21. (10分)已知：$A=-x-2y-1$，$B=\frac{1}{2}x+y+1$。
(1) 求$A+3B$；
(2) 当$x+2y=6$时，求$A+3B$的值；
(3) 若$A+mB$的值与$y$的取值无关，求$m$的值。
(1) 求$A+3B$；
(2) 当$x+2y=6$时，求$A+3B$的值；
(3) 若$A+mB$的值与$y$的取值无关，求$m$的值。
答案：21. (1) $\frac{1}{2}x+y+2$; (2) 5; (3) $m$的值为2.
22. (12分)小敏和小华对一些四位数$\overline{abcd}$(a,b,c,d均为不超过9的正整数)进行了观察、猜想,请你帮助他们一起完成探究.
(1) 这个四位数可用含$a,b,c,d$的代数式表示为
(2) 小敏尝试将一些四位数倒排后,再与原数相加,发现和都为11的倍数.
例如: $1234 + 4321 = 5555 = 505 × 11$, $4258 + 8524 = 12782 = 1162 × 11$.
你认为上述结论对于一般的($\overline{abcd} + \overline{dcba}$)也成立吗?请说明理由.
(3) 小华猜想:若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除.
例如:判断491678能不能被11整除.
奇位数字的和$8+6+9=23$,偶位数字的和$7+1+4=12$, $23-12=11$,因此,491678能被11整除.这种方法叫奇偶位差法.
请你帮小华证明猜想:对于一个四位数$\overline{abcd}$(a,b,c,d均为不超过9的正整数),若满足$(b+d)-(a+c)=11$,则该四位数$\overline{abcd}$能被11整除.
(1) 这个四位数可用含$a,b,c,d$的代数式表示为
$1000a+100b+10c+d$
.(2) 小敏尝试将一些四位数倒排后,再与原数相加,发现和都为11的倍数.
例如: $1234 + 4321 = 5555 = 505 × 11$, $4258 + 8524 = 12782 = 1162 × 11$.
你认为上述结论对于一般的($\overline{abcd} + \overline{dcba}$)也成立吗?请说明理由.
(3) 小华猜想:若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除.
例如:判断491678能不能被11整除.
奇位数字的和$8+6+9=23$,偶位数字的和$7+1+4=12$, $23-12=11$,因此,491678能被11整除.这种方法叫奇偶位差法.
请你帮小华证明猜想:对于一个四位数$\overline{abcd}$(a,b,c,d均为不超过9的正整数),若满足$(b+d)-(a+c)=11$,则该四位数$\overline{abcd}$能被11整除.
答案：22. (1) $1000a+100b+10c+d$; (2) 能被11整除,理由如下:
设四位数为$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$,
$\therefore \overline{dcba}=1000d+100c+10b+a$,
$\therefore \overline{abcd}+\overline{dcba}=(1000a+100b+10c+d)+(1000d+100c+10b+a)=1001a+110b+110c+1001d=11×(91a+10b+10c+91d)$,
$\therefore$它们的和能被11整除.
(3) 能被11整除,理由如下:
$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d=a·(1001-1)+b·(99+1)+c·(11-1)+d=11×(91a+9b+c)+[(b+d)-(a+c)]$, $\because (b+d)-(a+c)=11=11×1$,
$\therefore \overline{abcd}=11×(91a+9b+c)+11×1=11×(91a+9b+c+1)$, $\therefore$四位数$\overline{abcd}$能被11整除.
设四位数为$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$,
$\therefore \overline{dcba}=1000d+100c+10b+a$,
$\therefore \overline{abcd}+\overline{dcba}=(1000a+100b+10c+d)+(1000d+100c+10b+a)=1001a+110b+110c+1001d=11×(91a+10b+10c+91d)$,
$\therefore$它们的和能被11整除.
(3) 能被11整除,理由如下:
$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d=a·(1001-1)+b·(99+1)+c·(11-1)+d=11×(91a+9b+c)+[(b+d)-(a+c)]$, $\because (b+d)-(a+c)=11=11×1$,
$\therefore \overline{abcd}=11×(91a+9b+c)+11×1=11×(91a+9b+c+1)$, $\therefore$四位数$\overline{abcd}$能被11整除.