10. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点都在格点上.
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁；
（2）将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°得到△A₂BC₂，则点C₂的坐标为
（3）在y轴上找一点P，使得AP+BP最小，在图中画出点P位置.
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁；
（2）将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°得到△A₂BC₂，则点C₂的坐标为
(2,-1)
；（3）在y轴上找一点P，使得AP+BP最小，在图中画出点P位置.
答案：10. (1)略 (2)(2,-1) (3)作点A(或B)关于y轴的对称点，连接该点与点B(或A)，与y轴的交点即为P
解析：
【分析】
(1) 作关于x轴对称的图形，需利用“关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”的性质，先找到△ABC三个顶点的对称点，再顺次连接即可。
(2) 解决旋转后点的坐标问题，先明确旋转三要素：旋转中心为点B，旋转方向顺时针，旋转角90°，结合网格特征，将线段BC绕点B顺时针旋转90°，即可确定点C₂的位置，进而得到坐标。
(3) y轴上找P使AP+BP最小属于将军饮马模型，根据轴对称和两点之间线段最短的性质，作其中一个点关于y轴的对称点，连接对称点与另一个点，和y轴的交点就是所求的P点，此时路径最短。
【解析】
(1) ①首先确定△ABC三个顶点的坐标：A(2,4)，B(1,2)，C(3,3)；②分别求出三点关于x轴的对称点：A₁(2,-4)，B₁(1,-2)，C₁(3,-3)；③在坐标系中描出上述三个对称点，顺次连接，即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 以点B为旋转中心，将线段BC顺时针旋转90°，结合网格数格确定旋转后C的对应点C₂的位置，读出其坐标为(2,-1)。
(3) ①作点A关于y轴的对称点A'（或作点B关于y轴的对称点B'）；②连接A'B（或B'A），该线段与y轴的交点即为所求的点P，根据两点之间线段最短，此时AP+BP的长度最小。
【答案】
(1) 作图略；(2) (2,-1)；(3) 作点A(或B)关于y轴的对称点，连接该点与点B(或A)，与y轴的交点即为P，作图略。
【知识点】
1. 轴对称作图；2. 图形的旋转；3. 最短路径问题
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中的基本图形变换和最短路径的求解，注重对基础性质的理解和作图能力的考查，属于基础综合题，熟练掌握相关性质和模型即可快速解题。
【难度系数】
0.7
(1) 作关于x轴对称的图形，需利用“关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”的性质，先找到△ABC三个顶点的对称点，再顺次连接即可。
(2) 解决旋转后点的坐标问题，先明确旋转三要素：旋转中心为点B，旋转方向顺时针，旋转角90°，结合网格特征，将线段BC绕点B顺时针旋转90°，即可确定点C₂的位置，进而得到坐标。
(3) y轴上找P使AP+BP最小属于将军饮马模型，根据轴对称和两点之间线段最短的性质，作其中一个点关于y轴的对称点，连接对称点与另一个点，和y轴的交点就是所求的P点，此时路径最短。
【解析】
(1) ①首先确定△ABC三个顶点的坐标：A(2,4)，B(1,2)，C(3,3)；②分别求出三点关于x轴的对称点：A₁(2,-4)，B₁(1,-2)，C₁(3,-3)；③在坐标系中描出上述三个对称点，顺次连接，即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 以点B为旋转中心，将线段BC顺时针旋转90°，结合网格数格确定旋转后C的对应点C₂的位置，读出其坐标为(2,-1)。
(3) ①作点A关于y轴的对称点A'（或作点B关于y轴的对称点B'）；②连接A'B（或B'A），该线段与y轴的交点即为所求的点P，根据两点之间线段最短，此时AP+BP的长度最小。
【答案】
(1) 作图略；(2) (2,-1)；(3) 作点A(或B)关于y轴的对称点，连接该点与点B(或A)，与y轴的交点即为P，作图略。
【知识点】
1. 轴对称作图；2. 图形的旋转；3. 最短路径问题
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中的基本图形变换和最短路径的求解，注重对基础性质的理解和作图能力的考查，属于基础综合题，熟练掌握相关性质和模型即可快速解题。
【难度系数】
0.7
11. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”。
（1）点B(7，－27)的“短距”为
（2）若点P(5，m－1)的“短距”为3，求m的值；
（3）若C(－2，k)，D(4，3k－5)两点为“等距点”，求k的值。
（1）点B(7，－27)的“短距”为
7
；（2）若点P(5，m－1)的“短距”为3，求m的值；
（3）若C(－2，k)，D(4，3k－5)两点为“等距点”，求k的值。
答案：11. (1) 7 (2) m=4或-2 (3) $k=\dfrac{7}{3}$或$\dfrac{5}{4}$
解析：
【分析】
解题核心是先准确理解“短距”和“等距点”的定义：点的“短距”是该点到x轴距离（纵坐标的绝对值）、到y轴距离（横坐标的绝对值）的较小值；“等距点”即两点的短距相等。逐问按定义分析：
（1）分别计算点B到两轴的距离，取较小值即可；
（2）点P到y轴距离为5，已知短距为3，说明短距是其到x轴的距离，列绝对值方程求解即可；
（3）先分别表示出C、D两点的短距，根据短距相等分类讨论，求出解后验证是否符合分类前提，舍去不合要求的解。
【解析】
（1）点$B(7,-27)$到x轴的距离为$|-27|=27$，到y轴的距离为$|7|=7$，取较小值得短距为7；
（2）点$P(5,m-1)$到y轴的距离为$|5|=5$，已知短距为$3＜5$，因此其到x轴的距离为3，即$|m-1|=3$，
则$m-1=3$或$m-1=-3$，
解得$m=4$或$m=-2$；
（3）点$C(-2,k)$到y轴距离为$|-2|=2$，到x轴距离为$|k|$，故C的短距为$min(2,|k|)$；
点$D(4,3k-5)$到y轴距离为$|4|=4$，到x轴距离为$|3k-5|$，故D的短距为$min(4,|3k-5|)$；
∵C、D为“等距点”，
∴两者短距相等，分两种情况讨论：
① 当$min(2,|k|)=2$时，即$|k|≥2$，此时$min(4,|3k-5|)=2$，
∵$4＞2$，
∴$|3k-5|=2$，
解得$3k-5=2⇒ k=\frac{7}{3}$，或$3k-5=-2⇒ k=1$，
其中$k=1$时$|k|=1＜2$，不符合前提，舍去，故$k=\frac{7}{3}$；
② 当$min(2,|k|)=|k|$时，即$|k|＜2$，此时$min(4,|3k-5|)=|k|$，
∵$|k|＜2＜4$，
∴$|3k-5|=|k|$，
当$3k-5=k$时，$2k=5⇒ k=\frac{5}{2}$，此时$|k|=2.5＞2$，不符合前提，舍去；
当$3k-5=-k$时，$4k=5⇒ k=\frac{5}{4}$，此时$|k|=\frac{5}{4}＜2$，符合条件；
综上，$k$的值为$\frac{7}{3}$或$\frac{5}{4}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{7}$；（2）$\boldsymbol{m=4}$或$\boldsymbol{-2}$；（3）$\boldsymbol{k=\dfrac{7}{3}}$或$\boldsymbol{\dfrac{5}{4}}$
【知识点】
点到坐标轴的距离，绝对值方程，新定义理解
【点评】
本题是典型的新定义类题型，解题关键是把陌生的新定义转化为已学的坐标与距离知识，求解绝对值方程时要注意分类讨论，同时需要验证解是否符合题意，避免错解。
【难度系数】
0.7
解题核心是先准确理解“短距”和“等距点”的定义：点的“短距”是该点到x轴距离（纵坐标的绝对值）、到y轴距离（横坐标的绝对值）的较小值；“等距点”即两点的短距相等。逐问按定义分析：
（1）分别计算点B到两轴的距离，取较小值即可；
（2）点P到y轴距离为5，已知短距为3，说明短距是其到x轴的距离，列绝对值方程求解即可；
（3）先分别表示出C、D两点的短距，根据短距相等分类讨论，求出解后验证是否符合分类前提，舍去不合要求的解。
【解析】
（1）点$B(7,-27)$到x轴的距离为$|-27|=27$，到y轴的距离为$|7|=7$，取较小值得短距为7；
（2）点$P(5,m-1)$到y轴的距离为$|5|=5$，已知短距为$3＜5$，因此其到x轴的距离为3，即$|m-1|=3$，
则$m-1=3$或$m-1=-3$，
解得$m=4$或$m=-2$；
（3）点$C(-2,k)$到y轴距离为$|-2|=2$，到x轴距离为$|k|$，故C的短距为$min(2,|k|)$；
点$D(4,3k-5)$到y轴距离为$|4|=4$，到x轴距离为$|3k-5|$，故D的短距为$min(4,|3k-5|)$；
∵C、D为“等距点”，
∴两者短距相等，分两种情况讨论：
① 当$min(2,|k|)=2$时，即$|k|≥2$，此时$min(4,|3k-5|)=2$，
∵$4＞2$，
∴$|3k-5|=2$，
解得$3k-5=2⇒ k=\frac{7}{3}$，或$3k-5=-2⇒ k=1$，
其中$k=1$时$|k|=1＜2$，不符合前提，舍去，故$k=\frac{7}{3}$；
② 当$min(2,|k|)=|k|$时，即$|k|＜2$，此时$min(4,|3k-5|)=|k|$，
∵$|k|＜2＜4$，
∴$|3k-5|=|k|$，
当$3k-5=k$时，$2k=5⇒ k=\frac{5}{2}$，此时$|k|=2.5＞2$，不符合前提，舍去；
当$3k-5=-k$时，$4k=5⇒ k=\frac{5}{4}$，此时$|k|=\frac{5}{4}＜2$，符合条件；
综上，$k$的值为$\frac{7}{3}$或$\frac{5}{4}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{7}$；（2）$\boldsymbol{m=4}$或$\boldsymbol{-2}$；（3）$\boldsymbol{k=\dfrac{7}{3}}$或$\boldsymbol{\dfrac{5}{4}}$
【知识点】
点到坐标轴的距离，绝对值方程，新定义理解
【点评】
本题是典型的新定义类题型，解题关键是把陌生的新定义转化为已学的坐标与距离知识，求解绝对值方程时要注意分类讨论，同时需要验证解是否符合题意，避免错解。
【难度系数】
0.7
12. 如图①，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，D是OA的中点，点P在边BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标.（提示：图②、图③备用，不要漏解）
答案：12. 当OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP=PD≠5；当OD是等腰三角形的一条腰时，若O是顶角顶点，点P的坐标是(3,4)；若D是顶角顶点，当点P在点M左侧时，点P的坐标是(2,4)；当点P在点M右侧时，点P的坐标是(8,4)
解析：
【分析】
本题是等腰三角形存在性问题，解题时先明确已知条件：长方形OABC中BC边上的点纵坐标恒为4，D是OA中点，故OD长度为5。要求△ODP腰长为5，需按等腰三角形的腰的构成分类讨论：①OD为底边；②OD为腰，再细分顶角顶点为O、顶角顶点为D两种情况，分别计算P点横坐标，再验证是否符合腰长为5的条件及P在BC上的位置要求，舍去不符合的解即可。
【解析】
解：已知长方形OABC顶点A(10,0)，C(0,4)，BC边平行于x轴，点P在BC上，故设P(x,4)（0≤x≤10）。
∵D是OA中点，
∴OD=½OA=5，D点坐标为(5,0)，分三类讨论：
1. 当OD为等腰△ODP的底边时：
此时两腰为OP、PD，即OP=PD，P在OD的垂直平分线上，得x=2.5。
此时OP=√(2.5²+4²)=√22.25≠5，不符合腰长为5的条件，舍去。
2. 当OD为等腰△ODP的腰，O为顶角顶点时：
此时OP=OD=5，由勾股定理得：$x^2+4^2=25$，
解得$x^2=9$，x=3（x=-3不符合x≥0的要求，舍去），即P(3,4)。
3. 当OD为等腰△ODP的腰，D为顶角顶点时：
此时DP=OD=5，由勾股定理得：$(x-5)^2+4^2=25$，
即$(x-5)^2=9$，解得x=8或x=2，两个值均满足0≤x≤10，即P(2,4)或(8,4)。
【答案】
点P的坐标为(2,4)、(3,4)、(8,4)
【知识点】
等腰三角形判定，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题需结合分类讨论思想求解，解题时要注意分情况讨论等腰三角形的腰和顶角顶点，同时需验证所求的解是否符合题目的限制条件，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6
本题是等腰三角形存在性问题，解题时先明确已知条件：长方形OABC中BC边上的点纵坐标恒为4，D是OA中点，故OD长度为5。要求△ODP腰长为5，需按等腰三角形的腰的构成分类讨论：①OD为底边；②OD为腰，再细分顶角顶点为O、顶角顶点为D两种情况，分别计算P点横坐标，再验证是否符合腰长为5的条件及P在BC上的位置要求，舍去不符合的解即可。
【解析】
解：已知长方形OABC顶点A(10,0)，C(0,4)，BC边平行于x轴，点P在BC上，故设P(x,4)（0≤x≤10）。
∵D是OA中点，
∴OD=½OA=5，D点坐标为(5,0)，分三类讨论：
1. 当OD为等腰△ODP的底边时：
此时两腰为OP、PD，即OP=PD，P在OD的垂直平分线上，得x=2.5。
此时OP=√(2.5²+4²)=√22.25≠5，不符合腰长为5的条件，舍去。
2. 当OD为等腰△ODP的腰，O为顶角顶点时：
此时OP=OD=5，由勾股定理得：$x^2+4^2=25$，
解得$x^2=9$，x=3（x=-3不符合x≥0的要求，舍去），即P(3,4)。
3. 当OD为等腰△ODP的腰，D为顶角顶点时：
此时DP=OD=5，由勾股定理得：$(x-5)^2+4^2=25$，
即$(x-5)^2=9$，解得x=8或x=2，两个值均满足0≤x≤10，即P(2,4)或(8,4)。
【答案】
点P的坐标为(2,4)、(3,4)、(8,4)
【知识点】
等腰三角形判定，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题需结合分类讨论思想求解，解题时要注意分情况讨论等腰三角形的腰和顶角顶点，同时需验证所求的解是否符合题目的限制条件，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6