8. 已知等边三角形ABC的边长为2，以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点A的坐标为
$(0,\sqrt{3})$或$(0,-\sqrt{3})$
。答案：8. $(0,\sqrt{3})$或$(0,-\sqrt{3})$
解析：
【分析】
解题时首先根据坐标系的建立规则确定B、C两点的坐标，再结合等边三角形“三线合一”的性质，可知点A在BC的垂直平分线即y轴上，因此点A横坐标为0；接下来利用勾股定理求出等边三角形BC边上的高，最后考虑点A可在x轴上方或下方两种位置情况，即可得到点A的坐标。
【解析】
解：
∵等边三角形ABC边长为2，BC的中点为原点，BC在x轴上
∴OB=OC=1，即B点坐标为$(-1,0)$，C点坐标为$(1,0)$
根据等边三角形三线合一的性质，BC边上的高所在直线为BC的垂直平分线，也就是y轴，因此点A的横坐标为0
设点A的纵坐标为$y$，在$Rt△ AOB$中，$AB=2$，$OB=1$，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2 - OB^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$
当点A在x轴上方时，$y=\sqrt{3}$，坐标为$(0,\sqrt{3})$；当点A在x轴下方时，$y=-\sqrt{3}$，坐标为$(0,-\sqrt{3})$
综上，点A的坐标为$(0,\sqrt{3})$或$(0,-\sqrt{3})$
【答案】
$(0,\sqrt{3})$或$(0,-\sqrt{3})$
【知识点】
平面直角坐标系坐标表示、等边三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础题，重点考查等边三角形性质与平面直角坐标系中点的坐标的结合应用，解题时需注意考虑点的位置的两种可能性，避免漏写x轴下方的坐标。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据坐标系的建立规则确定B、C两点的坐标，再结合等边三角形“三线合一”的性质，可知点A在BC的垂直平分线即y轴上，因此点A横坐标为0；接下来利用勾股定理求出等边三角形BC边上的高，最后考虑点A可在x轴上方或下方两种位置情况，即可得到点A的坐标。
【解析】
解：
∵等边三角形ABC边长为2，BC的中点为原点，BC在x轴上
∴OB=OC=1，即B点坐标为$(-1,0)$，C点坐标为$(1,0)$
根据等边三角形三线合一的性质，BC边上的高所在直线为BC的垂直平分线，也就是y轴，因此点A的横坐标为0
设点A的纵坐标为$y$，在$Rt△ AOB$中，$AB=2$，$OB=1$，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2 - OB^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$
当点A在x轴上方时，$y=\sqrt{3}$，坐标为$(0,\sqrt{3})$；当点A在x轴下方时，$y=-\sqrt{3}$，坐标为$(0,-\sqrt{3})$
综上，点A的坐标为$(0,\sqrt{3})$或$(0,-\sqrt{3})$
【答案】
$(0,\sqrt{3})$或$(0,-\sqrt{3})$
【知识点】
平面直角坐标系坐标表示、等边三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础题，重点考查等边三角形性质与平面直角坐标系中点的坐标的结合应用，解题时需注意考虑点的位置的两种可能性，避免漏写x轴下方的坐标。
【难度系数】
0.7
9. 如图是老北京城的一些地点分布示意图，已知东直门和宣武门的坐标分别为$(3.5,4)$，$(-2,-1)$。
（1）在图中画出相应的平面直角坐标系，并写出$(-4,2)$表示的地点；
（2）根据（1）中建立的平面直角坐标系，写出示意图中西直门和崇文门的坐标；
（3）根据（1）中建立的平面直角坐标系，李华计划骑一辆共享单车，已知单车在A，B，C，D四处，李华在安定门，请直接写出距离李华最近的共享单车的位置坐标。
（1）在图中画出相应的平面直角坐标系，并写出$(-4,2)$表示的地点；
（2）根据（1）中建立的平面直角坐标系，写出示意图中西直门和崇文门的坐标；
（3）根据（1）中建立的平面直角坐标系，李华计划骑一辆共享单车，已知单车在A，B，C，D四处，李华在安定门，请直接写出距离李华最近的共享单车的位置坐标。
答案：
9. （1）平面直角坐标系如图
，$(-4,2)$表示的点是阜成门 （2）西直门的坐标是$(-4,4)$，崇文门的坐标是$(2,-1)$ （3）最近的共享单车在$(3,3)$
9. （1）平面直角坐标系如图
，$(-4,2)$表示的点是阜成门 （2）西直门的坐标是$(-4,4)$，崇文门的坐标是$(2,-1)$ （3）最近的共享单车在$(3,3)$解析：
【分析】
解题思路如下：
1. 解决第(1)问：首先根据已知的东直门、宣武门两点的坐标，结合“上北下南左西右东”的方位规则，确定x轴（水平向右为正，对应东）、y轴（竖直向上为正，对应北）的方向，再根据两点的坐标差和图中格子数确定单位长度，找到原点位置完成坐标系建立；再根据坐标的定义，找到横坐标为-4、纵坐标为2对应的点，判断对应的地点。
2. 解决第(2)问：在建立好的坐标系中，分别找到西直门、崇文门的位置，读取它们的横坐标（水平方向左负右正）和纵坐标（竖直方向下负上正），写出坐标即可。
3. 解决第(3)问：先确定安定门的位置，再分别定位A、B、C、D四个点，通过方格直观比较四个点到安定门的距离，找到最近的点后写出它的坐标即可。
【解析】
（1）建立坐标系：
已知东直门坐标为$(3.5,4)$，宣武门坐标为$(-2,-1)$，规定水平向右为x轴正方向（对应向东），竖直向上为y轴正方向（对应向北）。两点纵坐标差为$4-(-1)=5$，对应图中竖直方向5个方格，可得每个方格边长代表1个单位长度；原点为天安门位置（宣武门向右2个单位、向上1个单位处），画出x轴、y轴，平面直角坐标系如图。
找坐标$(-4,2)$对应的点：沿x轴负方向走4个单位，沿y轴正方向走2个单位，对应地点为阜成门。
（2）读取坐标：
西直门位于x轴负方向4个单位，y轴正方向4个单位处，坐标为$(-4,4)$；
崇文门位于x轴正方向2个单位，y轴负方向1个单位处，坐标为$(2,-1)$。
（3）判断最近点：
首先定位安定门的位置，再分别观察A、B、C、D四个点的位置，通过方格比较距离可知，D点到安定门的距离最近，对应坐标为$(3,3)$。
【答案】
（1）平面直角坐标系如图，$(-4,2)$表示的地点是阜成门
（2）西直门的坐标是$(-4,4)$，崇文门的坐标是$(2,-1)$
（3）最近的共享单车在$(3,3)$
【知识点】
平面直角坐标系建立，用坐标表示位置，坐标实际应用
【点评】
本题结合城市地点分布的实际场景考查坐标的相关知识，需要学生掌握根据已知点坐标确定坐标系的方法，能正确读取、书写点的坐标，注重知识的实际应用，贴合生活场景。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 解决第(1)问：首先根据已知的东直门、宣武门两点的坐标，结合“上北下南左西右东”的方位规则，确定x轴（水平向右为正，对应东）、y轴（竖直向上为正，对应北）的方向，再根据两点的坐标差和图中格子数确定单位长度，找到原点位置完成坐标系建立；再根据坐标的定义，找到横坐标为-4、纵坐标为2对应的点，判断对应的地点。
2. 解决第(2)问：在建立好的坐标系中，分别找到西直门、崇文门的位置，读取它们的横坐标（水平方向左负右正）和纵坐标（竖直方向下负上正），写出坐标即可。
3. 解决第(3)问：先确定安定门的位置，再分别定位A、B、C、D四个点，通过方格直观比较四个点到安定门的距离，找到最近的点后写出它的坐标即可。
【解析】
（1）建立坐标系：
已知东直门坐标为$(3.5,4)$，宣武门坐标为$(-2,-1)$，规定水平向右为x轴正方向（对应向东），竖直向上为y轴正方向（对应向北）。两点纵坐标差为$4-(-1)=5$，对应图中竖直方向5个方格，可得每个方格边长代表1个单位长度；原点为天安门位置（宣武门向右2个单位、向上1个单位处），画出x轴、y轴，平面直角坐标系如图
。找坐标$(-4,2)$对应的点：沿x轴负方向走4个单位，沿y轴正方向走2个单位，对应地点为阜成门。
（2）读取坐标：
西直门位于x轴负方向4个单位，y轴正方向4个单位处，坐标为$(-4,4)$；
崇文门位于x轴正方向2个单位，y轴负方向1个单位处，坐标为$(2,-1)$。
（3）判断最近点：
首先定位安定门的位置，再分别观察A、B、C、D四个点的位置，通过方格比较距离可知，D点到安定门的距离最近，对应坐标为$(3,3)$。
【答案】
（1）平面直角坐标系如图
，$(-4,2)$表示的地点是阜成门（2）西直门的坐标是$(-4,4)$，崇文门的坐标是$(2,-1)$
（3）最近的共享单车在$(3,3)$
【知识点】
平面直角坐标系建立，用坐标表示位置，坐标实际应用
【点评】
本题结合城市地点分布的实际场景考查坐标的相关知识，需要学生掌握根据已知点坐标确定坐标系的方法，能正确读取、书写点的坐标，注重知识的实际应用，贴合生活场景。
【难度系数】
0.7
10. 如图，已知在长方形OABC中，AB//OC，AO//BC，O为平面直角坐标系的原点，OA=8，OC=4，点B在第一象限.
（1）直接写出点B的坐标：
（2）若点P从点C出发沿CB方向匀速移动（不超过点B），点Q从点B出发沿BA方向匀速运动（不超过点A），且点Q的速度是点P的一半，已知P，Q两点同时出发，设点P的坐标为(m，4)，试表示四边形PBQO的面积.
（1）直接写出点B的坐标：
$(8,4)$
.（2）若点P从点C出发沿CB方向匀速移动（不超过点B），点Q从点B出发沿BA方向匀速运动（不超过点A），且点Q的速度是点P的一半，已知P，Q两点同时出发，设点P的坐标为(m，4)，试表示四边形PBQO的面积.
答案：10. （1）$(8,4)$ （2）设点Q的运动速度为$v$，运动时间为$t$，则点P的运动速度为$2v$，运动时间为$\frac{t}{2}$. 设$CP=m$，则$AQ=4-0.5m$，$\therefore S_{四边形PBQO}=8×4-\frac{1}{2}×4× m-\frac{1}{2}×8×(4-0.5m)=16$，$\therefore$ 四边形$PBQO$的面积为16
解析：
【分析】
（1）第一问可根据长方形的性质求解：长方形对边相等，OA是x轴上的边，长度为8，因此点B的横坐标等于OA的长度；OC是y轴上的边，长度为4，因此点B的纵坐标等于OC的长度，可直接得到B点坐标。
（2）第二问所求的四边形PBQO是不规则图形，直接计算面积难度较大，因此采用割补法，用长方形OABC的总面积减去周边两个三角形△OPC和△OQA的面积即可。首先根据P的坐标得到CP的长度，再结合P、Q的速度关系得到BQ的长度，进而求出AQ的长度，分别计算两个三角形的面积后代入作差即可求出结果。
【解析】
（1）
∵四边形OABC是长方形，OA=8，OC=4，OA在x轴正半轴，OC在y轴正半轴，
∴点B的横坐标与OA长度相等为8，纵坐标与OC长度相等为4，即$B(8,4)$。
（2）
∵点P坐标为$(m,4)$，沿CB边从C向B移动，
∴$CP=m$，
∵P、Q同时出发，Q的速度是P的一半，
∴相同运动时间内，$BQ=\frac{1}{2}m$，
∵$AB=OC=4$，
∴$AQ=AB-BQ=4-\frac{1}{2}m$，
长方形OABC的面积：$S_{长方形OABC}=OA×OC=8×4=32$，
△OPC的面积：$S_{△OPC}=\frac{1}{2}×CP×OC=\frac{1}{2}×m×4=2m$，
△OQA的面积：$S_{△OQA}=\frac{1}{2}×OA×AQ=\frac{1}{2}×8×(4-\frac{1}{2}m)=16-2m$，
∴四边形PBQO的面积为：
$S_{四边形PBQO}=S_{长方形OABC}-S_{△OPC}-S_{△OQA}=32-2m-(16-2m)=16$。
【答案】
（1）$(8,4)$；（2）$16$
【知识点】
1. 点的坐标表示；2. 割补法求面积；3. 动点问题计算
【点评】
本题结合平面直角坐标系和长方形的性质，考查不规则图形面积的计算，将不规则图形转化为规则图形的面积差是解题的核心思路，第二问中变量m在计算过程中消去得到定值面积，很好地体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
（1）第一问可根据长方形的性质求解：长方形对边相等，OA是x轴上的边，长度为8，因此点B的横坐标等于OA的长度；OC是y轴上的边，长度为4，因此点B的纵坐标等于OC的长度，可直接得到B点坐标。
（2）第二问所求的四边形PBQO是不规则图形，直接计算面积难度较大，因此采用割补法，用长方形OABC的总面积减去周边两个三角形△OPC和△OQA的面积即可。首先根据P的坐标得到CP的长度，再结合P、Q的速度关系得到BQ的长度，进而求出AQ的长度，分别计算两个三角形的面积后代入作差即可求出结果。
【解析】
（1）
∵四边形OABC是长方形，OA=8，OC=4，OA在x轴正半轴，OC在y轴正半轴，
∴点B的横坐标与OA长度相等为8，纵坐标与OC长度相等为4，即$B(8,4)$。
（2）
∵点P坐标为$(m,4)$，沿CB边从C向B移动，
∴$CP=m$，
∵P、Q同时出发，Q的速度是P的一半，
∴相同运动时间内，$BQ=\frac{1}{2}m$，
∵$AB=OC=4$，
∴$AQ=AB-BQ=4-\frac{1}{2}m$，
长方形OABC的面积：$S_{长方形OABC}=OA×OC=8×4=32$，
△OPC的面积：$S_{△OPC}=\frac{1}{2}×CP×OC=\frac{1}{2}×m×4=2m$，
△OQA的面积：$S_{△OQA}=\frac{1}{2}×OA×AQ=\frac{1}{2}×8×(4-\frac{1}{2}m)=16-2m$，
∴四边形PBQO的面积为：
$S_{四边形PBQO}=S_{长方形OABC}-S_{△OPC}-S_{△OQA}=32-2m-(16-2m)=16$。
【答案】
（1）$(8,4)$；（2）$16$
【知识点】
1. 点的坐标表示；2. 割补法求面积；3. 动点问题计算
【点评】
本题结合平面直角坐标系和长方形的性质，考查不规则图形面积的计算，将不规则图形转化为规则图形的面积差是解题的核心思路，第二问中变量m在计算过程中消去得到定值面积，很好地体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7