1. 三角形的重心是三角形的 （
A.三条角平分线的交点
B.一条边的中线与另一条边的高的交点
C.三条高的交点
D.三条中线的交点
D
）A.三条角平分线的交点
B.一条边的中线与另一条边的高的交点
C.三条高的交点
D.三条中线的交点
答案：1. D.
解析：
【分析】
这道题考查三角形重心的定义，解题时先回忆三角形中各类特殊线段（角平分线、高、中线等）的交点对应的概念，再逐一排查选项，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，不是重心，该选项错误；
B. 一条边的中线与另一条边的高的交点不符合重心的定义，该选项错误；
C. 三角形三条高的交点是三角形的垂心，不是重心，该选项错误；
D. 三角形的重心是三条中线的交点，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
1.三角形重心的定义
2.三角形特殊线段的交点
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对三角形各类特殊交点定义的辨析，只要熟记相关概念就能快速得分。
【难度系数】
0.9
这道题考查三角形重心的定义，解题时先回忆三角形中各类特殊线段（角平分线、高、中线等）的交点对应的概念，再逐一排查选项，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，不是重心，该选项错误；
B. 一条边的中线与另一条边的高的交点不符合重心的定义，该选项错误；
C. 三角形三条高的交点是三角形的垂心，不是重心，该选项错误；
D. 三角形的重心是三条中线的交点，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
1.三角形重心的定义
2.三角形特殊线段的交点
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对三角形各类特殊交点定义的辨析，只要熟记相关概念就能快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 如图，点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D.连接BO并延长交AC于点E，则下列说法一定正确的是 （
A.AD是△ABC的高
B.BO是△ABD的中线
C.AO是△ABE的角平分线
D.△AOE与△BOD的面积相等
（第2题）
D
）A.AD是△ABC的高
B.BO是△ABD的中线
C.AO是△ABE的角平分线
D.△AOE与△BOD的面积相等
（第2题）答案：2. D.
解析：
【分析】
首先明确三角形重心的定义：重心是三角形三条中线的交点，由此可得AD、BE都是△ABC的中线，D为BC中点、E为AC中点，且重心分中线的比为2:1。接下来我们结合中线、高、角平分线的定义，以及中线平分三角形面积的性质逐一判断四个选项：先判断前三个涉及线段定义的选项是否满足“对所有三角形都成立”，再通过面积的和差关系判断面积是否相等。
【解析】
∵点O是△ABC的重心，
∴AD、BE是△ABC的中线，即D是BC中点，E是AC中点，且AO:OD=2:1。
对各选项分析如下：
A. AD是△ABC的中线，只有当AB=AC时AD才是高，普通三角形不满足该结论，故A错误；
B. 由AO:OD=2:1可知O不是AD的中点，因此BO不是△ABD的中线，故B错误；
C. AO是△ABE的中线，只有当AB=BC时AO才是角平分线，普通三角形不满足该结论，故C错误；
D.
∵AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵BE是△ABC的中线，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ABE}$，
两边同时减去公共部分$S_{△ AOB}$，可得$S_{△ AOE}=S_{△ BOD}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形重心的性质，三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题围绕三角形重心的性质展开考查，解题的关键是掌握“中线可将三角形分为面积相等的两部分”的结论，同时要注意“一定正确”意味着性质要对所有三角形成立，特殊三角形满足的性质不一定普遍成立，可通过排除法快速缩小可选范围。
【难度系数】
0.7
首先明确三角形重心的定义：重心是三角形三条中线的交点，由此可得AD、BE都是△ABC的中线，D为BC中点、E为AC中点，且重心分中线的比为2:1。接下来我们结合中线、高、角平分线的定义，以及中线平分三角形面积的性质逐一判断四个选项：先判断前三个涉及线段定义的选项是否满足“对所有三角形都成立”，再通过面积的和差关系判断面积是否相等。
【解析】
∵点O是△ABC的重心，
∴AD、BE是△ABC的中线，即D是BC中点，E是AC中点，且AO:OD=2:1。
对各选项分析如下：
A. AD是△ABC的中线，只有当AB=AC时AD才是高，普通三角形不满足该结论，故A错误；
B. 由AO:OD=2:1可知O不是AD的中点，因此BO不是△ABD的中线，故B错误；
C. AO是△ABE的中线，只有当AB=BC时AO才是角平分线，普通三角形不满足该结论，故C错误；
D.
∵AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵BE是△ABC的中线，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ABE}$，
两边同时减去公共部分$S_{△ AOB}$，可得$S_{△ AOE}=S_{△ BOD}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形重心的性质，三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题围绕三角形重心的性质展开考查，解题的关键是掌握“中线可将三角形分为面积相等的两部分”的结论，同时要注意“一定正确”意味着性质要对所有三角形成立，特殊三角形满足的性质不一定普遍成立，可通过排除法快速缩小可选范围。
【难度系数】
0.7
3. 如图所示的网格由边长相等的小正方形组成，点$A,B,C,D,E,F,G$在小正方形的格点上，则$△ ABC$的重心是（
A.点$D$
B.点$E$
C.点$F$
D.点$G$
A
）A.点$D$
B.点$E$
C.点$F$
D.点$G$
答案：3. A.
解析：
【分析】
要确定△ABC的重心，首先需要明确三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。因此解题思路是先找到△ABC的两条不同的中线，两条中线的交点即为重心。首先观察网格特征，分别找到BC边和AB边的中点，连接对应顶点得到两条中线，再找它们的交点即可。
【解析】
三角形的重心是三角形三条中线的交点，我们通过找两条中线的交点确定重心：
1. 找到边BC的中点，连接点A与BC的中点，得到△ABC的一条中线，这条中线是图中的竖直线，经过点A、F、D；
2. 找到边AB的中点，连接点C与AB的中点，得到△ABC的另一条中线，这条中线是图中的水平线，经过点B、E、D、G、C；
3. 两条中线的交点为点D，因此点D是△ABC的重心。
【答案】
A
【知识点】
三角形重心的定义；三角形中线的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的核心是牢记三角形重心是三条中线的交点，结合网格特征快速找到三角形的中线即可求解，考查对基础概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
要确定△ABC的重心，首先需要明确三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。因此解题思路是先找到△ABC的两条不同的中线，两条中线的交点即为重心。首先观察网格特征，分别找到BC边和AB边的中点，连接对应顶点得到两条中线，再找它们的交点即可。
【解析】
三角形的重心是三角形三条中线的交点，我们通过找两条中线的交点确定重心：
1. 找到边BC的中点，连接点A与BC的中点，得到△ABC的一条中线，这条中线是图中的竖直线，经过点A、F、D；
2. 找到边AB的中点，连接点C与AB的中点，得到△ABC的另一条中线，这条中线是图中的水平线，经过点B、E、D、G、C；
3. 两条中线的交点为点D，因此点D是△ABC的重心。
【答案】
A
【知识点】
三角形重心的定义；三角形中线的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的核心是牢记三角形重心是三条中线的交点，结合网格特征快速找到三角形的中线即可求解，考查对基础概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
4. 如图，点G是$△ ABC$的重心，若$S_{△ BGC}=6\ \mathrm{cm}^2$，则$S_{△ ABC}=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$。
答案：4. 18.
解析：
【分析】
解题时首先回忆三角形重心的相关性质：①三角形的重心是三条中线的交点，重心分中线的比为2:1（重心到顶点的距离:重心到对边中点的距离=2:1）；②三角形的中线将三角形分为两个等底同高、面积相等的小三角形。我们可以先根据中线性质推出△GBD和△GCD面积相等，再结合重心分中线的比例关系，推出△ABG、△ACG的面积均与△BGC相等，最终计算出△ABC的总面积。
【解析】
∵点G是△ABC的重心，
∴AD是BC边上的中线，D为BC中点，且$AG:GD=2:1$，即$AD:GD=3:1$。
①△GBD和△GCD中，$BD=CD$，且两三角形同高，
∴$S_{△ GBD}=S_{△ GCD}=\frac{1}{2}S_{△ BGC}=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}^2$。
②△ABD和△GBD中，两三角形同底BD，高的比等于$AD:GD=3:1$，
∴$S_{△ ABD}=3S_{△ GBD}=3×3=9\ \mathrm{cm}^2$。
同理可得$S_{△ ACD}=9\ \mathrm{cm}^2$。
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=9+9=18\ \mathrm{cm}^2$。
也可根据重心性质直接推导：重心与三角形三个顶点的连线将三角形分成3个面积相等的小三角形，因此$S_{△ ABC}=3S_{△ BGC}=3×6=18\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
18
【知识点】
三角形重心的性质、三角形面积计算、三角形中线的性质
【点评】
本题是三角形重心性质的基础应用题，解题核心是掌握重心分中线的比例关系，以及等底同高的三角形面积相等的规律，熟练记忆相关性质即可快速求出结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形重心的相关性质：①三角形的重心是三条中线的交点，重心分中线的比为2:1（重心到顶点的距离:重心到对边中点的距离=2:1）；②三角形的中线将三角形分为两个等底同高、面积相等的小三角形。我们可以先根据中线性质推出△GBD和△GCD面积相等，再结合重心分中线的比例关系，推出△ABG、△ACG的面积均与△BGC相等，最终计算出△ABC的总面积。
【解析】
∵点G是△ABC的重心，
∴AD是BC边上的中线，D为BC中点，且$AG:GD=2:1$，即$AD:GD=3:1$。
①△GBD和△GCD中，$BD=CD$，且两三角形同高，
∴$S_{△ GBD}=S_{△ GCD}=\frac{1}{2}S_{△ BGC}=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}^2$。
②△ABD和△GBD中，两三角形同底BD，高的比等于$AD:GD=3:1$，
∴$S_{△ ABD}=3S_{△ GBD}=3×3=9\ \mathrm{cm}^2$。
同理可得$S_{△ ACD}=9\ \mathrm{cm}^2$。
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=9+9=18\ \mathrm{cm}^2$。
也可根据重心性质直接推导：重心与三角形三个顶点的连线将三角形分成3个面积相等的小三角形，因此$S_{△ ABC}=3S_{△ BGC}=3×6=18\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
18
【知识点】
三角形重心的性质、三角形面积计算、三角形中线的性质
【点评】
本题是三角形重心性质的基础应用题，解题核心是掌握重心分中线的比例关系，以及等底同高的三角形面积相等的规律，熟练记忆相关性质即可快速求出结果。
【难度系数】
0.7
5. 如图，$△ ABC$ 的顶点在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长为1，请按要求画图并回答问题：
（1）请画图找出$△ ABC$ 的重心点$P$；
（2）连接$PA$，$PC$，直接写出$△ PAC$ 的面积.
（1）请画图找出$△ ABC$ 的重心点$P$；
（2）连接$PA$，$PC$，直接写出$△ PAC$ 的面积.
答案：
5. (1) 如图所示,点 P 即为所求
.
(2) 由图可得 $S_{△ APC}=S_{△ AMC}-S_{△ PMC}=\frac{1}{2}×6×4-\frac{1}{2}×4×2=8$.
5. (1) 如图所示,点 P 即为所求
.(2) 由图可得 $S_{△ APC}=S_{△ AMC}-S_{△ PMC}=\frac{1}{2}×6×4-\frac{1}{2}×4×2=8$.
解析：
【分析】
（1）要找三角形的重心，首先回忆重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点，因此只需作出△ABC的任意两条中线，它们的交点就是所求的重心P。操作时先找到△ABC两条边的中点，再分别连接中点和对顶点得到两条中线，交点即为P。
（2）要求△PAC的面积，观察网格特征，直接计算该三角形的底和高不够简便，因此选择割补法中的面积差法，将△PAC放在可直接计算面积的大三角形中，用大三角形面积减去多余小三角形的面积即可得到结果。
【解析】
（1）首先找到BC边的中点M、AB边的中点N，连接AM、CN，两条线段的交点即为△ABC的重心P。
（2）观察图形可得，$△ PAC$的面积等于$△ AMC$的面积减去$△ PMC$的面积：
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$：
$S_{△ AMC}=\frac{1}{2}×6×4=12$，
$S_{△ PMC}=\frac{1}{2}×4×2=4$，
因此$S_{△ PAC}=12-4=8$。
【答案】
(1) 如图所示,点 P 即为所求。
(2) $\boxed{8}$
【知识点】
三角形重心的概念，三角形中线的画法，割补法求面积
【点评】
本题结合网格考查三角形重心的作图和网格中三角形面积的计算，核心是掌握重心的定义，同时学会灵活运用割补法解决网格中的面积计算问题，是几何基础应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
（1）要找三角形的重心，首先回忆重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点，因此只需作出△ABC的任意两条中线，它们的交点就是所求的重心P。操作时先找到△ABC两条边的中点，再分别连接中点和对顶点得到两条中线，交点即为P。
（2）要求△PAC的面积，观察网格特征，直接计算该三角形的底和高不够简便，因此选择割补法中的面积差法，将△PAC放在可直接计算面积的大三角形中，用大三角形面积减去多余小三角形的面积即可得到结果。
【解析】
（1）首先找到BC边的中点M、AB边的中点N，连接AM、CN，两条线段的交点即为△ABC的重心P。
（2）观察图形可得，$△ PAC$的面积等于$△ AMC$的面积减去$△ PMC$的面积：
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$：
$S_{△ AMC}=\frac{1}{2}×6×4=12$，
$S_{△ PMC}=\frac{1}{2}×4×2=4$，
因此$S_{△ PAC}=12-4=8$。
【答案】
(1) 如图所示,点 P 即为所求
。(2) $\boxed{8}$
【知识点】
三角形重心的概念，三角形中线的画法，割补法求面积
【点评】
本题结合网格考查三角形重心的作图和网格中三角形面积的计算，核心是掌握重心的定义，同时学会灵活运用割补法解决网格中的面积计算问题，是几何基础应用的典型习题。
【难度系数】
0.7