14.【问题背景】某小区有四栋住宅楼：B栋(B处)，C栋(C处)，D栋(D处)，E栋(E处)，A处为小区入口. 为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道BE上增设一个“爱心衣物回收箱”（图①），现需确定“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到四栋住宅楼的距离之和最短. 某数学兴趣小组成员开展了如下数学活动.
【问题解决】
步骤一：实地测绘.
小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（图②），并测量出了某些道路的长度（如下表所示），进一步抽象成几何图形（图③），其中主干道AC与BE交于点F，BE//CD. 小组成员又借助电子测角仪测得∠BCE=90°，∠CEB=∠CED.
步骤二：数学计算.
根据图③及表格中的相关数据，完成下列计算：
（1）求道路CD的长；
（2）道路AC=
步骤三：方案设计.
（3）根据以上探究，在主干道BE上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点G表示）.
（4）“爱心衣物回收箱”到四栋住宅楼的距离之和的最小值为多少米？（结果保留根号）
【问题解决】
步骤一：实地测绘.
小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（图②），并测量出了某些道路的长度（如下表所示），进一步抽象成几何图形（图③），其中主干道AC与BE交于点F，BE//CD. 小组成员又借助电子测角仪测得∠BCE=90°，∠CEB=∠CED.
步骤二：数学计算.
根据图③及表格中的相关数据，完成下列计算：
（1）求道路CD的长；
（2）道路AC=
48
m；步骤三：方案设计.
（3）根据以上探究，在主干道BE上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点G表示）.
（4）“爱心衣物回收箱”到四栋住宅楼的距离之和的最小值为多少米？（结果保留根号）
答案：
(1) $\because BE// CD$,$\therefore ∠ BEC=∠ DCE$. $\because ∠ CEB=∠ CED$,$\therefore ∠ CED=∠ DCE$. $\therefore CD=DE=25$,故道路 $CD$ 的长为 $25\ \mathrm{m}$
(2) $\because AE=40\ \mathrm{m}$,$AB=30\ \mathrm{m}$,$EF=32\ \mathrm{m}$,$FB=18\ \mathrm{m}$,$\therefore EB=32+18=50(\mathrm{m})$,$\therefore AE^2+AB^2=EB^2$,$\therefore ∠ EAB=90°$. $\because ∠ BCE=90°$,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ECB$ 中,$EC=\sqrt{EB^2-BC^2}=40(\mathrm{m})$. $\because AE=EC$,$AB=BC$,$\therefore EB⊥ AC$,$FA=FC$. $\because S_{△ AEB}+S_{△ EBC}=\frac{1}{2} AE· AB +\frac{1}{2} EC· BC=\frac{1}{2} EB· AC$,$\therefore AC=\frac{\frac{1}{2}×30×40+\frac{1}{2}×30×40}{50}=48(\mathrm{m})$
(3) 由(2)可得 $EB$ 垂直平分 $AC$,根据两点之间线段最短可得 $AD$,$EB$ 的交点 $G$ 到 $A$,$E$,$D$,$B$ 的距离之和最小,又 $GA=GC$,则到四栋距离最小的点即为点 $G$,如图所示
(4) $\because DC// EB$,$EB⊥ AC$,$\therefore AC⊥ DC$,$\therefore ∠ ADC=90°$. $\because$ 点 $G$ 在 $EB$ 上,即 $AC$ 的垂直平分线上,$\therefore GA=GC$,$\therefore ∠ GAC=∠ GCA$. $\because ∠ GAC+∠ GCD=90°$,$∠ GCA+∠ GDC=90°$,$\therefore ∠ GCD=∠ GDC$. $\therefore GD=GC$,$\therefore GA=GD=GC$,$\therefore CG+DG+EG+BG=AG+GD+EG+GB=AD+EB=AD+EB=\sqrt{DC^2+AC^2}+EB=\sqrt{25^2+48^2}+50=(\sqrt{2929}+50)(\mathrm{m})$
(1) $\because BE// CD$,$\therefore ∠ BEC=∠ DCE$. $\because ∠ CEB=∠ CED$,$\therefore ∠ CED=∠ DCE$. $\therefore CD=DE=25$,故道路 $CD$ 的长为 $25\ \mathrm{m}$
(2) $\because AE=40\ \mathrm{m}$,$AB=30\ \mathrm{m}$,$EF=32\ \mathrm{m}$,$FB=18\ \mathrm{m}$,$\therefore EB=32+18=50(\mathrm{m})$,$\therefore AE^2+AB^2=EB^2$,$\therefore ∠ EAB=90°$. $\because ∠ BCE=90°$,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ECB$ 中,$EC=\sqrt{EB^2-BC^2}=40(\mathrm{m})$. $\because AE=EC$,$AB=BC$,$\therefore EB⊥ AC$,$FA=FC$. $\because S_{△ AEB}+S_{△ EBC}=\frac{1}{2} AE· AB +\frac{1}{2} EC· BC=\frac{1}{2} EB· AC$,$\therefore AC=\frac{\frac{1}{2}×30×40+\frac{1}{2}×30×40}{50}=48(\mathrm{m})$
(3) 由(2)可得 $EB$ 垂直平分 $AC$,根据两点之间线段最短可得 $AD$,$EB$ 的交点 $G$ 到 $A$,$E$,$D$,$B$ 的距离之和最小,又 $GA=GC$,则到四栋距离最小的点即为点 $G$,如图所示
(4) $\because DC// EB$,$EB⊥ AC$,$\therefore AC⊥ DC$,$\therefore ∠ ADC=90°$. $\because$ 点 $G$ 在 $EB$ 上,即 $AC$ 的垂直平分线上,$\therefore GA=GC$,$\therefore ∠ GAC=∠ GCA$. $\because ∠ GAC+∠ GCD=90°$,$∠ GCA+∠ GDC=90°$,$\therefore ∠ GCD=∠ GDC$. $\therefore GD=GC$,$\therefore GA=GD=GC$,$\therefore CG+DG+EG+BG=AG+GD+EG+GB=AD+EB=AD+EB=\sqrt{DC^2+AC^2}+EB=\sqrt{25^2+48^2}+50=(\sqrt{2929}+50)(\mathrm{m})$
解析：
【分析】
（1）先利用平行线的性质得到内错角相等，结合已知角相等的条件，推出△DEC为等腰三角形，根据等角对等边即可求出CD的长度；
（2）先计算EB的长度，通过勾股定理逆定理判定△EAB为直角三角形，再结合△ECB是直角三角形，证明EB垂直平分AC，最后利用面积法即可求出AC的长度；
（3）利用垂直平分线的性质将GC转化为GA，此时到四栋楼的距离和可转化为GA+GD+GE+GB，其中GE+GB为定值EB，根据两点之间线段最短，AD与BE的交点即为距离和最小的G点；
（4）先证明AC⊥CD，利用勾股定理求出AD的长度，距离和的最小值即为AD与EB的长度和，代入数值计算即可。
【解析】
（1）$\because BE// CD$，$\therefore ∠ BEC=∠ DCE$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ CEB=∠ CED$，$\therefore ∠ CED=∠ DCE$，
$\therefore △ DEC$为等腰三角形，$CD=DE=25\ \mathrm{m}$。
（2）由题意得$EF=32\ \mathrm{m}$，$FB=18\ \mathrm{m}$，$\therefore EB=EF+FB=50\ \mathrm{m}$，
已知$AE=40\ \mathrm{m}$，$AB=30\ \mathrm{m}$，$\because 40^2+30^2=50^2$，即$AE^2+AB^2=EB^2$，
$\therefore ∠ EAB=90°$（勾股定理逆定理），
又$\because ∠ BCE=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ECB$中，$EC=\sqrt{EB^2-BC^2}=\sqrt{50^2-30^2}=40\ \mathrm{m}$，
$\therefore AE=EC=40\ \mathrm{m}$，$AB=BC=30\ \mathrm{m}$，即$E$、$B$都在$AC$的垂直平分线上，$\therefore EB$垂直平分$AC$，
根据面积关系：$S_{△ AEB}+S_{△ ECB}=\frac{1}{2}AE· AB+\frac{1}{2}EC· BC=\frac{1}{2}EB· AC$，
代入数值：$\frac{1}{2}×40×30+\frac{1}{2}×40×30=\frac{1}{2}×50× AC$，解得$AC=48\ \mathrm{m}$。
（3）$\because EB$垂直平分$AC$，$\therefore$点$G$在$EB$上时，$GA=GC$，
点$G$到四栋楼的距离和为$GB+GC+GD+GE=GB+GA+GD+GE=(GA+GD)+(GB+GE)$，
其中$GB+GE=EB$为定值，要使总距离和最小，需$GA+GD$最小，根据两点之间线段最短，连接$AD$，$AD$与$BE$的交点即为所求点$G$，位置如图所示。
（4）$\because BE// CD$，$EB⊥ AC$，$\therefore AC⊥ CD$，即$∠ ACD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{48^2+25^2}=\sqrt{2929}\ \mathrm{m}$，
$\therefore$距离和最小值为$GA+GD+GB+GE=AD+EB=(\sqrt{2929}+50)\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{25\ \mathrm{m}}$
(2) $\boldsymbol{48}$
(3) 连接$AD$，与$BE$的交点即为点$G$，位置如图所示
(4) $\boldsymbol{(\sqrt{2929}+50)\ \mathrm{m}}$
【知识点】
等腰三角形判定；勾股定理及逆定理；最短路径问题
【点评】
本题结合生活实际场景，综合考查了平行线性质、等腰三角形判定、垂直平分线性质、勾股定理以及最短路径的应用，需要将实际问题转化为几何问题，灵活运用线段转化思想简化问题，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）先利用平行线的性质得到内错角相等，结合已知角相等的条件，推出△DEC为等腰三角形，根据等角对等边即可求出CD的长度；
（2）先计算EB的长度，通过勾股定理逆定理判定△EAB为直角三角形，再结合△ECB是直角三角形，证明EB垂直平分AC，最后利用面积法即可求出AC的长度；
（3）利用垂直平分线的性质将GC转化为GA，此时到四栋楼的距离和可转化为GA+GD+GE+GB，其中GE+GB为定值EB，根据两点之间线段最短，AD与BE的交点即为距离和最小的G点；
（4）先证明AC⊥CD，利用勾股定理求出AD的长度，距离和的最小值即为AD与EB的长度和，代入数值计算即可。
【解析】
（1）$\because BE// CD$，$\therefore ∠ BEC=∠ DCE$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ CEB=∠ CED$，$\therefore ∠ CED=∠ DCE$，
$\therefore △ DEC$为等腰三角形，$CD=DE=25\ \mathrm{m}$。
（2）由题意得$EF=32\ \mathrm{m}$，$FB=18\ \mathrm{m}$，$\therefore EB=EF+FB=50\ \mathrm{m}$，
已知$AE=40\ \mathrm{m}$，$AB=30\ \mathrm{m}$，$\because 40^2+30^2=50^2$，即$AE^2+AB^2=EB^2$，
$\therefore ∠ EAB=90°$（勾股定理逆定理），
又$\because ∠ BCE=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ECB$中，$EC=\sqrt{EB^2-BC^2}=\sqrt{50^2-30^2}=40\ \mathrm{m}$，
$\therefore AE=EC=40\ \mathrm{m}$，$AB=BC=30\ \mathrm{m}$，即$E$、$B$都在$AC$的垂直平分线上，$\therefore EB$垂直平分$AC$，
根据面积关系：$S_{△ AEB}+S_{△ ECB}=\frac{1}{2}AE· AB+\frac{1}{2}EC· BC=\frac{1}{2}EB· AC$，
代入数值：$\frac{1}{2}×40×30+\frac{1}{2}×40×30=\frac{1}{2}×50× AC$，解得$AC=48\ \mathrm{m}$。
（3）$\because EB$垂直平分$AC$，$\therefore$点$G$在$EB$上时，$GA=GC$，
点$G$到四栋楼的距离和为$GB+GC+GD+GE=GB+GA+GD+GE=(GA+GD)+(GB+GE)$，
其中$GB+GE=EB$为定值，要使总距离和最小，需$GA+GD$最小，根据两点之间线段最短，连接$AD$，$AD$与$BE$的交点即为所求点$G$，位置如图所示
。（4）$\because BE// CD$，$EB⊥ AC$，$\therefore AC⊥ CD$，即$∠ ACD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{48^2+25^2}=\sqrt{2929}\ \mathrm{m}$，
$\therefore$距离和最小值为$GA+GD+GB+GE=AD+EB=(\sqrt{2929}+50)\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{25\ \mathrm{m}}$
(2) $\boldsymbol{48}$
(3) 连接$AD$，与$BE$的交点即为点$G$，位置如图所示
(4) $\boldsymbol{(\sqrt{2929}+50)\ \mathrm{m}}$
【知识点】
等腰三角形判定；勾股定理及逆定理；最短路径问题
【点评】
本题结合生活实际场景，综合考查了平行线性质、等腰三角形判定、垂直平分线性质、勾股定理以及最短路径的应用，需要将实际问题转化为几何问题，灵活运用线段转化思想简化问题，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6