22. (8分)李明和张强是登山爱好者，周末两人相约去攀登一座 480 m高的山，两人同时开始登山，李明平均登山速度是张强的1.5倍，他比张强早20 min到达顶峰. 两人的平均登山速度各是多少？
设张强的平均登山速度是x m/min.
(1) 用含x的代数式填表：
(2) 列出方程并完成本题解答；
(3) 如果山高为h m，李明的平均登山速度是张强的a倍，并比张强早t min到达顶峰，则张强的平均登山速度是
设张强的平均登山速度是x m/min.
(1) 用含x的代数式填表：
(2) 列出方程并完成本题解答；
(3) 如果山高为h m，李明的平均登山速度是张强的a倍，并比张强早t min到达顶峰，则张强的平均登山速度是
$\frac{ah-h}{at}$
m/min，李明的平均登山速度是$\frac{ah-h}{t}$
m/min.答案：22. (1) $\frac{480}{x},1.5x,\frac{480}{1.5x}$；(2) 张强的平均登山速度是8 m/min,李明的平均登山速度是12 m/min。(3) $\frac{ah-h}{at},\frac{ah-h}{t}$
解析：
【分析】
本题围绕行程问题展开，核心用到“时间=路程÷速度”的基本关系：
(1) 直接套用行程公式，结合已知的张强速度x，分别表示出张强的时间、李明的速度、李明的时间即可；
(2) 抓住“张强比李明晚20min到达”这一核心等量关系，即张强用时-李明用时=20min，代入(1)中的代数式列分式方程求解，注意分式方程要检验根的合理性；
(3) 将具体数值替换为字母，沿用(2)的等量关系列方程，求解即可得到通用表达式。
【解析】
(1) 张强的登山时间=总路程÷张强速度=$\frac{480}{x}$ min；
李明速度是张强的1.5倍，因此李明速度为$1.5x$ m/min；
李明的登山时间=总路程÷李明速度=$\frac{480}{1.5x}$ min。
(2) 根据题意列方程：
$\frac{480}{x} - \frac{480}{1.5x} = 20$
方程两边同时乘$1.5x$去分母得：
$480×1.5 - 480 = 20×1.5x$
计算化简得：$240=30x$，解得$x=8$。
检验：当$x=8$时，$1.5x=12≠0$，因此$x=8$是原方程的解，且符合实际登山的速度要求。
则李明的平均速度为$1.5×8=12$ m/min。
(3) 设张强平均速度为$v$ m/min，则李明速度为$av$ m/min，根据时间差列方程：
$\frac{h}{v} - \frac{h}{av} = t$
方程两边乘$av$得：$ah - h = atv$，解得$v=\frac{ah-h}{at}$，
李明的平均速度为$a×\frac{ah-h}{at}=\frac{ah-h}{t}$。
【答案】
(1) $\frac{480}{x}$，$1.5x$，$\frac{480}{1.5x}$；
(2) 张强的平均登山速度是8 m/min，李明的平均登山速度是12 m/min；
(3) $\frac{ah-h}{at}$，$\frac{ah-h}{t}$
【知识点】
列代数式；分式方程的应用；行程问题公式
【点评】
本题是典型的分式方程行程类应用题，解题的关键是找准时间差这一等量关系，需要注意解分式方程后必须检验根是否符合实际意义，最后一问的字母推导难度略高，需要清晰梳理量与量之间的关系，运算时注意不要出错。
【难度系数】
0.7
本题围绕行程问题展开，核心用到“时间=路程÷速度”的基本关系：
(1) 直接套用行程公式，结合已知的张强速度x，分别表示出张强的时间、李明的速度、李明的时间即可；
(2) 抓住“张强比李明晚20min到达”这一核心等量关系，即张强用时-李明用时=20min，代入(1)中的代数式列分式方程求解，注意分式方程要检验根的合理性；
(3) 将具体数值替换为字母，沿用(2)的等量关系列方程，求解即可得到通用表达式。
【解析】
(1) 张强的登山时间=总路程÷张强速度=$\frac{480}{x}$ min；
李明速度是张强的1.5倍，因此李明速度为$1.5x$ m/min；
李明的登山时间=总路程÷李明速度=$\frac{480}{1.5x}$ min。
(2) 根据题意列方程：
$\frac{480}{x} - \frac{480}{1.5x} = 20$
方程两边同时乘$1.5x$去分母得：
$480×1.5 - 480 = 20×1.5x$
计算化简得：$240=30x$，解得$x=8$。
检验：当$x=8$时，$1.5x=12≠0$，因此$x=8$是原方程的解，且符合实际登山的速度要求。
则李明的平均速度为$1.5×8=12$ m/min。
(3) 设张强平均速度为$v$ m/min，则李明速度为$av$ m/min，根据时间差列方程：
$\frac{h}{v} - \frac{h}{av} = t$
方程两边乘$av$得：$ah - h = atv$，解得$v=\frac{ah-h}{at}$，
李明的平均速度为$a×\frac{ah-h}{at}=\frac{ah-h}{t}$。
【答案】
(1) $\frac{480}{x}$，$1.5x$，$\frac{480}{1.5x}$；
(2) 张强的平均登山速度是8 m/min，李明的平均登山速度是12 m/min；
(3) $\frac{ah-h}{at}$，$\frac{ah-h}{t}$
【知识点】
列代数式；分式方程的应用；行程问题公式
【点评】
本题是典型的分式方程行程类应用题，解题的关键是找准时间差这一等量关系，需要注意解分式方程后必须检验根是否符合实际意义，最后一问的字母推导难度略高，需要清晰梳理量与量之间的关系，运算时注意不要出错。
【难度系数】
0.7
23. (10分)如果两个实数$a,b$使得关于$x$的分式方程$\frac{a}{x}+1=b$的解是$x=\frac{1}{a+b}$成立，那么我们就把实数$a,b$组成的数对$[a,b]$称为关于$x$的分式方程$\frac{a}{x}+1=b$的一个“关联数对”.例如:$a=2,b=-5$使得关于$x$的分式方程$\frac{2}{x}+1=-5$的解是$x=\frac{1}{2+(-5)}=-\frac{1}{3}$成立，所以数对$[2,-5]$就是关于$x$的分式方程$\frac{2}{x}+1=-5$的一个“关联数对”.
(1) 判断下列数对是否为关于$x$的分式方程$\frac{a}{x}+1=b$的“关联数对”.若是,请在横线上打“√”;若不是,请在横线上打“×”.
① $[1,1]$
② $[3,-5]$
③ $[-2,4]$
(2) 若数对$[n,8-n]$是关于$x$的分式方程$\frac{a}{x}+1=b$的“关联数对”,求$n$的值;
(3) 若数对$[m-k,k](m≠-1且m≠0,k≠1)$是关于$x$的分式方程$\frac{a}{x}+1=b$的“关联数对”.当$k$为整数时,求整数$m$的值.
(1) 判断下列数对是否为关于$x$的分式方程$\frac{a}{x}+1=b$的“关联数对”.若是,请在横线上打“√”;若不是,请在横线上打“×”.
① $[1,1]$
×
;② $[3,-5]$
√
;③ $[-2,4]$
×
.(2) 若数对$[n,8-n]$是关于$x$的分式方程$\frac{a}{x}+1=b$的“关联数对”,求$n$的值;
(3) 若数对$[m-k,k](m≠-1且m≠0,k≠1)$是关于$x$的分式方程$\frac{a}{x}+1=b$的“关联数对”.当$k$为整数时,求整数$m$的值.
答案：23. 解:(1) ① ×;② √;③ ×. (2) 由条件可知$x=\frac{1}{n+8-n}=\frac{1}{8}$,$\therefore \frac{n}{\frac{1}{8}}+1=8-n$,整理得$8n+1=8-n$,解得$n=\frac{7}{9}$. (3) 由条件可知$\frac{m-k}{x}+1=k$,$x=\frac{1}{m-k+k}=\frac{1}{m}$,$\therefore \frac{m-k}{\frac{1}{m}}+1=k$,$\therefore m(m-k)+1=k$,$\therefore k=\frac{m^2+1}{m+1}=\frac{m^2+1+2m-2m}{m+1}=\frac{(m+1)^2-2(m+1)+2}{m+1}=m-1+\frac{2}{m+1}$.$\because k$为整数,$m$为整数,$\therefore \frac{2}{m+1}$为整数,$\therefore m+1=±2$或$m+1=±1$,解得$m=-3$或$-2$或0或1.又$\because m≠0,k≠1$,$\therefore m+1≠m^2+1$,$\therefore m≠1$,$\therefore m=-3$或$m=-2$.
解析：
【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解“关联数对”的定义：若数对$[a,b]$是关联数对，则需满足分式方程$\frac{a}{x}+1=b$的解为$x=\frac{1}{a+b}$，且该解代入方程后等式成立。
(1) 判断数对是否为关联数对，只需将对应$a、b$代入，先计算$x=\frac{1}{a+b}$，再将$x$代入分式方程，验证左右两边是否相等即可。
(2) 已知数对$[n,8-n]$是关联数对，可得$a=n、b=8-n$，先求出对应$x$的值，再代入分式方程得到关于$n$的一元一次方程，解方程即可得$n$的值。
(3) 由数对$[m-k,k]$是关联数对，得$a=m-k、b=k$，先求出$x$的表达式，代入方程后整理得到$k$与$m$的关系式，再结合$k、m$均为整数的条件，分析分式部分的整数取值，最后结合题目给出的限制条件排除不符合的解，即可得到整数$m$的值。
【解析】
(1) ① 对于数对$[1,1]$，$a=1,b=1$，$x=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$，代入方程左边$=\frac{1}{\frac{1}{2}}+1=3$，右边$=1$，左边≠右边，故不是关联数对；
② 对于数对$[3,-5]$，$a=3,b=-5$，$x=\frac{1}{3+(-5)}=-\frac{1}{2}$，代入方程左边$=\frac{3}{-\frac{1}{2}}+1=-5$，右边$=-5$，左边=右边，故是关联数对；
③ 对于数对$[-2,4]$，$a=-2,b=4$，$x=\frac{1}{-2+4}=\frac{1}{2}$，代入方程左边$=\frac{-2}{\frac{1}{2}}+1=-3$，右边$=4$，左边≠右边，故不是关联数对。
(2)
∵数对$[n,8-n]$是“关联数对”
∴$a=n,b=8-n$，对应方程的解$x=\frac{1}{n+(8-n)}=\frac{1}{8}$
将$x=\frac{1}{8}$代入分式方程得：
$\frac{n}{\frac{1}{8}}+1=8-n$
整理得$8n+1=8-n$
移项合并得$9n=7$
解得$n=\frac{7}{9}$
(3)
∵数对$[m-k,k]$是“关联数对”
∴$a=m-k,b=k$，对应方程的解$x=\frac{1}{(m-k)+k}=\frac{1}{m}$
将$x=\frac{1}{m}$代入分式方程得：
$\frac{m-k}{\frac{1}{m}}+1=k$
整理得$m(m-k)+1=k$
去括号移项得$k(m+1)=m^2+1$
∵$m≠-1$，即$m+1≠0$
∴$k=\frac{m^2+1}{m+1}=\frac{(m+1)^2-2(m+1)+2}{m+1}=m-1+\frac{2}{m+1}$
∵$k、m$均为整数，
∴$\frac{2}{m+1}$为整数
∴$m+1$是2的整数因数，即$m+1=±1$或$m+1=±2$
解得$m=0$或$m=-2$或$m=1$或$m=-3$
结合限制条件$m≠0$，$k≠1$（当$m=1$时$k=1$，不符合要求），舍去$m=0$和$m=1$
∴符合条件的整数$m$为$-3$或$-2$
【答案】
(1) ①×；②√；③×
(2) $n=\frac{7}{9}$
(3) 整数$m$的值为$-3$或$-2$
【知识点】
新定义运算，分式方程的解，分式化简
【点评】
本题以新定义“关联数对”为背景，考查分式方程的求解及整数解的分析，解题关键是读懂新定义的规则，将新问题转化为熟悉的分式方程运算，第三问需注意结合题目给出的限制条件对解进行取舍，避免出现多解漏判的错误。
【难度系数】
0.6
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解“关联数对”的定义：若数对$[a,b]$是关联数对，则需满足分式方程$\frac{a}{x}+1=b$的解为$x=\frac{1}{a+b}$，且该解代入方程后等式成立。
(1) 判断数对是否为关联数对，只需将对应$a、b$代入，先计算$x=\frac{1}{a+b}$，再将$x$代入分式方程，验证左右两边是否相等即可。
(2) 已知数对$[n,8-n]$是关联数对，可得$a=n、b=8-n$，先求出对应$x$的值，再代入分式方程得到关于$n$的一元一次方程，解方程即可得$n$的值。
(3) 由数对$[m-k,k]$是关联数对，得$a=m-k、b=k$，先求出$x$的表达式，代入方程后整理得到$k$与$m$的关系式，再结合$k、m$均为整数的条件，分析分式部分的整数取值，最后结合题目给出的限制条件排除不符合的解，即可得到整数$m$的值。
【解析】
(1) ① 对于数对$[1,1]$，$a=1,b=1$，$x=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$，代入方程左边$=\frac{1}{\frac{1}{2}}+1=3$，右边$=1$，左边≠右边，故不是关联数对；
② 对于数对$[3,-5]$，$a=3,b=-5$，$x=\frac{1}{3+(-5)}=-\frac{1}{2}$，代入方程左边$=\frac{3}{-\frac{1}{2}}+1=-5$，右边$=-5$，左边=右边，故是关联数对；
③ 对于数对$[-2,4]$，$a=-2,b=4$，$x=\frac{1}{-2+4}=\frac{1}{2}$，代入方程左边$=\frac{-2}{\frac{1}{2}}+1=-3$，右边$=4$，左边≠右边，故不是关联数对。
(2)
∵数对$[n,8-n]$是“关联数对”
∴$a=n,b=8-n$，对应方程的解$x=\frac{1}{n+(8-n)}=\frac{1}{8}$
将$x=\frac{1}{8}$代入分式方程得：
$\frac{n}{\frac{1}{8}}+1=8-n$
整理得$8n+1=8-n$
移项合并得$9n=7$
解得$n=\frac{7}{9}$
(3)
∵数对$[m-k,k]$是“关联数对”
∴$a=m-k,b=k$，对应方程的解$x=\frac{1}{(m-k)+k}=\frac{1}{m}$
将$x=\frac{1}{m}$代入分式方程得：
$\frac{m-k}{\frac{1}{m}}+1=k$
整理得$m(m-k)+1=k$
去括号移项得$k(m+1)=m^2+1$
∵$m≠-1$，即$m+1≠0$
∴$k=\frac{m^2+1}{m+1}=\frac{(m+1)^2-2(m+1)+2}{m+1}=m-1+\frac{2}{m+1}$
∵$k、m$均为整数，
∴$\frac{2}{m+1}$为整数
∴$m+1$是2的整数因数，即$m+1=±1$或$m+1=±2$
解得$m=0$或$m=-2$或$m=1$或$m=-3$
结合限制条件$m≠0$，$k≠1$（当$m=1$时$k=1$，不符合要求），舍去$m=0$和$m=1$
∴符合条件的整数$m$为$-3$或$-2$
【答案】
(1) ①×；②√；③×
(2) $n=\frac{7}{9}$
(3) 整数$m$的值为$-3$或$-2$
【知识点】
新定义运算，分式方程的解，分式化简
【点评】
本题以新定义“关联数对”为背景，考查分式方程的求解及整数解的分析，解题关键是读懂新定义的规则，将新问题转化为熟悉的分式方程运算，第三问需注意结合题目给出的限制条件对解进行取舍，避免出现多解漏判的错误。
【难度系数】
0.6