7. 一个等腰三角形的周长是24，腰长是x，底边长是y，判断x，y是否为函数关系。如果是，写出x，y的关系式以及自变量的取值范围。
答案：7. y是x的函数.y随x的变化而变化，当x取一个确定的值时，y有唯一的值与它对应，y是x的函数，x是自变量，y与x之间的函数关系可以表示为y=24−2x（6＜x＜12）(也可以说x是y的函数)
解析：
【分析】
首先要判断两个变量是否为函数关系，需依据函数的定义：一个变化过程中，有两个变量，若其中一个变量取确定值时，另一个变量有唯一确定的值与之对应，则二者构成函数关系。本题先根据等腰三角形周长公式建立x和y的等量关系，再验证对应关系是否符合函数定义；求自变量取值范围时，需结合三角形边长为正、三边关系（两边之和大于第三边）两个约束条件列不等式求解即可。
【解析】
1. 判断函数关系：
等腰三角形周长=2×腰长+底边长，已知周长为24，可得等式：$2x + y = 24$，整理得$y = 24 - 2x$。
在这个变化过程中有两个变量x、y，当x取一个符合条件的确定值时，y都有唯一确定的值和它对应，因此y是x的函数（也可认为x是y的函数）。
2. 求自变量x的取值范围：
① 三角形的边长必须为正数，因此底边长$y＞0$，即$24 - 2x ＞ 0$，解得$x ＜ 12$；同时腰长$x＞0$。
② 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两腰之和大于底边，即$2x ＞ y$，将$y=24-2x$代入得：$2x ＞ 24 - 2x$，解得$x ＞ 6$。
综合两个约束条件，得自变量x的取值范围是$6 ＜ x ＜ 12$。
【答案】
y是x的函数.y随x的变化而变化，当x取一个确定的值时，y有唯一的值与它对应，y是x的函数，x是自变量，y与x之间的函数关系可以表示为y=24−2x（6＜x＜12）(也可以说x是y的函数)
【知识点】
函数的定义；等腰三角形周长公式；三角形三边关系
【点评】
本题属于函数与几何结合的基础题，解题核心是先根据函数定义判断变量的对应关系，再结合几何图形的性质求解自变量范围，注意不能忽略三角形三边关系的约束，否则会出现取值范围错误。
【难度系数】
0.7
首先要判断两个变量是否为函数关系，需依据函数的定义：一个变化过程中，有两个变量，若其中一个变量取确定值时，另一个变量有唯一确定的值与之对应，则二者构成函数关系。本题先根据等腰三角形周长公式建立x和y的等量关系，再验证对应关系是否符合函数定义；求自变量取值范围时，需结合三角形边长为正、三边关系（两边之和大于第三边）两个约束条件列不等式求解即可。
【解析】
1. 判断函数关系：
等腰三角形周长=2×腰长+底边长，已知周长为24，可得等式：$2x + y = 24$，整理得$y = 24 - 2x$。
在这个变化过程中有两个变量x、y，当x取一个符合条件的确定值时，y都有唯一确定的值和它对应，因此y是x的函数（也可认为x是y的函数）。
2. 求自变量x的取值范围：
① 三角形的边长必须为正数，因此底边长$y＞0$，即$24 - 2x ＞ 0$，解得$x ＜ 12$；同时腰长$x＞0$。
② 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两腰之和大于底边，即$2x ＞ y$，将$y=24-2x$代入得：$2x ＞ 24 - 2x$，解得$x ＞ 6$。
综合两个约束条件，得自变量x的取值范围是$6 ＜ x ＜ 12$。
【答案】
y是x的函数.y随x的变化而变化，当x取一个确定的值时，y有唯一的值与它对应，y是x的函数，x是自变量，y与x之间的函数关系可以表示为y=24−2x（6＜x＜12）(也可以说x是y的函数)
【知识点】
函数的定义；等腰三角形周长公式；三角形三边关系
【点评】
本题属于函数与几何结合的基础题，解题核心是先根据函数定义判断变量的对应关系，再结合几何图形的性质求解自变量范围，注意不能忽略三角形三边关系的约束，否则会出现取值范围错误。
【难度系数】
0.7
8. 一个长方体水池的底面是边长为10 m的正方形，现向水池中匀速注水，请写出这个过程中的函数关系(不少于两个)，并说明为什么是函数.
答案：8. 函数关系1:水池中水的高度h m是注水时间t s的函数.当t取一个确定的值时，h有唯一的值与它对应，h是t的函数，t是自变量.
函数关系2:水池中水的体积V是水的高度h的函数.当h取一个确定的值时，V有唯一的值与它对应，V是h的函数，h是自变量
函数关系2:水池中水的体积V是水的高度h的函数.当h取一个确定的值时，V有唯一的值与它对应，V是h的函数，h是自变量
解析：
【分析】
首先回忆函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量，当其中一个变量取确定的值时，另一个变量有唯一确定的值与之对应，那么前者是自变量，后者是前者的函数。首先梳理本题注水过程中的量：常量有水池底面积（$10×10=100\mathrm{m}^2$）、匀速注水的速度；变量有注水时间$t$、水的高度$h$、水的体积$V$。接下来从变量中选出两组，验证是否满足函数“唯一对应”的判定条件，即可得到对应的函数关系。
【解析】
1. 分析水的高度$h$和注水时间$t$的关系：
注水为匀速过程，注水时间$t$确定时，注入水的体积是确定值，已知水池底面积固定为$100\mathrm{m}^2$，根据“体积=底面积×高”，此时水的高度$h$也会唯一确定，满足函数的判定条件。
2. 分析水的体积$V$和水的高度$h$的关系：
根据长方体体积公式可得$V=100h$，当$h$取一个确定的非负值时，代入公式可以得到唯一确定的$V$值，满足函数的判定条件。
【答案】
函数关系1:水池中水的高度$h\ \mathrm{m}$是注水时间$t\ \mathrm{s}$的函数.当$t$取一个确定的值时，$h$有唯一的值与它对应，$h$是$t$的函数，$t$是自变量.
函数关系2:水池中水的体积$V$是水的高度$h$的函数.当$h$取一个确定的值时，$V$有唯一的值与它对应，$V$是$h$的函数，$h$是自变量
【知识点】
函数的概念，变量与常量，长方体体积计算
【点评】
本题属于函数概念的基础应用题，核心是抓住函数定义中“一个自变量对应唯一因变量”的核心特征，结合实际场景识别变量后即可快速判断对应关系，是学习具体函数类型的基础题型。
【难度系数】
0.8
首先回忆函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量，当其中一个变量取确定的值时，另一个变量有唯一确定的值与之对应，那么前者是自变量，后者是前者的函数。首先梳理本题注水过程中的量：常量有水池底面积（$10×10=100\mathrm{m}^2$）、匀速注水的速度；变量有注水时间$t$、水的高度$h$、水的体积$V$。接下来从变量中选出两组，验证是否满足函数“唯一对应”的判定条件，即可得到对应的函数关系。
【解析】
1. 分析水的高度$h$和注水时间$t$的关系：
注水为匀速过程，注水时间$t$确定时，注入水的体积是确定值，已知水池底面积固定为$100\mathrm{m}^2$，根据“体积=底面积×高”，此时水的高度$h$也会唯一确定，满足函数的判定条件。
2. 分析水的体积$V$和水的高度$h$的关系：
根据长方体体积公式可得$V=100h$，当$h$取一个确定的非负值时，代入公式可以得到唯一确定的$V$值，满足函数的判定条件。
【答案】
函数关系1:水池中水的高度$h\ \mathrm{m}$是注水时间$t\ \mathrm{s}$的函数.当$t$取一个确定的值时，$h$有唯一的值与它对应，$h$是$t$的函数，$t$是自变量.
函数关系2:水池中水的体积$V$是水的高度$h$的函数.当$h$取一个确定的值时，$V$有唯一的值与它对应，$V$是$h$的函数，$h$是自变量
【知识点】
函数的概念，变量与常量，长方体体积计算
【点评】
本题属于函数概念的基础应用题，核心是抓住函数定义中“一个自变量对应唯一因变量”的核心特征，结合实际场景识别变量后即可快速判断对应关系，是学习具体函数类型的基础题型。
【难度系数】
0.8
9. 如图，在一张边长为 30 cm 的正方形纸片的四角上，都剪去一个大小相同的小正方形，当小正方形的边长由小到大发生变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化.
（1）在这个变化过程中，自变量是
（2）若小正方形的边长为 x cm(0＜x＜15)，图中阴影部分的面积为 y cm²，请用含 x 的代数式表示 y；
（3）当 x=5 时，求阴影部分的面积 y.
（1）在这个变化过程中，自变量是
小正方形的边长
，因变量是阴影部分的面积
；（2）若小正方形的边长为 x cm(0＜x＜15)，图中阴影部分的面积为 y cm²，请用含 x 的代数式表示 y；
（3）当 x=5 时，求阴影部分的面积 y.
答案：9.（1）自变量是小正方形的边长，因变量是阴影部分的面积 （2）由于阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个小正方形的面积，所以可得y=30²−4x²=900−4x² （3）当x=5时，y=900−4×25=800(cm²)
解析：
【分析】
本题共3小问，解题思路如下：1. 解答第（1）问需明确自变量、因变量的定义：主动发生变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量，结合题中变化过程即可判断。2. 解答第（2）问需利用面积差法：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个被剪去的小正方形的面积，结合正方形面积公式列出代数式即可。3. 解答第（3）问只需将x的取值代入第（2）问得到的代数式中，计算出结果即可。
【解析】
（1）在变化过程中，小正方形的边长是主动变化的量，阴影部分的面积随小正方形边长的变化而变化，因此自变量是小正方形的边长，因变量是阴影部分的面积。
（2）大正方形的边长为30cm，其面积为$30^2=900\mathrm{cm}^2$；每个小正方形的边长为x cm，单个小正方形面积为$x^2\mathrm{cm}^2$，4个小正方形的总面积为$4x^2\mathrm{cm}^2$。
阴影部分面积 = 大正方形面积 - 4个小正方形面积，因此$y=900-4x^2(0＜x＜15)$。
（3）将$x=5$代入$y=900-4x^2$中，得：
$y=900-4×5^2=900-4×25=900-100=800(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
（1）小正方形的边长，阴影部分的面积；
（2）$\boldsymbol{y=900-4x^2(0＜x＜15)}$；
（3）$\boldsymbol{800\mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
变量与函数的概念，列代数式，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，结合几何面积计算考察变量相关概念的理解和代数运算能力，只要掌握自变量、因变量的区分方法，熟记正方形面积公式，就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
本题共3小问，解题思路如下：1. 解答第（1）问需明确自变量、因变量的定义：主动发生变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量，结合题中变化过程即可判断。2. 解答第（2）问需利用面积差法：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个被剪去的小正方形的面积，结合正方形面积公式列出代数式即可。3. 解答第（3）问只需将x的取值代入第（2）问得到的代数式中，计算出结果即可。
【解析】
（1）在变化过程中，小正方形的边长是主动变化的量，阴影部分的面积随小正方形边长的变化而变化，因此自变量是小正方形的边长，因变量是阴影部分的面积。
（2）大正方形的边长为30cm，其面积为$30^2=900\mathrm{cm}^2$；每个小正方形的边长为x cm，单个小正方形面积为$x^2\mathrm{cm}^2$，4个小正方形的总面积为$4x^2\mathrm{cm}^2$。
阴影部分面积 = 大正方形面积 - 4个小正方形面积，因此$y=900-4x^2(0＜x＜15)$。
（3）将$x=5$代入$y=900-4x^2$中，得：
$y=900-4×5^2=900-4×25=900-100=800(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
（1）小正方形的边长，阴影部分的面积；
（2）$\boldsymbol{y=900-4x^2(0＜x＜15)}$；
（3）$\boldsymbol{800\mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
变量与函数的概念，列代数式，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，结合几何面积计算考察变量相关概念的理解和代数运算能力，只要掌握自变量、因变量的区分方法，熟记正方形面积公式，就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
10. 小红、小丽荡秋千，秋千离地面的高度$h$ m与摆动时间$t$ s之间的关系如图所示.
（1）根据函数的定义，判断变量$h$是否是$t$的函数，并写出变量$h$的取值范围.
（2）结合图象回答：
① 当$t＝0.7$ s时，$h$的值是
② 秋千摆动第二个来回需多长时间？
（1）根据函数的定义，判断变量$h$是否是$t$的函数，并写出变量$h$的取值范围.
（2）结合图象回答：
① 当$t＝0.7$ s时，$h$的值是
0.5 m
，它的实际意义是秋千摆动0.7 s时，秋千离地面的高度为0.5 m
；② 秋千摆动第二个来回需多长时间？
答案：10.（1）由图象可知，对于每一个摆动的时间t，h都有唯一确定的值与其对应，
∴变量h是关于t的函数，变量h的取值范围是0.5⩽h⩽1.5 （2）① 当t=0.7 s时，h=0.5 m，它的意义是：秋千摆动0.7 s时，秋千离地面的高度为0.5 m；② 由图象可知，秋千摆动第二个来回需5.4−2.8=2.6(s)
∴变量h是关于t的函数，变量h的取值范围是0.5⩽h⩽1.5 （2）① 当t=0.7 s时，h=0.5 m，它的意义是：秋千摆动0.7 s时，秋千离地面的高度为0.5 m；② 由图象可知，秋千摆动第二个来回需5.4−2.8=2.6(s)
解析：
【分析】
（1）判断h是否为t的函数，需依据函数定义：变化过程中，对自变量t的每一个确定值，若因变量h都有唯一确定的值与之对应，则h是t的函数。观察图像即可验证对应关系，再结合图像纵坐标的最值就能得到h的取值范围。
（2）① 求t=0.7s时h的值，只需在横坐标找到t=0.7的位置，读取对应纵坐标数值即可，实际意义结合两个变量的含义描述即可。
② 秋千摆动一个来回对应图像上两个相邻同相位峰值（或谷值）的时间差，找到第一个来回结束时间2.8s和第二个来回结束时间5.4s，二者作差即可得到第二个来回的时长。
【解析】
（1）根据函数的定义，观察图像可知：对于每一个确定的摆动时间t，h都有唯一确定的值与其对应，因此变量h是t的函数。
从图像可得h的最小值为0.5m，最大值为1.5m，因此h的取值范围是$0.5≤ h≤1.5$。
（2）① 观察图像，当$t=0.7\mathrm{s}$时，对应的纵坐标值为$0.5\mathrm{m}$，它的实际意义是秋千摆动0.7s时，秋千离地面的高度为0.5m。
② 由图像可知，秋千第一个来回结束的时间为2.8s，第二个来回结束的时间为5.4s，因此第二个来回的时长为：
$5.4\mathrm{s}-2.8\mathrm{s}=2.6\mathrm{s}$
【答案】
（1）变量h是t的函数，h的取值范围是$0.5≤ h≤1.5$；
（2）① $0.5\mathrm{m}$，秋千摆动0.7s时，秋千离地面的高度为0.5m；② $2.6\mathrm{s}$
【知识点】
函数的定义，函数图像读取，变量的实际意义
【点评】
本题结合荡秋千的生活场景出题，考查函数基础概念和图像信息提取能力，注重对基础知识的应用，解题时只要紧扣函数定义，准确读取横纵坐标对应数值即可作答。
【难度系数】
0.8
（1）判断h是否为t的函数，需依据函数定义：变化过程中，对自变量t的每一个确定值，若因变量h都有唯一确定的值与之对应，则h是t的函数。观察图像即可验证对应关系，再结合图像纵坐标的最值就能得到h的取值范围。
（2）① 求t=0.7s时h的值，只需在横坐标找到t=0.7的位置，读取对应纵坐标数值即可，实际意义结合两个变量的含义描述即可。
② 秋千摆动一个来回对应图像上两个相邻同相位峰值（或谷值）的时间差，找到第一个来回结束时间2.8s和第二个来回结束时间5.4s，二者作差即可得到第二个来回的时长。
【解析】
（1）根据函数的定义，观察图像可知：对于每一个确定的摆动时间t，h都有唯一确定的值与其对应，因此变量h是t的函数。
从图像可得h的最小值为0.5m，最大值为1.5m，因此h的取值范围是$0.5≤ h≤1.5$。
（2）① 观察图像，当$t=0.7\mathrm{s}$时，对应的纵坐标值为$0.5\mathrm{m}$，它的实际意义是秋千摆动0.7s时，秋千离地面的高度为0.5m。
② 由图像可知，秋千第一个来回结束的时间为2.8s，第二个来回结束的时间为5.4s，因此第二个来回的时长为：
$5.4\mathrm{s}-2.8\mathrm{s}=2.6\mathrm{s}$
【答案】
（1）变量h是t的函数，h的取值范围是$0.5≤ h≤1.5$；
（2）① $0.5\mathrm{m}$，秋千摆动0.7s时，秋千离地面的高度为0.5m；② $2.6\mathrm{s}$
【知识点】
函数的定义，函数图像读取，变量的实际意义
【点评】
本题结合荡秋千的生活场景出题，考查函数基础概念和图像信息提取能力，注重对基础知识的应用，解题时只要紧扣函数定义，准确读取横纵坐标对应数值即可作答。
【难度系数】
0.8