如图,有三张边长分别为$a,b,c(a＞b＞c)$的正方形纸片A、B、C,将三张纸片按图(1)、图(2)两种不同方式放置于同一长方形中,记图(1)中阴影部分周长为$l_1$,面积为$S_1$;图(2)中阴影部分周长为$l_2$,面积为$S_2$.
(1) 若$a=5,b=3,c=2$,图(1)中阴影部分周长$l_1=$
(2) 求图(2)中阴影部分面积$S_2$与图(1)中阴影部分面积$S_1$的差(用含$a,b,c$的代数式表示).
(3) 若$( \frac{l_2 - l_1}{2} )^2 = 3(S_2 - S_1)$,求出$b$与$c$满足的数量关系.
(1) 若$a=5,b=3,c=2$,图(1)中阴影部分周长$l_1=$
20
,图(2)中阴影部分周长$l_2=$28
.(2) 求图(2)中阴影部分面积$S_2$与图(1)中阴影部分面积$S_1$的差(用含$a,b,c$的代数式表示).
(3) 若$( \frac{l_2 - l_1}{2} )^2 = 3(S_2 - S_1)$,求出$b$与$c$满足的数量关系.
答案：(1) 根据题意可知，长方形的长为$a+b$，宽为$a+c$，则$l_1=(a+b-c)+(a-c)+b+c+(a-b)+(a+c-b)=4a$，$l_2=2a+2c+2b+2(a+c-b)=4a+4c$，当$a=5,b=3,c=2$时，$l_1=4×5=20$，$l_2=4×5+4×2=28$。
(2) 由图形可知，长方形的长为$a+b$，宽为$a+c$，则$S_1=(a+b)(a+c)-a^2-b^2-c^2=ab+ac+bc-b^2-c^2$，$S_2=b(a+c-b)+c(b-c)+c(a-c)=ab+ac+2bc-b^2-2c^2$，得$S_2-S_1=bc-c^2$。
(3) 由(1)(2)可知，$l_1=4a$，$l_2=4a+4c$，$S_2-S_1=bc-c^2$，则$l_2-l_1=4c$，将$S_2-S_1=bc-c^2$，$l_2-l_1=4c$，代入$( \frac{l_2-l_1}{2} )^2 = 3(S_2-S_1)$，可得$( \frac{4c}{2} )^2=3(bc-c^2)$，整理可得$4c^2=3bc-3c^2$，即$3b=7c$，则$b$与$c$满足的数量关系为$3b=7c$。
(2) 由图形可知，长方形的长为$a+b$，宽为$a+c$，则$S_1=(a+b)(a+c)-a^2-b^2-c^2=ab+ac+bc-b^2-c^2$，$S_2=b(a+c-b)+c(b-c)+c(a-c)=ab+ac+2bc-b^2-2c^2$，得$S_2-S_1=bc-c^2$。
(3) 由(1)(2)可知，$l_1=4a$，$l_2=4a+4c$，$S_2-S_1=bc-c^2$，则$l_2-l_1=4c$，将$S_2-S_1=bc-c^2$，$l_2-l_1=4c$，代入$( \frac{l_2-l_1}{2} )^2 = 3(S_2-S_1)$，可得$( \frac{4c}{2} )^2=3(bc-c^2)$，整理可得$4c^2=3bc-3c^2$，即$3b=7c$，则$b$与$c$满足的数量关系为$3b=7c$。
解析：
【分析】
解题时首先确定放置三个正方形的大长方形的长和宽：由图可知大长方形的长为$a+b$，宽为$a+c$。
(1) 计算周长时，可直接将阴影各边长相加推导$l_1$、$l_2$的代数式，再代入$a=5$、$b=3$、$c=2$求值即可。
(2) 计算面积差时，先分别用含$a、b、c$的代数式表示$S_1$和$S_2$，再作差化简，其中$S_1$可通过大长方形面积减去三个正方形的面积求解，$S_2$可拆分阴影部分分别计算面积后求和。
(3) 先由前两问的结果得到$l_2-l_1$和$S_2-S_1$的代数式，代入题目给出的等式，化简整理后即可得到$b$和$c$的数量关系，注意$c$为正方形边长不为0，化简时可约去$c$。
【解析】
(1) 由图形可得，大长方形的长为$a+b$，宽为$a+c$。
推导$l_1$：将阴影部分各边相加得$l_1=(a+b-c)+(a-c)+b+c+(a-b)+(a+c-b)=4a$；
推导$l_2$：阴影部分周长$l_2=2(a+c)+2b+2(a+c-b)=4a+4c$；
当$a=5,b=3,c=2$时，$l_1=4×5=20$，$l_2=4×5+4×2=28$。
(2) 计算$S_1$：大长方形面积减去三个正方形面积，即
$S_1=(a+b)(a+c)-a^2-b^2-c^2=a^2+ac+ab+bc -a^2 -b^2 -c^2=ab+ac+bc -b^2 -c^2$；
计算$S_2$：拆分阴影部分求和得
$S_2=b(a+c-b)+c(b-c)+c(a-c)=ab+bc -b^2 +bc -c^2 +ac -c^2=ab+ac+2bc -b^2 -2c^2$；
则$S_2-S_1=(ab+ac+2bc -b^2 -2c^2)-(ab+ac+bc -b^2 -c^2)=bc -c^2$。
(3) 由(1)得$l_2-l_1=(4a+4c)-4a=4c$，由(2)得$S_2-S_1=bc -c^2$，代入等式$( \frac{l_2 - l_1}{2} )^2 = 3(S_2 - S_1)$得：
$( \frac{4c}{2} )^2=3(bc -c^2)$
化简得：$4c^2=3bc -3c^2$
移项整理：$7c^2=3bc$，因为$c＞0$，两边同时除以$c$得$3b=7c$。
【答案】
(1) $\boxed{20}$；$\boxed{28}$
(2) $\boxed{S_2 - S_1 = bc - c^2}$
(3) $\boxed{3b=7c}$
【知识点】
列代数式；整式的混合运算；代数式化简
【点评】
本题结合几何图形的周长、面积计算考查整式的运算，需要先通过识图确定大长方形的边长，再逐步推导周长、面积的代数式，既考查了几何识图能力，也要求熟练掌握整式加减、乘法的运算规则，是代数与几何结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先确定放置三个正方形的大长方形的长和宽：由图可知大长方形的长为$a+b$，宽为$a+c$。
(1) 计算周长时，可直接将阴影各边长相加推导$l_1$、$l_2$的代数式，再代入$a=5$、$b=3$、$c=2$求值即可。
(2) 计算面积差时，先分别用含$a、b、c$的代数式表示$S_1$和$S_2$，再作差化简，其中$S_1$可通过大长方形面积减去三个正方形的面积求解，$S_2$可拆分阴影部分分别计算面积后求和。
(3) 先由前两问的结果得到$l_2-l_1$和$S_2-S_1$的代数式，代入题目给出的等式，化简整理后即可得到$b$和$c$的数量关系，注意$c$为正方形边长不为0，化简时可约去$c$。
【解析】
(1) 由图形可得，大长方形的长为$a+b$，宽为$a+c$。
推导$l_1$：将阴影部分各边相加得$l_1=(a+b-c)+(a-c)+b+c+(a-b)+(a+c-b)=4a$；
推导$l_2$：阴影部分周长$l_2=2(a+c)+2b+2(a+c-b)=4a+4c$；
当$a=5,b=3,c=2$时，$l_1=4×5=20$，$l_2=4×5+4×2=28$。
(2) 计算$S_1$：大长方形面积减去三个正方形面积，即
$S_1=(a+b)(a+c)-a^2-b^2-c^2=a^2+ac+ab+bc -a^2 -b^2 -c^2=ab+ac+bc -b^2 -c^2$；
计算$S_2$：拆分阴影部分求和得
$S_2=b(a+c-b)+c(b-c)+c(a-c)=ab+bc -b^2 +bc -c^2 +ac -c^2=ab+ac+2bc -b^2 -2c^2$；
则$S_2-S_1=(ab+ac+2bc -b^2 -2c^2)-(ab+ac+bc -b^2 -c^2)=bc -c^2$。
(3) 由(1)得$l_2-l_1=(4a+4c)-4a=4c$，由(2)得$S_2-S_1=bc -c^2$，代入等式$( \frac{l_2 - l_1}{2} )^2 = 3(S_2 - S_1)$得：
$( \frac{4c}{2} )^2=3(bc -c^2)$
化简得：$4c^2=3bc -3c^2$
移项整理：$7c^2=3bc$，因为$c＞0$，两边同时除以$c$得$3b=7c$。
【答案】
(1) $\boxed{20}$；$\boxed{28}$
(2) $\boxed{S_2 - S_1 = bc - c^2}$
(3) $\boxed{3b=7c}$
【知识点】
列代数式；整式的混合运算；代数式化简
【点评】
本题结合几何图形的周长、面积计算考查整式的运算，需要先通过识图确定大长方形的边长，再逐步推导周长、面积的代数式，既考查了几何识图能力，也要求熟练掌握整式加减、乘法的运算规则，是代数与几何结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
1. 下列计算中正确的是 （
A.$x^6 ÷ x^3 = x^2$
B.$m^5 ÷ m^5 = m$
C.$(-y)^5 ÷ (-y)^3 = -y^2$
D.$(ab)^5 ÷ (ab)^3 = a^2b^2$
D
）A.$x^6 ÷ x^3 = x^2$
B.$m^5 ÷ m^5 = m$
C.$(-y)^5 ÷ (-y)^3 = -y^2$
D.$(ab)^5 ÷ (ab)^3 = a^2b^2$
答案：1. D
解析：
【分析】
本题主要考查同底数幂的除法运算规则，解题时需逐一分析每个选项，运用“同底数幂相除，底数不变，指数相减”的法则，结合积的乘方、幂的符号性质以及零指数幂的性质进行计算，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
根据同底数幂除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数，$m≥ n$），对各选项逐一计算：
选项A：$x^6÷ x^3=x^{6-3}=x^3≠ x^2$，故A错误；
选项B：$m^5÷ m^5=m^{5-5}=m^0=1$（$m≠0$），结果不等于m，故B错误；
选项C：$(-y)^5÷ (-y)^3=(-y)^{5-3}=(-y)^2=y^2≠ -y^2$，故C错误；
选项D：$(ab)^5÷ (ab)^3=(ab)^{5-3}=(ab)^2=a^2b^2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法、积的乘方运算、零指数幂的性质
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查对幂的运算法则的记忆和应用，解题时要注意负数的偶次幂为正，避免出现指数相除、符号判断错误等常见失误。
【难度系数】
0.8
本题主要考查同底数幂的除法运算规则，解题时需逐一分析每个选项，运用“同底数幂相除，底数不变，指数相减”的法则，结合积的乘方、幂的符号性质以及零指数幂的性质进行计算，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
根据同底数幂除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数，$m≥ n$），对各选项逐一计算：
选项A：$x^6÷ x^3=x^{6-3}=x^3≠ x^2$，故A错误；
选项B：$m^5÷ m^5=m^{5-5}=m^0=1$（$m≠0$），结果不等于m，故B错误；
选项C：$(-y)^5÷ (-y)^3=(-y)^{5-3}=(-y)^2=y^2≠ -y^2$，故C错误；
选项D：$(ab)^5÷ (ab)^3=(ab)^{5-3}=(ab)^2=a^2b^2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法、积的乘方运算、零指数幂的性质
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查对幂的运算法则的记忆和应用，解题时要注意负数的偶次幂为正，避免出现指数相除、符号判断错误等常见失误。
【难度系数】
0.8
2. 计算$a^{10} ÷ a^{2}(a ≠ 0)$的结果是
$a^8$
.答案：2. $a^8$
解析：
【分析】
首先观察算式的特征，发现是底数相同的两个幂做除法运算，符合同底数幂除法的运算形式，且题目明确给出$a≠0$，满足同底数幂除法法则的适用条件。此时只需回忆同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，将对应指数做减法运算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减（$a≠0$，m、n为正整数，且$m＞n$），可得：
$a^{10} ÷ a^{2} = a^{10-2} = a^8$
【答案】
$a^8$
【知识点】
同底数幂的除法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查同底数幂除法法则的应用，解题的关键是牢记运算法则，同时注意法则适用的前提是底数不为0。
【难度系数】
0.9
首先观察算式的特征，发现是底数相同的两个幂做除法运算，符合同底数幂除法的运算形式，且题目明确给出$a≠0$，满足同底数幂除法法则的适用条件。此时只需回忆同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，将对应指数做减法运算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减（$a≠0$，m、n为正整数，且$m＞n$），可得：
$a^{10} ÷ a^{2} = a^{10-2} = a^8$
【答案】
$a^8$
【知识点】
同底数幂的除法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查同底数幂除法法则的应用，解题的关键是牢记运算法则，同时注意法则适用的前提是底数不为0。
【难度系数】
0.9
3. 已知$(x+1)^0=1$，则$x$的取值范围是
$x≠-1$
。答案：3. $x≠-1$
解析：
【分析】
解题时首先回忆零指数幂的相关规定：要使一个数的0次幂等于1，必须满足底数不为0的前提。本题中零指数幂的底数是x+1，因此只需令底数不等于0，解对应的不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
根据零指数幂的运算性质：$a^0 = 1$（$a≠0$），
要使$(x+1)^0=1$成立，需满足底数不等于0，即：
$x+1≠0$
解得$x≠-1$。
【答案】
$x≠-1$
【知识点】
零指数幂的性质、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念题，核心考查零指数幂成立的限制条件，易错点是忽略底数不能为0的要求，直接判定x可取任意实数，牢记零指数幂的定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆零指数幂的相关规定：要使一个数的0次幂等于1，必须满足底数不为0的前提。本题中零指数幂的底数是x+1，因此只需令底数不等于0，解对应的不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
根据零指数幂的运算性质：$a^0 = 1$（$a≠0$），
要使$(x+1)^0=1$成立，需满足底数不等于0，即：
$x+1≠0$
解得$x≠-1$。
【答案】
$x≠-1$
【知识点】
零指数幂的性质、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念题，核心考查零指数幂成立的限制条件，易错点是忽略底数不能为0的要求，直接判定x可取任意实数，牢记零指数幂的定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
4. $a^5 ÷ (\quad)=a^4$； $(\quad)÷ a^5=a^4$； $a^5 · (\quad)=a^6$； $a^5 · a^3 · (\quad)=a^{12}$
答案：4. $a$；$a^9$；$a$；$a^4$
解析：
【分析】
这组题目考查同底数幂的乘除运算法则及乘除互逆关系的应用。解题时先明确每一问要求的量对应的运算关系：求除数时，用“除数=被除数÷商”；求被除数时，用“被除数=商×除数”；求乘法中的未知因数时，用“因数=积÷另一个因数”，再结合同底数幂“相乘时底数不变、指数相加，相除时底数不变、指数相减”的法则计算即可。
【解析】
1. 第一个空：除数 = 被除数÷商，即$a^5 ÷ a^4 = a^{5-4}=a$；
2. 第二个空：被除数 = 商×除数，即$a^4 × a^5 = a^{4+5}=a^9$；
3. 第三个空：未知因数 = 积÷已知因数，即$a^6 ÷ a^5 = a^{6-5}=a$；
4. 第四个空：先计算已知部分的乘积$a^5·a^3=a^{5+3}=a^8$，再求未知因数$a^{12}÷a^8=a^{12-8}=a^4$。
【答案】
$a$；$a^9$；$a$；$a^4$
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考察同底数幂乘除运算法则的掌握和运算关系的灵活运用，熟练记忆法则即可快速解题，是后续复杂整式运算的基础。
【难度系数】
0.85
这组题目考查同底数幂的乘除运算法则及乘除互逆关系的应用。解题时先明确每一问要求的量对应的运算关系：求除数时，用“除数=被除数÷商”；求被除数时，用“被除数=商×除数”；求乘法中的未知因数时，用“因数=积÷另一个因数”，再结合同底数幂“相乘时底数不变、指数相加，相除时底数不变、指数相减”的法则计算即可。
【解析】
1. 第一个空：除数 = 被除数÷商，即$a^5 ÷ a^4 = a^{5-4}=a$；
2. 第二个空：被除数 = 商×除数，即$a^4 × a^5 = a^{4+5}=a^9$；
3. 第三个空：未知因数 = 积÷已知因数，即$a^6 ÷ a^5 = a^{6-5}=a$；
4. 第四个空：先计算已知部分的乘积$a^5·a^3=a^{5+3}=a^8$，再求未知因数$a^{12}÷a^8=a^{12-8}=a^4$。
【答案】
$a$；$a^9$；$a$；$a^4$
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考察同底数幂乘除运算法则的掌握和运算关系的灵活运用，熟练记忆法则即可快速解题，是后续复杂整式运算的基础。
【难度系数】
0.85
问题 计算：
(1) $(-10)^5 × 10^0 - (-10)^3 ÷ (-\dfrac{1}{10})^2$；(2) $(x-y)^4 · [(y-x)^2]^3 ÷ (x-y)^5$。
名师指导
(1) 运用幂的运算法则直接计算，注意运算顺序；
(2) 首先要化不同底为同底，式子中的$(y-x)^2=(x-y)^2$，或将底数全部转化为$y-x$。
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
(1) $(-10)^5 × 10^0 - (-10)^3 ÷ (-\dfrac{1}{10})^2$；(2) $(x-y)^4 · [(y-x)^2]^3 ÷ (x-y)^5$。
名师指导
(1) 运用幂的运算法则直接计算，注意运算顺序；
(2) 首先要化不同底为同底，式子中的$(y-x)^2=(x-y)^2$，或将底数全部转化为$y-x$。
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
答案：解：
(1) 原式$= (-10^5) × 1 - (-10^3) ÷ \frac{1}{100}$
$= -10^5 - (-10^3 × 10^2)$
$= -10^5 - (-10^5)$
$= -10^5 + 10^5$
$= 0$
(2) 原式$= (x-y)^4 · [(x-y)^2]^3 ÷ (x-y)^5$
$= (x-y)^4 · (x-y)^6 ÷ (x-y)^5$
$= (x-y)^{4+6-5}$
$= (x-y)^5$
(1) 原式$= (-10^5) × 1 - (-10^3) ÷ \frac{1}{100}$
$= -10^5 - (-10^3 × 10^2)$
$= -10^5 - (-10^5)$
$= -10^5 + 10^5$
$= 0$
(2) 原式$= (x-y)^4 · [(x-y)^2]^3 ÷ (x-y)^5$
$= (x-y)^4 · (x-y)^6 ÷ (x-y)^5$
$= (x-y)^{4+6-5}$
$= (x-y)^5$
解析：
【分析】
（1）第一问遵循有理数混合运算顺序计算：先算乘方，明确负数的奇次幂为负、任意非零数的0次幂等于1、分数的乘方为分子分母分别乘方；再算乘除，除以分数等价于乘它的倒数，结合同底数幂相乘底数不变、指数相加的规则计算；最后算加减，重点注意符号的处理。
（2）第二问先统一底数：利用偶次幂的性质$(y-x)^2=(x-y)^2$，将所有幂的底数都转化为$(x-y)$；再根据幂的乘方（底数不变，指数相乘）计算乘方项，最后套用同底数幂乘除规则（相乘时指数相加，相除时指数相减）计算即可。
【解析】
(1) 先计算各乘方项：$(-10)^5=-10^5$，$10^0=1$，$(-10)^3=-10^3$，$(-\dfrac{1}{10})^2=\dfrac{1}{100}$
原式$= (-10^5) × 1 - (-10^3) ÷ \frac{1}{100}$
将除法转化为乘法：
$= -10^5 - (-10^3 × 10^2)$
根据同底数幂乘法法则计算：
$= -10^5 - (-10^5)$
去括号计算得：
$= -10^5 + 10^5$
$= 0$
(2) 先统一底数，将$(y-x)^2$转化为$(x-y)^2$：
原式$= (x-y)^4 · [(x-y)^2]^3 ÷ (x-y)^5$
根据幂的乘方法则计算$[(x-y)^2]^3=(x-y)^6$：
$= (x-y)^4 · (x-y)^6 ÷ (x-y)^5$
根据同底数幂乘除的指数运算规则计算：
$= (x-y)^{4+6-5}$
$= (x-y)^5$
【答案】
(1) $\boldsymbol{0}$；(2) $\boldsymbol{(x-y)^5}$
【知识点】
1. 零指数幂运算
2. 幂的乘方
3. 同底数幂的乘除法
【点评】
这两道题是幂运算的基础应用题型，第一问需注意运算顺序和正负号的判断，避免因符号失误丢分；第二问的核心是利用偶次幂的性质统一底数，再套用幂的运算规则计算，熟练记忆各类幂运算公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
（1）第一问遵循有理数混合运算顺序计算：先算乘方，明确负数的奇次幂为负、任意非零数的0次幂等于1、分数的乘方为分子分母分别乘方；再算乘除，除以分数等价于乘它的倒数，结合同底数幂相乘底数不变、指数相加的规则计算；最后算加减，重点注意符号的处理。
（2）第二问先统一底数：利用偶次幂的性质$(y-x)^2=(x-y)^2$，将所有幂的底数都转化为$(x-y)$；再根据幂的乘方（底数不变，指数相乘）计算乘方项，最后套用同底数幂乘除规则（相乘时指数相加，相除时指数相减）计算即可。
【解析】
(1) 先计算各乘方项：$(-10)^5=-10^5$，$10^0=1$，$(-10)^3=-10^3$，$(-\dfrac{1}{10})^2=\dfrac{1}{100}$
原式$= (-10^5) × 1 - (-10^3) ÷ \frac{1}{100}$
将除法转化为乘法：
$= -10^5 - (-10^3 × 10^2)$
根据同底数幂乘法法则计算：
$= -10^5 - (-10^5)$
去括号计算得：
$= -10^5 + 10^5$
$= 0$
(2) 先统一底数，将$(y-x)^2$转化为$(x-y)^2$：
原式$= (x-y)^4 · [(x-y)^2]^3 ÷ (x-y)^5$
根据幂的乘方法则计算$[(x-y)^2]^3=(x-y)^6$：
$= (x-y)^4 · (x-y)^6 ÷ (x-y)^5$
根据同底数幂乘除的指数运算规则计算：
$= (x-y)^{4+6-5}$
$= (x-y)^5$
【答案】
(1) $\boldsymbol{0}$；(2) $\boldsymbol{(x-y)^5}$
【知识点】
1. 零指数幂运算
2. 幂的乘方
3. 同底数幂的乘除法
【点评】
这两道题是幂运算的基础应用题型，第一问需注意运算顺序和正负号的判断，避免因符号失误丢分；第二问的核心是利用偶次幂的性质统一底数，再套用幂的运算规则计算，熟练记忆各类幂运算公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8