【分析】
本题考查同分母分式的加法运算，解题思路如下：第一步先观察两个分式的分母，发现分母均为$a+1$，属于同分母分式相加，因此直接套用同分母分式加减法法则计算；第二步将相加后的分子合并，提取公因式后与分母约分，即可得到最终化简结果，再对应选项选择即可。
【解析】
根据同分母分式加法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，计算过程如下：
$\begin{aligned}\frac{2a}{a+1}+\frac{2}{a+1}&=\frac{2a + 2}{a+1}\\&=\frac{2(a+1)}{a+1}\\&=2 \quad (a≠ -1)\end{aligned}$
因此计算结果为2，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 同分母分式加减法 2. 分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查同分母分式的加减运算规则，易错点是部分同学可能误将分母也相加，运算时牢记同分母加减时分母保持不变，仅对分子做加减运算，最后能约分的要约分得到最简结果即可。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题是分式加法化简题，解题思路如下：第一步先观察两个分式的分母，发现$m-n$和$n-m$互为相反数，可通过变形将两个分式转化为同分母分式；第二步按照同分母分式加减法法则计算，合并分子；第三步对分子因式分解，再和分母约分即可得到化简结果，注意变形时要准确处理符号。
【解析】
解：首先对第二个分式的分母变形，$n-m=-(m-n)$，因此：
$\dfrac{n^2}{n-m}=\dfrac{n^2}{-(m-n)}=-\dfrac{n^2}{m-n}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{m^2}{m-n}-\dfrac{n^2}{m-n}\\&=\dfrac{m^2 - n^2}{m-n}\\&=\dfrac{(m+n)(m-n)}{m-n}\\&=m+n\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的加减运算；平方差公式；分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查分式加减的运算规则，解题的关键是正确处理互为相反数的分母的变形，避免符号出错，结合因式分解约分就能快速得到结果。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题属于分式的混合运算，解题按照“先算括号内，再算括号外”的顺序展开：①先处理括号内的整式与分式的加减运算，将整式看作分母为1的分式，取公分母为a通分，转化为同分母分式的加减计算；②将括号外的除法运算转化为乘法运算，即乘以除式的倒数；③对所得分式的分子、分母分别因式分解，约去公因式后即可得到最简结果。
【解析】
解：先分别计算两个括号内的分式加减：
$\begin{aligned}a+2+\dfrac{1}{a}&=\dfrac{a^2}{a}+\dfrac{2a}{a}+\dfrac{1}{a}\\&=\dfrac{a^2+2a+1}{a}\\&=\dfrac{(a+1)^2}{a},\end{aligned}$
$\begin{aligned}a-\dfrac{1}{a}&=\dfrac{a^2}{a}-\dfrac{1}{a}\\&=\dfrac{a^2-1}{a}\\&=\dfrac{(a+1)(a-1)}{a},\end{aligned}$
再将除法转化为乘法计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{(a+1)^2}{a}÷\dfrac{(a+1)(a-1)}{a}\\&=\dfrac{(a+1)^2}{a}×\dfrac{a}{(a+1)(a-1)}\\&=\dfrac{a+1}{a-1}.\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{a+1}{a-1}$
【知识点】
分式的加减运算；分式的乘除运算；因式分解
【点评】
本题是分式混合运算的常规题型，核心是掌握分式运算的基本规则，通分时要保证分子分母同乘相同的因式，因式分解要正确才能顺利约分，计算时注意不要颠倒除式的分子分母。
【难度系数】
0.7

【分析】
已知条件仅给出两个分式的和，无法分别求出a、b的具体数值，因此解题时优先考虑先化简所求代数式，再整体代入已知条件计算。首先对所求的异分母分式通分计算减法，再对分子因式分解，结合a≠b的条件约去公因式，就能得到和已知条件相关的最简形式，最后代入即可得到结果。
【解析】
先对所求代数式通分运算：
$\begin{aligned}\frac{a}{b(a-b)} - \frac{b}{a(a-b)}&=\frac{a^2}{ab(a-b)} - \frac{b^2}{ab(a-b)}\\&=\frac{a^2 - b^2}{ab(a-b)}\\&=\frac{(a+b)(a-b)}{ab(a-b)}\end{aligned}$
因为$a≠ b$，所以$a-b≠0$，约去分子分母的公因式$a-b$，可得：
$\mathrm{原式}=\frac{a+b}{ab}$
由已知条件$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{5}$，通分得：
$\frac{a+b}{ab}=\sqrt{5}$
因此$\frac{a}{b(a-b)}-\frac{b}{a(a-b)}=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式因式分解、整体代入求值
【点评】
本题是典型的分式条件求值题型，无需计算单个字母的取值，通过先化简所求代数式、再整体代入已知条件的思路即可快速求解，能有效考察学生的分式运算能力和整体思想的应用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
这是一道分式与整式的减法运算题，解题思路是先把整式转化为和分式同分母的形式，再按照同分母分式的减法法则计算，计算时要注意符号处理，最后化简分子得到结果。具体步骤为：①将整式$a+1$写成分母为1的形式，再通分，把分母统一为$a-1$；②利用同分母分式相减，分母不变，分子相减的法则计算分子；③化简分子后得到最终结果。
【解析】
解：原式可变形为：
$\frac{a^2}{a-1} - \frac{a+1}{1}$
给$\frac{a+1}{1}$通分，分子分母同乘$(a-1)$，得：
$\frac{a^2}{a-1} - \frac{(a+1)(a-1)}{a-1}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$=\frac{a^2 - (a+1)(a-1)}{a-1}$
利用平方差公式计算$(a+1)(a-1)=a^2 - 1$，代入分子：
$=\frac{a^2 - (a^2 - 1)}{a-1}$
去括号化简分子：
$=\frac{a^2 - a^2 + 1}{a-1} = \frac{1}{a-1}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的加减运算、通分、平方差公式
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是掌握整式通分的方法和同分母分式的运算规则，易错点是去括号时容易出现符号错误，计算时要格外注意。
【难度系数】
0.8