18. (10分)如图，C岛在A岛的北偏东$50°$方向，B岛在A岛的北偏东$70°$方向，C岛在B岛的北偏西$40°$方向，$∠ ACB$的角平分线CM与AB交于点M，则点M在点C的什么方向？
答案：18. 点M在点C的南偏西$5°$方向.
解析：
【分析】
解题首先要明确方向角的含义，且图中两条正北方向线互相平行，我们可以先借助平行线的性质和方向角的度数求出△ABC的三个内角的度数，再利用角平分线的定义得到∠ACM的度数，最后过点C作正南方向的辅助线，结合平行线内错角相等的性质，计算出CM与正南方向线的夹角，即可确定点M相对于点C的方向。
【解析】
解：由题意可知$AD// BE$，$∠ DAC=50°$，$∠ DAB=70°$，$∠ EBC=40°$。
1. 计算$∠ CAB$：
$∠ CAB = ∠ DAB - ∠ DAC = 70° - 50° = 20°$
2. 计算$∠ ABC$：
$\because AD// BE$，$\therefore ∠ DAB + ∠ ABE = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
$\therefore ∠ ABE = 180° - 70° = 110°$
$\therefore ∠ ABC = ∠ ABE - ∠ EBC = 110° - 40° = 70°$
3. 计算$∠ ACB$：
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ACB = 180° - ∠ CAB - ∠ ABC = 180° - 20° -70° = 90°$
4. 由角平分线定义求$∠ ACM$：
$\because CM$平分$∠ ACB$，$\therefore ∠ ACM = \frac{1}{2}∠ ACB = 45°$
5. 确定方向角：
过点C作正南方向的射线$CF$，则$CF// AD$，
$\therefore ∠ ACF = ∠ DAC = 50°$（两直线平行，内错角相等）
$\therefore ∠ MCF = ∠ ACF - ∠ ACM = 50° - 45° = 5°$
$\because CF$为正南方向，$∠ MCF=5°$即$CM$在正南方向西侧$5°$，
$\therefore$点M在点C的南偏西$5°$方向。
【答案】
点M在点C的南偏西$5°$方向.
【知识点】
方向角，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题将方向角与几何角度计算结合，解题的关键是理解方向角的概念，灵活运用平行线的性质和三角形内角和、角平分线的性质进行角度转化与计算，需要注意方位描述中以南北方向为基准。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确方向角的含义，且图中两条正北方向线互相平行，我们可以先借助平行线的性质和方向角的度数求出△ABC的三个内角的度数，再利用角平分线的定义得到∠ACM的度数，最后过点C作正南方向的辅助线，结合平行线内错角相等的性质，计算出CM与正南方向线的夹角，即可确定点M相对于点C的方向。
【解析】
解：由题意可知$AD// BE$，$∠ DAC=50°$，$∠ DAB=70°$，$∠ EBC=40°$。
1. 计算$∠ CAB$：
$∠ CAB = ∠ DAB - ∠ DAC = 70° - 50° = 20°$
2. 计算$∠ ABC$：
$\because AD// BE$，$\therefore ∠ DAB + ∠ ABE = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
$\therefore ∠ ABE = 180° - 70° = 110°$
$\therefore ∠ ABC = ∠ ABE - ∠ EBC = 110° - 40° = 70°$
3. 计算$∠ ACB$：
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ACB = 180° - ∠ CAB - ∠ ABC = 180° - 20° -70° = 90°$
4. 由角平分线定义求$∠ ACM$：
$\because CM$平分$∠ ACB$，$\therefore ∠ ACM = \frac{1}{2}∠ ACB = 45°$
5. 确定方向角：
过点C作正南方向的射线$CF$，则$CF// AD$，
$\therefore ∠ ACF = ∠ DAC = 50°$（两直线平行，内错角相等）
$\therefore ∠ MCF = ∠ ACF - ∠ ACM = 50° - 45° = 5°$
$\because CF$为正南方向，$∠ MCF=5°$即$CM$在正南方向西侧$5°$，
$\therefore$点M在点C的南偏西$5°$方向。
【答案】
点M在点C的南偏西$5°$方向.
【知识点】
方向角，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题将方向角与几何角度计算结合，解题的关键是理解方向角的概念，灵活运用平行线的性质和三角形内角和、角平分线的性质进行角度转化与计算，需要注意方位描述中以南北方向为基准。
【难度系数】
0.6
19. (10分)如图,在等腰$△ ABC$中, $AB=AC,∠ DBC=15°,AB$ 的垂直平分线 $MN$ 交 $AC$ 于点 $D$,求$∠ A$的度数.
答案：19. 解:$\because MN$ 是 $AB$ 的垂直平分线, $\therefore AD=BD$.
$\therefore ∠ A = ∠ ABD. \because ∠ DBC = 15°$
$\therefore ∠ ABC=∠ A + 15°. \because AB = AC, \therefore ∠ C =∠ ABC=∠ A+15°.$
$\therefore ∠ A+∠ A+15°+∠ A+15°=180°$, 解得$∠ A=50°.$
$\therefore ∠ A = ∠ ABD. \because ∠ DBC = 15°$
$\therefore ∠ ABC=∠ A + 15°. \because AB = AC, \therefore ∠ C =∠ ABC=∠ A+15°.$
$\therefore ∠ A+∠ A+15°+∠ A+15°=180°$, 解得$∠ A=50°.$
解析：
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先看到MN是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，进而推出∠A=∠ABD；再结合等腰△ABC中AB=AC，可得两底角∠ABC=∠C，而∠ABC由∠ABD和∠DBC组成，即可将∠ABC、∠C都用含∠A的式子表示；最后根据三角形内角和为180°，列出关于∠A的方程，求解即可得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD。
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠A+15°。
又
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠A+15°。
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$
即$∠ A+(∠ A+15°)+(∠ A+15°)=180°$
整理得$3∠ A+30°=180°$
解得$∠ A=50°$。
【答案】
$∠ A=50°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心是利用相关几何性质完成角的等量转化，将所有内角用同一个未知角表示后结合内角和定理建立方程求解，掌握基础性质是解题的前提，解题时需理清角之间的和差关系。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，首先看到MN是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，进而推出∠A=∠ABD；再结合等腰△ABC中AB=AC，可得两底角∠ABC=∠C，而∠ABC由∠ABD和∠DBC组成，即可将∠ABC、∠C都用含∠A的式子表示；最后根据三角形内角和为180°，列出关于∠A的方程，求解即可得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD。
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠A+15°。
又
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠A+15°。
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$
即$∠ A+(∠ A+15°)+(∠ A+15°)=180°$
整理得$3∠ A+30°=180°$
解得$∠ A=50°$。
【答案】
$∠ A=50°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心是利用相关几何性质完成角的等量转化，将所有内角用同一个未知角表示后结合内角和定理建立方程求解，掌握基础性质是解题的前提，解题时需理清角之间的和差关系。
【难度系数】
0.7
20. (10分)如图,在$△ ABC$中,P,Q分别是边AB,AC上的定点,在BC边上求画一点M,使$△ PQM$的周长最小.(要求尺规画图,保留清晰画图痕迹,不写画法)
答案：20. 画图略.
解析：
【分析】
要使△PQM的周长最小，首先分析周长的组成：△PQM的周长=PM+QM+PQ。由于P、Q是AB、AC上的定点，因此PQ的长度是固定不变的，所以问题可转化为求PM+QM的最小值。根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”的原理，我们可以通过作其中一个定点关于BC的对称点，将同侧线段转化为异侧，进而找到使PM+QM最小的点M。
【解析】
作图需保留以下痕迹：
1. 作点P关于直线BC的对称点P'（也可选择作点Q关于BC的对称点）；
2. 连接P'Q，该线段与BC边的交点即为所求的点M；
3. 连接PM、QM，此时得到的△PQM周长最小。
【答案】
画图略。
【知识点】
轴对称的性质；最短路径作图；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的典型应用类题目，核心是通过转化思想，将周长最小问题转化为两条线段和最小的问题，利用轴对称实现线段的等量转换，结合两点之间线段最短的原理确定目标点，同时考查了尺规作图的基本操作能力。
【难度系数】
0.65
要使△PQM的周长最小，首先分析周长的组成：△PQM的周长=PM+QM+PQ。由于P、Q是AB、AC上的定点，因此PQ的长度是固定不变的，所以问题可转化为求PM+QM的最小值。根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”的原理，我们可以通过作其中一个定点关于BC的对称点，将同侧线段转化为异侧，进而找到使PM+QM最小的点M。
【解析】
作图需保留以下痕迹：
1. 作点P关于直线BC的对称点P'（也可选择作点Q关于BC的对称点）；
2. 连接P'Q，该线段与BC边的交点即为所求的点M；
3. 连接PM、QM，此时得到的△PQM周长最小。
【答案】
画图略。
【知识点】
轴对称的性质；最短路径作图；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的典型应用类题目，核心是通过转化思想，将周长最小问题转化为两条线段和最小的问题，利用轴对称实现线段的等量转换，结合两点之间线段最短的原理确定目标点，同时考查了尺规作图的基本操作能力。
【难度系数】
0.65
21. (10分)如图,在$△ ABC$中,$∠ B=55°,∠ C=30°$,分别以点A和点C为圆心,大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,求$∠ BAD$的度数.
答案：21. 提示:由线段垂直平分线的性质得 $AD = DC$, 可得 $∠ DAC =∠ C=30°$, 通过三角形的内角和得到$∠ BAC=95°$, 求出$∠ BAD = ∠ BAC-∠ CAD = 65°.$
解析：
【分析】
解题时首先根据题目描述的作图方法，判断出直线MN是线段AC的垂直平分线，回忆线段垂直平分线的性质可得AD=DC，再根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠DAC=∠C；接下来利用三角形内角和为180°，结合已知的∠B和∠C的度数求出∠BAC的度数，最后用∠BAC减去∠DAC即可得到∠BAD的度数。
【解析】
解：由作图可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，
∵点D在MN上，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠C=30°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-55°-30°=95°$，
∴$∠ BAD=∠ BAC-∠ DAC=95°-30°=65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是先根据尺规作图的特征识别出垂直平分线，再结合三角形相关角度性质逐步推导计算，是对几何基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据题目描述的作图方法，判断出直线MN是线段AC的垂直平分线，回忆线段垂直平分线的性质可得AD=DC，再根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠DAC=∠C；接下来利用三角形内角和为180°，结合已知的∠B和∠C的度数求出∠BAC的度数，最后用∠BAC减去∠DAC即可得到∠BAD的度数。
【解析】
解：由作图可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，
∵点D在MN上，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠C=30°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-55°-30°=95°$，
∴$∠ BAD=∠ BAC-∠ DAC=95°-30°=65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是先根据尺规作图的特征识别出垂直平分线，再结合三角形相关角度性质逐步推导计算，是对几何基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.7
22. (10分)如图,点D在△ABC的边BC上,∠ADB = ∠ADE,∠BAD=∠CDE = ∠EAC. 求证:△ABC ≌ △ADE.
答案：22. 提示:由$∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD$, $∠ BAD = ∠ CDE$, 得$∠ B=∠ ADE=∠ ADB$, 从而有 $AB = AD$, 再利用ASA得证.
解析：
【分析】
要证明△ABC≌△ADE，需先推导全等判定所需的对应边、对应角相等条件：首先利用三角形外角性质和已知等角关系推出∠B=∠ADE，再结合∠ADB=∠ADE得到AB=AD；接着通过∠BAD=∠EAC加公共角∠DAC推出∠BAC=∠DAE，最后用ASA判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：
1. 推导∠B=∠ADE
∵ ∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角性质，得$∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD$
又
∵ $∠ ADC = ∠ ADE + ∠ CDE$（角的和的定义），且已知$∠ BAD=∠ CDE$
∴ $∠ B + ∠ BAD = ∠ ADE + ∠ CDE$
等式两边同时减去相等的$∠ BAD$和$∠ CDE$，得$∠ B=∠ ADE$
2. 推导$AB=AD$
∵ 已知$∠ ADB=∠ ADE$，结合已证的$∠ B=∠ ADE$
∴ $∠ B=∠ ADB$
根据等角对等边，得$AB=AD$
3. 推导$∠ BAC=∠ DAE$
∵ 已知$∠ BAD=∠ EAC$
∴ $∠ BAD + ∠ DAC = ∠ EAC + ∠ DAC$（等式的性质）
即$∠ BAC=∠ DAE$
4. 证明全等
在△ABC和△ADE中：
$\begin{cases}∠ BAC=∠ DAE \quad (\mathrm{已证}) \\AB=AD \quad (\mathrm{已证}) \\∠ B=∠ ADE \quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ ADE$（ASA）
【答案】
$△ ABC ≌ △ ADE$，证明成立。
【知识点】
三角形外角性质，全等三角形ASA判定，等角对等边
【点评】
本题是全等三角形证明的典型题型，核心考查角的等量代换能力和基础几何定理的应用，解题关键是从已知角的关系出发，逐步推导出全等所需的边、角条件，对提升逻辑推导能力有很好的训练作用。
【难度系数】
0.7
要证明△ABC≌△ADE，需先推导全等判定所需的对应边、对应角相等条件：首先利用三角形外角性质和已知等角关系推出∠B=∠ADE，再结合∠ADB=∠ADE得到AB=AD；接着通过∠BAD=∠EAC加公共角∠DAC推出∠BAC=∠DAE，最后用ASA判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：
1. 推导∠B=∠ADE
∵ ∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角性质，得$∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD$
又
∵ $∠ ADC = ∠ ADE + ∠ CDE$（角的和的定义），且已知$∠ BAD=∠ CDE$
∴ $∠ B + ∠ BAD = ∠ ADE + ∠ CDE$
等式两边同时减去相等的$∠ BAD$和$∠ CDE$，得$∠ B=∠ ADE$
2. 推导$AB=AD$
∵ 已知$∠ ADB=∠ ADE$，结合已证的$∠ B=∠ ADE$
∴ $∠ B=∠ ADB$
根据等角对等边，得$AB=AD$
3. 推导$∠ BAC=∠ DAE$
∵ 已知$∠ BAD=∠ EAC$
∴ $∠ BAD + ∠ DAC = ∠ EAC + ∠ DAC$（等式的性质）
即$∠ BAC=∠ DAE$
4. 证明全等
在△ABC和△ADE中：
$\begin{cases}∠ BAC=∠ DAE \quad (\mathrm{已证}) \\AB=AD \quad (\mathrm{已证}) \\∠ B=∠ ADE \quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ ADE$（ASA）
【答案】
$△ ABC ≌ △ ADE$，证明成立。
【知识点】
三角形外角性质，全等三角形ASA判定，等角对等边
【点评】
本题是全等三角形证明的典型题型，核心考查角的等量代换能力和基础几何定理的应用，解题关键是从已知角的关系出发，逐步推导出全等所需的边、角条件，对提升逻辑推导能力有很好的训练作用。
【难度系数】
0.7