1. 已知一直角三角形的一条直角边长为2，斜边长为4，则这个三角形的面积为 （
A.4
B.6
C.2
D.$\sqrt{12}$
D
）A.4
B.6
C.2
D.$\sqrt{12}$
答案：1. D
解析：
【分析】
要求直角三角形的面积，需要先获取两条直角边的长度。本题已经给出一条直角边和斜边的长度，因此第一步先利用勾股定理求出未知的另一条直角边，第二步再代入直角三角形面积公式计算就能得到最终结果。
【解析】
设该直角三角形的另一条直角边长为$ x $，
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$ x^2 + 2^2 = 4^2 $
计算得：$ x^2 = 16 - 4 = 12 $
由于三角形边长为正数，因此$ x = \sqrt{12} $
再根据直角三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}× 直角边× 直角边 $，代入数值计算：
$ S = \frac{1}{2} × 2 × \sqrt{12} = \sqrt{12} $
因此本题选D。
【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，难度较低，只要熟练掌握勾股定理内容和直角三角形面积计算方法，就能顺利求解，计算时注意边长取正根即可。
【难度系数】
0.8
要求直角三角形的面积，需要先获取两条直角边的长度。本题已经给出一条直角边和斜边的长度，因此第一步先利用勾股定理求出未知的另一条直角边，第二步再代入直角三角形面积公式计算就能得到最终结果。
【解析】
设该直角三角形的另一条直角边长为$ x $，
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$ x^2 + 2^2 = 4^2 $
计算得：$ x^2 = 16 - 4 = 12 $
由于三角形边长为正数，因此$ x = \sqrt{12} $
再根据直角三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}× 直角边× 直角边 $，代入数值计算：
$ S = \frac{1}{2} × 2 × \sqrt{12} = \sqrt{12} $
因此本题选D。
【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，难度较低，只要熟练掌握勾股定理内容和直角三角形面积计算方法，就能顺利求解，计算时注意边长取正根即可。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，则边$AB$上的中线$CD$的长为 （
A.$\dfrac{3}{2}$
B.$2$
C.$\dfrac{5}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{34}}{2}$
C
）A.$\dfrac{3}{2}$
B.$2$
C.$\dfrac{5}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{34}}{2}$
答案：2. C
解析：
【分析】
首先观察题目已知条件，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，已知两条直角边AC、BC的长度，要求斜边AB上的中线CD。解题思路分两步走：第一步，利用勾股定理计算出斜边AB的长度；第二步，根据直角三角形斜边中线的性质，即可求出CD的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
根据勾股定理可得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$，
∵CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是基础类题型，重点考查勾股定理和直角三角形的性质应用，解题时先通过勾股定理求出斜边长度，再结合斜边中线性质就能快速得出结果，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
首先观察题目已知条件，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，已知两条直角边AC、BC的长度，要求斜边AB上的中线CD。解题思路分两步走：第一步，利用勾股定理计算出斜边AB的长度；第二步，根据直角三角形斜边中线的性质，即可求出CD的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
根据勾股定理可得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$，
∵CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是基础类题型，重点考查勾股定理和直角三角形的性质应用，解题时先通过勾股定理求出斜边长度，再结合斜边中线性质就能快速得出结果，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
3. 如图，以单位长度为边长画一个正方形，正方形的两个顶点分别在数轴上1和2对应的点，以1对应的点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点A，B. 设点A，B表示的数分别为a，b，下列说法正确的是（
A.$a=-\sqrt{2}$
B.$\frac{π}{2}$对应的点在线段AB上
C.$a+b$是无理数
D.$b-a$是有理数
B
）A.$a=-\sqrt{2}$
B.$\frac{π}{2}$对应的点在线段AB上
C.$a+b$是无理数
D.$b-a$是有理数
答案：3. B
解析：
【分析】
解题时先利用勾股定理求出正方形的对角线长度，也就是圆弧的半径；再结合圆心在数轴上1对应的点，分别求出点A、B表示的数a、b；最后逐一对四个选项进行计算、估算判断即可得到正确答案。
【解析】
第一步：求圆弧半径：已知正方形边长为1，由勾股定理可得正方形对角线长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，即圆弧半径为$\sqrt{2}$。
第二步：求a、b的值：圆心对应数轴上的数是1，点A在圆心左侧，因此$a=1-\sqrt{2}$；点B在圆心右侧，因此$b=1+\sqrt{2}$。
第三步：逐一判断选项：
选项A：$a=1-\sqrt{2}\approx-0.414$，而$-\sqrt{2}\approx-1.414$，二者不相等，A错误；
选项B：$a\approx-0.414$，$b=1+\sqrt{2}\approx2.414$，$\frac{π}{2}\approx1.57$，满足$-0.414＜1.57＜2.414$，因此$\frac{π}{2}$对应的点在线段AB上，B正确；
选项C：$a+b=(1-\sqrt{2})+(1+\sqrt{2})=2$，2是有理数，C错误；
选项D：$b-a=(1+\sqrt{2})-(1-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$是无理数，D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，实数运算
【点评】
本题将勾股定理、数轴的性质和实数的运算相结合，需要先根据几何性质求出数轴上点对应的实数，再通过计算或估算判断选项，注重对基础知识的综合考察。
【难度系数】
0.7
解题时先利用勾股定理求出正方形的对角线长度，也就是圆弧的半径；再结合圆心在数轴上1对应的点，分别求出点A、B表示的数a、b；最后逐一对四个选项进行计算、估算判断即可得到正确答案。
【解析】
第一步：求圆弧半径：已知正方形边长为1，由勾股定理可得正方形对角线长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，即圆弧半径为$\sqrt{2}$。
第二步：求a、b的值：圆心对应数轴上的数是1，点A在圆心左侧，因此$a=1-\sqrt{2}$；点B在圆心右侧，因此$b=1+\sqrt{2}$。
第三步：逐一判断选项：
选项A：$a=1-\sqrt{2}\approx-0.414$，而$-\sqrt{2}\approx-1.414$，二者不相等，A错误；
选项B：$a\approx-0.414$，$b=1+\sqrt{2}\approx2.414$，$\frac{π}{2}\approx1.57$，满足$-0.414＜1.57＜2.414$，因此$\frac{π}{2}$对应的点在线段AB上，B正确；
选项C：$a+b=(1-\sqrt{2})+(1+\sqrt{2})=2$，2是有理数，C错误；
选项D：$b-a=(1+\sqrt{2})-(1-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$是无理数，D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，实数运算
【点评】
本题将勾股定理、数轴的性质和实数的运算相结合，需要先根据几何性质求出数轴上点对应的实数，再通过计算或估算判断选项，注重对基础知识的综合考察。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在等腰三角形ABC中，∠A=120°，腰AB=6，△ABC的底边BC的长为
$\sqrt{108}$
。答案：4. $\sqrt{108}$
解析：
【分析】
本题要求等腰三角形底边BC的长，解题思路如下：首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点A作底边BC的高AD，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，此时BC=2BD，只需算出BD的长度即可；其次根据三角形内角和算出等腰三角形的底角为30°，再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出高AD的长度；最后用勾股定理计算BD的长度，进而得到BC的长。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D。
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC=6，AD⊥BC
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC，$∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$
在Rt△ABD中，$∠ B=30°$，斜边AB=6
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=3
由勾股定理可得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
∴BC=2BD=$2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}=\sqrt{108}$
【答案】
$\sqrt{108}$
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形30°角性质
【点评】
本题是勾股定理在等腰三角形中的典型应用，解题的核心是通过作高将等腰三角形转化为含特殊角的直角三角形，结合特殊三角形的性质简化计算，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
本题要求等腰三角形底边BC的长，解题思路如下：首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点A作底边BC的高AD，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，此时BC=2BD，只需算出BD的长度即可；其次根据三角形内角和算出等腰三角形的底角为30°，再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出高AD的长度；最后用勾股定理计算BD的长度，进而得到BC的长。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D。
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC=6，AD⊥BC
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC，$∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$
在Rt△ABD中，$∠ B=30°$，斜边AB=6
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=3
由勾股定理可得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
∴BC=2BD=$2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}=\sqrt{108}$
【答案】
$\sqrt{108}$
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形30°角性质
【点评】
本题是勾股定理在等腰三角形中的典型应用，解题的核心是通过作高将等腰三角形转化为含特殊角的直角三角形，结合特殊三角形的性质简化计算，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
5. 将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，点A，C，D在同一条直线上，AE与BC交于点F，若AB=10，则AF=
$\sqrt{50}$
。答案：5. $\sqrt{50}$
解析：
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先在含30°角的Rt△ABC中，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质，求出直角边AC的长度；第二步，根据两个直角∠ACB和∠D相等，判定BC//DE，结合三角板∠E=45°的性质，推出△ACF是等腰直角三角形，得到CF=AC；第三步，利用勾股定理计算AF的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=10，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
∵∠ACB=∠D=90°，
∴BC//DE（同位角相等，两直线平行），
∴∠AFC=∠E=45°，
∴Rt△ACF为等腰直角三角形，$CF=AC=5$。
根据勾股定理，在Rt△ACF中：
$AF^2=AC^2+CF^2=5^2+5^2=25+25=50$，
∵AF为线段长度，取正值，
∴$AF=\sqrt{50}$。
【答案】
$\sqrt{50}$
【知识点】
含30°角的直角三角形性质；平行线的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题结合三角板的特殊角度考查直角三角形相关性质和勾股定理的应用，解题的关键是通过平行线的性质推出△ACF是等腰直角三角形，属于基础题型，需要熟练掌握特殊直角三角形的边角关系。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先在含30°角的Rt△ABC中，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质，求出直角边AC的长度；第二步，根据两个直角∠ACB和∠D相等，判定BC//DE，结合三角板∠E=45°的性质，推出△ACF是等腰直角三角形，得到CF=AC；第三步，利用勾股定理计算AF的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=10，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
∵∠ACB=∠D=90°，
∴BC//DE（同位角相等，两直线平行），
∴∠AFC=∠E=45°，
∴Rt△ACF为等腰直角三角形，$CF=AC=5$。
根据勾股定理，在Rt△ACF中：
$AF^2=AC^2+CF^2=5^2+5^2=25+25=50$，
∵AF为线段长度，取正值，
∴$AF=\sqrt{50}$。
【答案】
$\sqrt{50}$
【知识点】
含30°角的直角三角形性质；平行线的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题结合三角板的特殊角度考查直角三角形相关性质和勾股定理的应用，解题的关键是通过平行线的性质推出△ACF是等腰直角三角形，属于基础题型，需要熟练掌握特殊直角三角形的边角关系。
【难度系数】
0.7
6. 如图，分别以$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边$AB＝6$，则图中阴影部分的面积为 （
A.6
B.9
C.12
D.18
（第6题）
D
）A.6
B.9
C.12
D.18
（第6题）答案：6. D
解析：
【分析】
解题思路分为三步：①先推导以斜边为边的等腰直角三角形的面积公式，利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半的性质，结合三角形面积公式即可推导；②将三个阴影部分的面积用Rt△ABC的三边AC、BC、AB分别表示出来，再求和；③结合勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，将面积和的表达式转化为仅含AB的式子，代入AB的长度计算即可。
【解析】
设$Rt△ ABC$中，$AC=b$，$BC=a$，$AB=c$，由题意得$c=6$。
根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
对于斜边为$l$的等腰直角三角形，由等腰三角形三线合一的性质可知，斜边上的高等于斜边的一半，即高为$\frac{l}{2}$，因此该三角形面积为：
$S=\frac{1}{2} × 斜边 × 高=\frac{1}{2} × l × \frac{l}{2}=\frac{l^2}{4}$。
则三个阴影部分的面积分别为：
以$AC$为斜边的等腰直角三角形面积$S_1=\frac{b^2}{4}$，
以$BC$为斜边的等腰直角三角形面积$S_2=\frac{a^2}{4}$，
以$AB$为斜边的等腰直角三角形面积$S_3=\frac{c^2}{4}$。
阴影部分总面积：
$S_{总}=S_1+S_2+S_3=\frac{a^2 + b^2 + c^2}{4}$，
将$a^2 + b^2 = c^2$代入上式得：
$S_{总}=\frac{c^2 + c^2}{4}=\frac{2c^2}{4}=\frac{c^2}{2}$，
把$c=6$代入得：$S_{总}=\frac{6^2}{2}=18$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用整体代入的思想简化计算，不需要分别求出AC、BC的长度，只需结合勾股定理将三边的平方关系代入面积和的表达式即可求解，很好地考察了几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：①先推导以斜边为边的等腰直角三角形的面积公式，利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半的性质，结合三角形面积公式即可推导；②将三个阴影部分的面积用Rt△ABC的三边AC、BC、AB分别表示出来，再求和；③结合勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，将面积和的表达式转化为仅含AB的式子，代入AB的长度计算即可。
【解析】
设$Rt△ ABC$中，$AC=b$，$BC=a$，$AB=c$，由题意得$c=6$。
根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
对于斜边为$l$的等腰直角三角形，由等腰三角形三线合一的性质可知，斜边上的高等于斜边的一半，即高为$\frac{l}{2}$，因此该三角形面积为：
$S=\frac{1}{2} × 斜边 × 高=\frac{1}{2} × l × \frac{l}{2}=\frac{l^2}{4}$。
则三个阴影部分的面积分别为：
以$AC$为斜边的等腰直角三角形面积$S_1=\frac{b^2}{4}$，
以$BC$为斜边的等腰直角三角形面积$S_2=\frac{a^2}{4}$，
以$AB$为斜边的等腰直角三角形面积$S_3=\frac{c^2}{4}$。
阴影部分总面积：
$S_{总}=S_1+S_2+S_3=\frac{a^2 + b^2 + c^2}{4}$，
将$a^2 + b^2 = c^2$代入上式得：
$S_{总}=\frac{c^2 + c^2}{4}=\frac{2c^2}{4}=\frac{c^2}{2}$，
把$c=6$代入得：$S_{总}=\frac{6^2}{2}=18$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用整体代入的思想简化计算，不需要分别求出AC、BC的长度，只需结合勾股定理将三边的平方关系代入面积和的表达式即可求解，很好地考察了几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=6$，则边$AC$上的高$BD$为（
A.4
B.4.4
C.4.8
D.5
C
）A.4
B.4.4
C.4.8
D.5
答案：7. C
解析：
【分析】
要计算AC边上的高BD，我们可以采用等面积法解题：首先△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，先作出BC边上的高，结合勾股定理算出该高的长度，进而求出△ABC的面积；再利用“三角形面积固定，用不同的底和高计算结果相等”的特点，建立包含BD的等式，即可求出BD的长度。
【解析】
过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC=5，△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，
∴E为BC中点，即$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$。
在$Rt△ABE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AE=\frac{1}{2}×6×4=12$。
又
∵BD是AC边上的高，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BD$，代入AC=5、$S_{△ABC}=12$得：
$12=\frac{1}{2}×5×BD$，
解得$BD=\frac{24}{5}=4.8$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用，等面积法是求三角形高线的常用技巧，掌握该方法可以快速解决同类求高的问题。
【难度系数】
0.7
要计算AC边上的高BD，我们可以采用等面积法解题：首先△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，先作出BC边上的高，结合勾股定理算出该高的长度，进而求出△ABC的面积；再利用“三角形面积固定，用不同的底和高计算结果相等”的特点，建立包含BD的等式，即可求出BD的长度。
【解析】
过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC=5，△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，
∴E为BC中点，即$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$。
在$Rt△ABE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AE=\frac{1}{2}×6×4=12$。
又
∵BD是AC边上的高，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BD$，代入AC=5、$S_{△ABC}=12$得：
$12=\frac{1}{2}×5×BD$，
解得$BD=\frac{24}{5}=4.8$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用，等面积法是求三角形高线的常用技巧，掌握该方法可以快速解决同类求高的问题。
【难度系数】
0.7