【点评】
本题重点考查不规则图形的处理思路，通过补形将未知边长转化为已知线段的差，结合勾股定理求解，解题的核心是正确补全图形，准确找到直角三角形两条直角边的长度。
【难度系数】
0.7
遇到剪去一角的不规则多边形求剪去部分边长的问题，可采用补形法，将图形补回原长方形，从而找到剪去的直角三角形的两条直角边长度，再用勾股定理计算斜边。首先明确原长方形长20cm、宽15cm，由AE＞DE可知AE为长、DE为宽；延长AB、DC交于一点，得到的直角三角形就是剪去的部分，先计算两条直角边的长度，再代入勾股定理即可求出斜边。
【解析】
延长AB、DC交于点F，则△BFC为剪去的直角三角形，且∠F=90°。
∵原长方形长为20cm，宽为15cm，AE＞DE，
∴AF=DE=15cm，DF=AE=20cm。
已知AB=3cm，CD=4cm，
∴BF=AF - AB =15 - 3=12cm，CF=DF - CD=20 - 4=16cm。
在Rt△BFC中，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{BF^2+CF^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$cm，
即剪去的直角三角形斜边长为20cm。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，长方形的性质，补形法
【点评】
本题重点考查不规则图形的处理思路，通过补形将未知边长转化为已知线段的差，结合勾股定理求解，解题的核心是正确补全图形，准确找到直角三角形两条直角边的长度。
【难度系数】
0.7
6. 有一架秋千(图①)，当它静止时，如图②，踏板离地面的垂直高度$DE=1\ \mathrm{m}$，将它往前推送$6\ \mathrm{m}$(即水平距离$BC=6\ \mathrm{m}$)时，踏板离地面的垂直高度$BF=4\ \mathrm{m}$，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索$AD$的长为（
A.$\frac{21}{2}\ \mathrm{m}$
B.$\frac{15}{2}\ \mathrm{m}$
C.$6\ \mathrm{m}$
D.$\frac{9}{2}\ \mathrm{m}$
B
）A.$\frac{21}{2}\ \mathrm{m}$
B.$\frac{15}{2}\ \mathrm{m}$
C.$6\ \mathrm{m}$
D.$\frac{9}{2}\ \mathrm{m}$
答案：6. B
解析：
【分析】
要解决这个问题，首先抓住“秋千绳索长度始终不变”这个核心条件，即$AD=AB$。首先观察图形，四边形$BCEF$是矩形，可先求出$CD$的长度，再设绳索$AD$的长度为未知数，找到$Rt△ ACB$的三边长度，利用勾股定理列方程即可求解。第一步：由矩形性质得$CE=BF$，结合$DE$的长度算出$CD$的长度；第二步：用含未知数的式子表示出$Rt△ ACB$的三边$AC、BC、AB$；第三步：代入勾股定理公式解方程求出绳索长度。
【解析】
设绳索$AD$的长为$x\ \mathrm{m}$，则$AB=AD=x\ \mathrm{m}$。
由题意可知四边形$BCEF$是矩形，因此$CE=BF=4\ \mathrm{m}$。
已知$DE=1\ \mathrm{m}$，则$CD=CE-DE=4-1=3\ \mathrm{m}$，因此$AC=AD-CD=(x-3)\ \mathrm{m}$。
又因为$BC⊥ AE$，所以$△ ACB$是直角三角形，$BC=6\ \mathrm{m}$，根据勾股定理可得：
$AC^2+BC^2=AB^2$
代入得：$(x-3)^2+6^2=x^2$
展开计算：$x^2-6x+9+36=x^2$
化简得：$-6x+45=0$
解得：$x=\frac{15}{2}$
即绳索$AD$的长为$\frac{15}{2}\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，矩形的性质，列方程解应用题
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题的关键是抓住绳索长度不变的隐含条件，理清图中各线段的数量关系，构造直角三角形利用勾股定理建立方程求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先抓住“秋千绳索长度始终不变”这个核心条件，即$AD=AB$。首先观察图形，四边形$BCEF$是矩形，可先求出$CD$的长度，再设绳索$AD$的长度为未知数，找到$Rt△ ACB$的三边长度，利用勾股定理列方程即可求解。第一步：由矩形性质得$CE=BF$，结合$DE$的长度算出$CD$的长度；第二步：用含未知数的式子表示出$Rt△ ACB$的三边$AC、BC、AB$；第三步：代入勾股定理公式解方程求出绳索长度。
【解析】
设绳索$AD$的长为$x\ \mathrm{m}$，则$AB=AD=x\ \mathrm{m}$。
由题意可知四边形$BCEF$是矩形，因此$CE=BF=4\ \mathrm{m}$。
已知$DE=1\ \mathrm{m}$，则$CD=CE-DE=4-1=3\ \mathrm{m}$，因此$AC=AD-CD=(x-3)\ \mathrm{m}$。
又因为$BC⊥ AE$，所以$△ ACB$是直角三角形，$BC=6\ \mathrm{m}$，根据勾股定理可得：
$AC^2+BC^2=AB^2$
代入得：$(x-3)^2+6^2=x^2$
展开计算：$x^2-6x+9+36=x^2$
化简得：$-6x+45=0$
解得：$x=\frac{15}{2}$
即绳索$AD$的长为$\frac{15}{2}\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，矩形的性质，列方程解应用题
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题的关键是抓住绳索长度不变的隐含条件，理清图中各线段的数量关系，构造直角三角形利用勾股定理建立方程求解。
【难度系数】
0.7