1. 为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾改为乘坐公交车. 已知小李家距上班地点18千米，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾平均每小时行驶的路程少10千米. 他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾所用时间的$\frac{4}{3}$. 设小李自驾平均每小时行驶$x$千米，根据题意可列方程为 （
A.$\frac{18}{x+10}=\frac{18}{x}×\frac{4}{3}$
B.$\frac{18}{x}=\frac{18}{x+10}×\frac{4}{3}$
C.$\frac{18}{x-10}=\frac{18}{x}×\frac{4}{3}$
D.$\frac{18}{x}=\frac{18}{x-10}×\frac{4}{3}$
C
）A.$\frac{18}{x+10}=\frac{18}{x}×\frac{4}{3}$
B.$\frac{18}{x}=\frac{18}{x+10}×\frac{4}{3}$
C.$\frac{18}{x-10}=\frac{18}{x}×\frac{4}{3}$
D.$\frac{18}{x}=\frac{18}{x-10}×\frac{4}{3}$
答案：1. C
解析：
【分析】
这是一道行程类的分式方程应用题，解题先抓住行程问题核心公式：路程=速度×时间，变形可得时间=路程÷速度。首先梳理两种出行方式的速度：已知自驾速度为每小时$x$千米，乘公交车每小时比自驾少行驶10千米，因此公交车速度为$(x-10)$千米/时。接着分别表示出两种方式的通行时间，再根据“乘公交车所用时间是自驾所用时间的$\frac{4}{3}$”这一等量关系列方程即可。
【解析】
步骤1：确定两种出行方式的速度
设小李自驾平均每小时行驶$x$千米，由题意得乘公交车平均每小时行驶$(x-10)$千米。
步骤2：分别表示两种方式的通行时间
根据时间=路程÷速度，往返路程均为18千米：
自驾所用时间为$\frac{18}{x}$小时，乘公交车所用时间为$\frac{18}{x-10}$小时。
步骤3：根据时间的等量关系列方程
已知乘公交车所用时间是自驾所用时间的$\frac{4}{3}$，因此可列方程：
$\frac{18}{x-10}=\frac{18}{x}×\frac{4}{3}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
行程问题数量关系；分式方程的实际应用
【点评】
本题属于分式方程应用的基础题型，解题的关键是准确梳理不同出行方式下速度、时间的对应关系，注意不要混淆“谁是谁的几分之几”的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道行程类的分式方程应用题，解题先抓住行程问题核心公式：路程=速度×时间，变形可得时间=路程÷速度。首先梳理两种出行方式的速度：已知自驾速度为每小时$x$千米，乘公交车每小时比自驾少行驶10千米，因此公交车速度为$(x-10)$千米/时。接着分别表示出两种方式的通行时间，再根据“乘公交车所用时间是自驾所用时间的$\frac{4}{3}$”这一等量关系列方程即可。
【解析】
步骤1：确定两种出行方式的速度
设小李自驾平均每小时行驶$x$千米，由题意得乘公交车平均每小时行驶$(x-10)$千米。
步骤2：分别表示两种方式的通行时间
根据时间=路程÷速度，往返路程均为18千米：
自驾所用时间为$\frac{18}{x}$小时，乘公交车所用时间为$\frac{18}{x-10}$小时。
步骤3：根据时间的等量关系列方程
已知乘公交车所用时间是自驾所用时间的$\frac{4}{3}$，因此可列方程：
$\frac{18}{x-10}=\frac{18}{x}×\frac{4}{3}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
行程问题数量关系；分式方程的实际应用
【点评】
本题属于分式方程应用的基础题型，解题的关键是准确梳理不同出行方式下速度、时间的对应关系，注意不要混淆“谁是谁的几分之几”的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 两个连续整数的倒数和为$\frac{5}{6}$，求这两个整数. 设较小整数为$x$，那么根据题意可列的方程为 （
A.$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{5}{6}$
B.$x+(x+1)=\frac{6}{5}$
C.$\frac{2}{x+(x+1)}=\frac{5}{6}$
D.$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}=\frac{5}{6}$
A
）A.$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{5}{6}$
B.$x+(x+1)=\frac{6}{5}$
C.$\frac{2}{x+(x+1)}=\frac{5}{6}$
D.$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}=\frac{5}{6}$
答案：2. A
解析：
【分析】
解题时首先明确两个核心条件：一是两个数是连续整数，二是它们的倒数和为$\frac{5}{6}$。首先，设较小整数为$x$，连续整数之间相差1，因此较大的整数就是$x+1$；接下来，一个数的倒数就是1除以这个数，因此两个数的倒数分别为$\frac{1}{x}$和$\frac{1}{x+1}$；最后根据“倒数和为$\frac{5}{6}$”的等量关系，把两个倒数相加等于$\frac{5}{6}$，即可列出对应的方程，再匹配选项就可以得到答案。
【解析】
步骤1：表示两个连续整数
设较小整数为$x$，则与它相邻的较大连续整数为$x+1$。
步骤2：表示两个数的倒数
$x$的倒数为$\frac{1}{x}$，$x+1$的倒数为$\frac{1}{x+1}$。
步骤3：根据等量关系列方程
题目给出两个数的倒数和为$\frac{5}{6}$，因此列方程得：
$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{5}{6}$，对应选项A。
*错误选项排除：
B选项是两个整数的和等于$\frac{6}{5}$，不符合“倒数和”的要求；
C选项形式错误，不符合倒数和的运算逻辑；
D选项中另一个整数为$x-1$，是比$x$更小的整数，不符合“两个连续整数、$x$为较小数”的设定，因此均错误。
【答案】
A
【知识点】
1. 列分式方程
2. 倒数的概念
3. 连续整数的表示
【点评】
本题属于基础题型，核心是抓住题干中的等量关系，正确表示相关量后即可列出方程，解题的易错点是容易搞混连续整数的大小关系，或误将“倒数和”理解为其他运算形式。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确两个核心条件：一是两个数是连续整数，二是它们的倒数和为$\frac{5}{6}$。首先，设较小整数为$x$，连续整数之间相差1，因此较大的整数就是$x+1$；接下来，一个数的倒数就是1除以这个数，因此两个数的倒数分别为$\frac{1}{x}$和$\frac{1}{x+1}$；最后根据“倒数和为$\frac{5}{6}$”的等量关系，把两个倒数相加等于$\frac{5}{6}$，即可列出对应的方程，再匹配选项就可以得到答案。
【解析】
步骤1：表示两个连续整数
设较小整数为$x$，则与它相邻的较大连续整数为$x+1$。
步骤2：表示两个数的倒数
$x$的倒数为$\frac{1}{x}$，$x+1$的倒数为$\frac{1}{x+1}$。
步骤3：根据等量关系列方程
题目给出两个数的倒数和为$\frac{5}{6}$，因此列方程得：
$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{5}{6}$，对应选项A。
*错误选项排除：
B选项是两个整数的和等于$\frac{6}{5}$，不符合“倒数和”的要求；
C选项形式错误，不符合倒数和的运算逻辑；
D选项中另一个整数为$x-1$，是比$x$更小的整数，不符合“两个连续整数、$x$为较小数”的设定，因此均错误。
【答案】
A
【知识点】
1. 列分式方程
2. 倒数的概念
3. 连续整数的表示
【点评】
本题属于基础题型，核心是抓住题干中的等量关系，正确表示相关量后即可列出方程，解题的易错点是容易搞混连续整数的大小关系，或误将“倒数和”理解为其他运算形式。
【难度系数】
0.9
3. 甲、乙两队工人完成一项工作，如果两队合作，6天可以完成；如果单独工作，甲队比乙队少用5天。两队单独工作各需几天？
解:设甲队单独工作要x天,那么乙队单独工作要
解:设甲队单独工作要x天,那么乙队单独工作要
x+5
天,甲队的工作效率为$\frac{1}{x}$
,乙队的工作效率为$\frac{1}{x+5}$
,两队合作一天可以完成工作的$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}$
.由题意可以列方程:$6(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5})=1$
.答案：3. $x+5$;$\frac{1}{x}$;$\frac{1}{x+5}$;$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}$;$6(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5})=1$.
解析：
【分析】
这是工程类分式方程应用题，解题遵循工程问题的基本逻辑：首先将工作总量默认设为单位“1”，工作效率=工作总量÷工作时间，合作效率等于各单独效率之和。首先根据“甲单独工作比乙少用5天”推导乙的单独工作时长，再依次计算两队的工作效率、合作单日工作量，最后根据“合作6天完成总工作”的等量关系列方程即可。
【解析】
1. 设甲队单独工作要x天，甲比乙单独少用5天，即乙单独工作时长比甲多5天，因此乙队单独工作要$x+5$天；
2. 工作总量为单位“1”，甲的工作效率=总工作量÷甲单独工作时长，即$\frac{1}{x}$；
3. 同理，乙的工作效率为$\frac{1}{x+5}$；
4. 两队合作1天的工作量为两队效率之和，即$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}$；
5. 合作6天完成总工作量1，根据“总工作量=工作时间×合作效率”，列方程为$6(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5})=1$。
【答案】
$x+5$;$\frac{1}{x}$;$\frac{1}{x+5}$;$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}$;$6(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5})=1$
【知识点】
工程问题，分式方程应用，工作效率计算
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础典型题，核心考察工程问题的通用解题模型，只要理清工作时间、工作效率、总工作量三者的数量关系，就能快速推导作答。
【难度系数】
0.8
这是工程类分式方程应用题，解题遵循工程问题的基本逻辑：首先将工作总量默认设为单位“1”，工作效率=工作总量÷工作时间，合作效率等于各单独效率之和。首先根据“甲单独工作比乙少用5天”推导乙的单独工作时长，再依次计算两队的工作效率、合作单日工作量，最后根据“合作6天完成总工作”的等量关系列方程即可。
【解析】
1. 设甲队单独工作要x天，甲比乙单独少用5天，即乙单独工作时长比甲多5天，因此乙队单独工作要$x+5$天；
2. 工作总量为单位“1”，甲的工作效率=总工作量÷甲单独工作时长，即$\frac{1}{x}$；
3. 同理，乙的工作效率为$\frac{1}{x+5}$；
4. 两队合作1天的工作量为两队效率之和，即$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}$；
5. 合作6天完成总工作量1，根据“总工作量=工作时间×合作效率”，列方程为$6(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5})=1$。
【答案】
$x+5$;$\frac{1}{x}$;$\frac{1}{x+5}$;$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}$;$6(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5})=1$
【知识点】
工程问题，分式方程应用，工作效率计算
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础典型题，核心考察工程问题的通用解题模型，只要理清工作时间、工作效率、总工作量三者的数量关系，就能快速推导作答。
【难度系数】
0.8
4. 某市为缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程能提前3个月完成，需将原定的工作效率提高12%，则原计划完成这项工程用多少个月？
答案：4. 28个.
解析：
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题时我们可以把总工作量看作单位“1”。首先设原计划完成工程的时间为未知数，分别表示出原计划的工作效率和实际的工作效率：原计划工作效率=总工作量÷原计划时间，实际工作时间比原计划少3个月，且实际工作效率是原计划的（1+12%）倍，再根据“实际工作效率=总工作量÷实际工作时间”的等量关系列分式方程，最后解方程并检验即可得到结果。
【解析】
解：设原计划完成这项工程用$ x $个月，将总工作量看作单位“1”。
原计划的工作效率为$ \frac{1}{x} $，实际完成工程用时$ (x-3) $个月，实际工作效率为$ \frac{1}{x-3} $。
根据题意，实际工作效率比原计划提高12%，可列方程：
$ \frac{1}{x} × (1+12\%) = \frac{1}{x-3} $
化简得：$ \frac{1.12}{x} = \frac{1}{x-3} $
交叉相乘得：$ 1.12(x-3) = x $
展开：$ 1.12x - 3.36 = x $
移项合并同类项：$ 0.12x = 3.36 $
解得：$ x = 28 $
检验：当$ x=28 $时，$ x(x-3)=28×25=700≠0 $，所以$ x=28 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
28个月
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 工程问题等量关系
3. 分式方程的检验
【点评】
本题属于工程类分式方程的常规应用题，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确梳理原计划和实际施工的效率、时间的对应关系，列方程求解后不要忘记检验根是否满足分式有意义和符合实际场景。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类应用题，解题时我们可以把总工作量看作单位“1”。首先设原计划完成工程的时间为未知数，分别表示出原计划的工作效率和实际的工作效率：原计划工作效率=总工作量÷原计划时间，实际工作时间比原计划少3个月，且实际工作效率是原计划的（1+12%）倍，再根据“实际工作效率=总工作量÷实际工作时间”的等量关系列分式方程，最后解方程并检验即可得到结果。
【解析】
解：设原计划完成这项工程用$ x $个月，将总工作量看作单位“1”。
原计划的工作效率为$ \frac{1}{x} $，实际完成工程用时$ (x-3) $个月，实际工作效率为$ \frac{1}{x-3} $。
根据题意，实际工作效率比原计划提高12%，可列方程：
$ \frac{1}{x} × (1+12\%) = \frac{1}{x-3} $
化简得：$ \frac{1.12}{x} = \frac{1}{x-3} $
交叉相乘得：$ 1.12(x-3) = x $
展开：$ 1.12x - 3.36 = x $
移项合并同类项：$ 0.12x = 3.36 $
解得：$ x = 28 $
检验：当$ x=28 $时，$ x(x-3)=28×25=700≠0 $，所以$ x=28 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
28个月
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 工程问题等量关系
3. 分式方程的检验
【点评】
本题属于工程类分式方程的常规应用题，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确梳理原计划和实际施工的效率、时间的对应关系，列方程求解后不要忘记检验根是否满足分式有意义和符合实际场景。
【难度系数】
0.7
问题 甲队单独做一项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比预期多用3天.若甲、乙两队合作2天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成，则规定的工期是多少天？
名师指导
本题的相等关系有两个，“乙队单独完成这项工程要比预期多用3天”和“若甲、
乙两队合作2天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”.考虑到问题要求的是规定的工期，所以根据第二个相等关系来列方程比较直接.因此，设规定的工期是x天，则甲队完成这项工程要x天，再根据第一个相等关系，乙队完成这项工程的天数就可以表示为$(x+3)$天.
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
名师指导
本题的相等关系有两个，“乙队单独完成这项工程要比预期多用3天”和“若甲、
乙两队合作2天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”.考虑到问题要求的是规定的工期，所以根据第二个相等关系来列方程比较直接.因此，设规定的工期是x天，则甲队完成这项工程要x天，再根据第一个相等关系，乙队完成这项工程的天数就可以表示为$(x+3)$天.
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
答案：解：设规定的工期是$x$天，则甲队单独完成这项工程需$x$天，乙队单独完成这项工程需$(x+3)$天。
根据题意列方程得：
$\frac{2}{x} + \frac{x}{x+3} = 1$
方程两边同乘$x(x+3)$，去分母得：
$2(x+3) + x^2 = x(x+3)$
去括号得：
$2x + 6 + x^2 = x^2 + 3x$
移项、合并同类项得：
$x = 6$
检验：当$x=6$时，$x(x+3)=6×9=54≠0$，所以$x=6$是原分式方程的解，且符合题意。
答：规定的工期是6天。
根据题意列方程得：
$\frac{2}{x} + \frac{x}{x+3} = 1$
方程两边同乘$x(x+3)$，去分母得：
$2(x+3) + x^2 = x(x+3)$
去括号得：
$2x + 6 + x^2 = x^2 + 3x$
移项、合并同类项得：
$x = 6$
检验：当$x=6$时，$x(x+3)=6×9=54≠0$，所以$x=6$是原分式方程的解，且符合题意。
答：规定的工期是6天。
解析：
【分析】
这是工程类分式方程应用题，解题时先将总工程量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的时长。我们直接设规定工期为x天，则甲单独完成需x天，工作效率为$\frac{1}{x}$；乙单独完成比工期多3天，所以乙单独完成需$(x+3)$天，工作效率为$\frac{1}{x+3}$。本题的等量关系为：甲工作2天的工作量加乙全程工作x天的工作量总和等于总工程量1，根据这个关系列分式方程，求解后要检验解是否符合方程要求和实际题意。
【解析】
设规定的工期是$x$天，则甲队单独完成这项工程需$x$天，乙队单独完成这项工程需$(x+3)$天。
根据题意列方程得：
$\frac{2}{x} + \frac{x}{x+3} = 1$
方程两边同乘$x(x+3)$，去分母得：
$2(x+3) + x^2 = x(x+3)$
去括号得：
$2x + 6 + x^2 = x^2 + 3x$
移项、合并同类项得：
$x = 6$
检验：当$x=6$时，$x(x+3)=6×9=54≠0$，所以$x=6$是原分式方程的解，且符合题意。
答：规定的工期是6天。
【答案】
规定的工期是6天
【知识点】
分式方程实际应用，工程问题，分式方程解法
【点评】
本题是分式方程应用的常规题型，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确梳理各主体的工作时间和工作效率，找准工作量的等量关系列方程，注意分式方程求解后必须进行双检验，既要验证是否为原方程的解，也要验证是否符合实际情境。
【难度系数】
0.7
这是工程类分式方程应用题，解题时先将总工程量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的时长。我们直接设规定工期为x天，则甲单独完成需x天，工作效率为$\frac{1}{x}$；乙单独完成比工期多3天，所以乙单独完成需$(x+3)$天，工作效率为$\frac{1}{x+3}$。本题的等量关系为：甲工作2天的工作量加乙全程工作x天的工作量总和等于总工程量1，根据这个关系列分式方程，求解后要检验解是否符合方程要求和实际题意。
【解析】
设规定的工期是$x$天，则甲队单独完成这项工程需$x$天，乙队单独完成这项工程需$(x+3)$天。
根据题意列方程得：
$\frac{2}{x} + \frac{x}{x+3} = 1$
方程两边同乘$x(x+3)$，去分母得：
$2(x+3) + x^2 = x(x+3)$
去括号得：
$2x + 6 + x^2 = x^2 + 3x$
移项、合并同类项得：
$x = 6$
检验：当$x=6$时，$x(x+3)=6×9=54≠0$，所以$x=6$是原分式方程的解，且符合题意。
答：规定的工期是6天。
【答案】
规定的工期是6天
【知识点】
分式方程实际应用，工程问题，分式方程解法
【点评】
本题是分式方程应用的常规题型，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确梳理各主体的工作时间和工作效率，找准工作量的等量关系列方程，注意分式方程求解后必须进行双检验，既要验证是否为原方程的解，也要验证是否符合实际情境。
【难度系数】
0.7