1. 如果$25x^2 - kxy + 49y^2$是一个完全平方公式，那么k的值是（
A.225
B.35
C.70
D.$\pm70$
D
）A.225
B.35
C.70
D.$\pm70$
答案：1. D
解析：
【分析】
要解决这个问题，首先回忆完全平方公式的两种形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。首先将给定多项式的平方项对应到完全平方公式里的$a^2$和$b^2$，确定$a$、$b$的取值，再根据中间项的对应关系计算$k$的值，注意完全平方有两种形式，因此$k$会有两个取值。
【解析】
完全平方公式为：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
已知$25x^2 - kxy + 49y^2$是完全平方式，先将平方项变形：
$25x^2=(5x)^2$，$49y^2=(7y)^2$
因此这个完全平方式可以表示为$(5x\pm7y)^2$，展开得：
$(5x\pm7y)^2=25x^2\pm70xy+49y^2$
将其与原式$25x^2 -kxy +49y^2$对比中间项，可得：
$-k=\pm70$
解得$k=\pm70$
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 代数式恒等变形
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，易错点是容易忽略完全平方有和、差两种形式，从而漏解符号相关的取值，解题时要注意考虑全面。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆完全平方公式的两种形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。首先将给定多项式的平方项对应到完全平方公式里的$a^2$和$b^2$，确定$a$、$b$的取值，再根据中间项的对应关系计算$k$的值，注意完全平方有两种形式，因此$k$会有两个取值。
【解析】
完全平方公式为：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
已知$25x^2 - kxy + 49y^2$是完全平方式，先将平方项变形：
$25x^2=(5x)^2$，$49y^2=(7y)^2$
因此这个完全平方式可以表示为$(5x\pm7y)^2$，展开得：
$(5x\pm7y)^2=25x^2\pm70xy+49y^2$
将其与原式$25x^2 -kxy +49y^2$对比中间项，可得：
$-k=\pm70$
解得$k=\pm70$
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 代数式恒等变形
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，易错点是容易忽略完全平方有和、差两种形式，从而漏解符号相关的取值，解题时要注意考虑全面。
【难度系数】
0.7
2. 已知$x=a^2+b^2+20$，$y=4(2b-a)$，$x$与$y$之间的大小关系是（
A.$x≥ y$
B.$x≤ y$
C.$x＜y$
D.$x＞y$
A
）A.$x≥ y$
B.$x≤ y$
C.$x＜y$
D.$x＞y$
答案：2. A
解析：
【分析】
比较两个代数式的大小，通常采用作差法：先计算两个代数式的差，再判断差与0的大小关系，若差≥0，则被减式≥减式，反之则被减式≤减式。本题可先计算x-y的结果，再通过配方将差变形为完全平方式相加的形式，利用平方的非负性判断差的符号，即可得到x与y的大小关系。
【解析】
要比较x与y的大小，计算x-y的值：
$\begin{aligned}x-y&=(a^2+b^2+20)-4(2b-a)\\&=a^2+b^2+20-8b+4a\\&=(a^2+4a)+(b^2-8b)+20\\&=(a^2+4a+4)+(b^2-8b+16)\\&=(a+2)^2+(b-4)^2\end{aligned}$
根据平方的非负性可知，$(a+2)^2≥0$，$(b-4)^2≥0$，因此$(a+2)^2+(b-4)^2≥0$，即$x-y≥0$，所以$x≥ y$。
【答案】
A
【知识点】
作差法比较大小、完全平方公式、平方的非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的常规题型，解题核心是通过作差、配方将原式转化为非负式子相加的形式，进而判断差的符号。解题时需注意配方过程中常数项的补充要准确，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
比较两个代数式的大小，通常采用作差法：先计算两个代数式的差，再判断差与0的大小关系，若差≥0，则被减式≥减式，反之则被减式≤减式。本题可先计算x-y的结果，再通过配方将差变形为完全平方式相加的形式，利用平方的非负性判断差的符号，即可得到x与y的大小关系。
【解析】
要比较x与y的大小，计算x-y的值：
$\begin{aligned}x-y&=(a^2+b^2+20)-4(2b-a)\\&=a^2+b^2+20-8b+4a\\&=(a^2+4a)+(b^2-8b)+20\\&=(a^2+4a+4)+(b^2-8b+16)\\&=(a+2)^2+(b-4)^2\end{aligned}$
根据平方的非负性可知，$(a+2)^2≥0$，$(b-4)^2≥0$，因此$(a+2)^2+(b-4)^2≥0$，即$x-y≥0$，所以$x≥ y$。
【答案】
A
【知识点】
作差法比较大小、完全平方公式、平方的非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的常规题型，解题核心是通过作差、配方将原式转化为非负式子相加的形式，进而判断差的符号。解题时需注意配方过程中常数项的补充要准确，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
3. 若$(x+\dfrac{1}{x})^2=9$，则$(x-\dfrac{1}{x})^2$的值为
5
。答案：3. 5
解析：
【分析】
解题核心是利用完全平方公式的变形，找到已知式和待求式的关联。首先将已知的$(x+\frac{1}{x})^2$展开，利用$x$和$\frac{1}{x}$互为倒数、乘积为1的特点，求出$x^2+\frac{1}{x^2}$的值；再将待求的$(x-\frac{1}{x})^2$展开，把求得的$x^2+\frac{1}{x^2}$整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：已知$(x+\dfrac{1}{x})^2=9$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开左边得：
$\begin{aligned}x^2 + 2· x· \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}&=9\\x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2}&=9\\x^2+\dfrac{1}{x^2}&=9-2=7\end{aligned}$
再对待求式$(x-\dfrac{1}{x})^2$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开得：
$(x-\dfrac{1}{x})^2=x^2 - 2· x· \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}=(x^2+\dfrac{1}{x^2})-2$
将$x^2+\dfrac{1}{x^2}=7$代入上式，得：$7-2=5$
【答案】
5
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是完全平方公式变形应用的典型习题，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，以两个完全平方式的公共部分$x^2+\frac{1}{x^2}$为中间量，结合整体代入思想求解，同时要注意$x$与$\frac{1}{x}$乘积为1的隐含条件的运用。
【难度系数】
0.7
解题核心是利用完全平方公式的变形，找到已知式和待求式的关联。首先将已知的$(x+\frac{1}{x})^2$展开，利用$x$和$\frac{1}{x}$互为倒数、乘积为1的特点，求出$x^2+\frac{1}{x^2}$的值；再将待求的$(x-\frac{1}{x})^2$展开，把求得的$x^2+\frac{1}{x^2}$整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：已知$(x+\dfrac{1}{x})^2=9$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开左边得：
$\begin{aligned}x^2 + 2· x· \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}&=9\\x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2}&=9\\x^2+\dfrac{1}{x^2}&=9-2=7\end{aligned}$
再对待求式$(x-\dfrac{1}{x})^2$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开得：
$(x-\dfrac{1}{x})^2=x^2 - 2· x· \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}=(x^2+\dfrac{1}{x^2})-2$
将$x^2+\dfrac{1}{x^2}=7$代入上式，得：$7-2=5$
【答案】
5
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是完全平方公式变形应用的典型习题，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，以两个完全平方式的公共部分$x^2+\frac{1}{x^2}$为中间量，结合整体代入思想求解，同时要注意$x$与$\frac{1}{x}$乘积为1的隐含条件的运用。
【难度系数】
0.7
4. 用乘法公式计算：
(1) $(-2a - 3b)^2$；
(2) $(c - 2b + 3a)(2b + c - 3a)$；
(3) $(a - b)(a + b)^3 - 2ab(a^2 - b^2)$；
(4) $(x - 5y)^2 - (x + 5y)^2$；
(5) $(x + 2y)^2(x - 2y)^2$。
(1) $(-2a - 3b)^2$；
(2) $(c - 2b + 3a)(2b + c - 3a)$；
(3) $(a - b)(a + b)^3 - 2ab(a^2 - b^2)$；
(4) $(x - 5y)^2 - (x + 5y)^2$；
(5) $(x + 2y)^2(x - 2y)^2$。
答案：4. (1) $4a^2 + 12ab + 9b^2$；(2) $c^2 - 4b^2 + 12ab - 9a^2$；(3) $a^4 - b^4$；(4) $-20xy$；(5) $x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4$
解析：
【分析】
这几道题均考查整式乘法公式的运用，解题时先观察式子结构特征：①若式子是两数和（或差）的平方形式，选用完全平方公式$(m\pm n)^2=m^2\pm2mn+n^2$；②若式子是两数和乘两数差的形式，选用平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$；对于结构不明显的式子，先通过分组、提公因式、逆用积的乘方法则等变形，再匹配对应公式计算，最后化简合并同类项，去括号时注意符号变化。
【解析】
(1) 原式$=[-(2a+3b)]^2=(2a+3b)^2$
根据完全平方公式展开：
$(2a)^2 + 2×2a×3b + (3b)^2=4a^2+12ab+9b^2$
(2) 先分组变形得：
原式$=[c+(3a-2b)][c-(3a-2b)]$
根据平方差公式计算：
$c^2 - (3a-2b)^2$
再展开完全平方、去括号：
$c^2 - (9a^2 -12ab +4b^2)=c^2-4b^2+12ab-9a^2$
(3) 先变形公因式部分：$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，$(a-b)(a+b)^3=(a^2-b^2)(a+b)^2$
原式$=(a^2-b^2)(a+b)^2 - 2ab(a^2-b^2)$
提公因式$(a^2-b^2)$得：
$(a^2-b^2)[(a+b)^2 -2ab]$
计算括号内的部分：$(a+b)^2-2ab=a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2$
再用平方差公式计算：$(a^2-b^2)(a^2+b^2)=a^4 - b^4$
(4) 将原式看作两个平方的差，用平方差公式计算：
原式$=[(x-5y)+(x+5y)][(x-5y)-(x+5y)]$
分别计算两个括号：
第一个括号：$x-5y+x+5y=2x$
第二个括号：$x-5y -x -5y=-10y$
相乘得：$2x×(-10y)=-20xy$
(5) 逆用积的乘方法则$m^2n^2=(mn)^2$得：
原式$=[(x+2y)(x-2y)]^2$
先用平方差公式计算括号内的部分：
$(x+2y)(x-2y)=x^2-(2y)^2=x^2-4y^2$
再用完全平方公式展开平方：
$(x^2-4y^2)^2=(x^2)^2 - 2× x^2×4y^2 + (4y^2)^2=x^4 -8x^2y^2 +16y^4$
【答案】
(1) $4a^2 + 12ab + 9b^2$；(2) $c^2 - 4b^2 + 12ab - 9a^2$；(3) $a^4 - b^4$；(4) $-20xy$；(5) $x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本组题目重点考查乘法公式的灵活运用能力，解题的核心是先观察式子的结构特征，通过合理变形匹配对应的乘法公式简化计算，计算过程中要注意去括号的符号变化、运算顺序以及公式中各项的对应关系，避免出现漏乘、符号错误等问题。
【难度系数】
0.7
这几道题均考查整式乘法公式的运用，解题时先观察式子结构特征：①若式子是两数和（或差）的平方形式，选用完全平方公式$(m\pm n)^2=m^2\pm2mn+n^2$；②若式子是两数和乘两数差的形式，选用平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$；对于结构不明显的式子，先通过分组、提公因式、逆用积的乘方法则等变形，再匹配对应公式计算，最后化简合并同类项，去括号时注意符号变化。
【解析】
(1) 原式$=[-(2a+3b)]^2=(2a+3b)^2$
根据完全平方公式展开：
$(2a)^2 + 2×2a×3b + (3b)^2=4a^2+12ab+9b^2$
(2) 先分组变形得：
原式$=[c+(3a-2b)][c-(3a-2b)]$
根据平方差公式计算：
$c^2 - (3a-2b)^2$
再展开完全平方、去括号：
$c^2 - (9a^2 -12ab +4b^2)=c^2-4b^2+12ab-9a^2$
(3) 先变形公因式部分：$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，$(a-b)(a+b)^3=(a^2-b^2)(a+b)^2$
原式$=(a^2-b^2)(a+b)^2 - 2ab(a^2-b^2)$
提公因式$(a^2-b^2)$得：
$(a^2-b^2)[(a+b)^2 -2ab]$
计算括号内的部分：$(a+b)^2-2ab=a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2$
再用平方差公式计算：$(a^2-b^2)(a^2+b^2)=a^4 - b^4$
(4) 将原式看作两个平方的差，用平方差公式计算：
原式$=[(x-5y)+(x+5y)][(x-5y)-(x+5y)]$
分别计算两个括号：
第一个括号：$x-5y+x+5y=2x$
第二个括号：$x-5y -x -5y=-10y$
相乘得：$2x×(-10y)=-20xy$
(5) 逆用积的乘方法则$m^2n^2=(mn)^2$得：
原式$=[(x+2y)(x-2y)]^2$
先用平方差公式计算括号内的部分：
$(x+2y)(x-2y)=x^2-(2y)^2=x^2-4y^2$
再用完全平方公式展开平方：
$(x^2-4y^2)^2=(x^2)^2 - 2× x^2×4y^2 + (4y^2)^2=x^4 -8x^2y^2 +16y^4$
【答案】
(1) $4a^2 + 12ab + 9b^2$；(2) $c^2 - 4b^2 + 12ab - 9a^2$；(3) $a^4 - b^4$；(4) $-20xy$；(5) $x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本组题目重点考查乘法公式的灵活运用能力，解题的核心是先观察式子的结构特征，通过合理变形匹配对应的乘法公式简化计算，计算过程中要注意去括号的符号变化、运算顺序以及公式中各项的对应关系，避免出现漏乘、符号错误等问题。
【难度系数】
0.7
5. 已知代数式$3y^2 - 2y +6$的值为8，求代数式$\frac{3}{2}y^2 - y +1$的值.
答案：5. 2
解析：
【分析】
题目给出了代数式$3y^2-2y+6$的取值，若直接求解$y$的值涉及未学的一元二次方程解法，计算复杂。观察待求代数式$\frac{3}{2}y^2 - y +1$的项的系数，可发现$\frac{3}{2}y^2 - y = \frac{1}{2}(3y^2 - 2y)$，与已知代数式的前两项成倍数关系，因此先从已知等式求出$3y^2-2y$的值，再整体代入待求式计算即可。
【解析】
解：已知$3y^2 - 2y + 6 = 8$，
对等式移项可得：$3y^2 - 2y = 8 - 6 = 2$。
将待求式$\frac{3}{2}y^2 - y + 1$变形得：
$\frac{3}{2}y^2 - y +1 = \frac{1}{2}(3y^2 - 2y) + 1$，
把$3y^2 - 2y = 2$代入上式：
原式$=\frac{1}{2} × 2 + 1 = 1 + 1 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，核心考查整体代换的数学思维，解题关键是观察待求式与已知式的结构关联，通过整体代入简化计算，不需要求解未知数的具体值，能有效锻炼学生的式子结构观察能力。
【难度系数】
0.7
题目给出了代数式$3y^2-2y+6$的取值，若直接求解$y$的值涉及未学的一元二次方程解法，计算复杂。观察待求代数式$\frac{3}{2}y^2 - y +1$的项的系数，可发现$\frac{3}{2}y^2 - y = \frac{1}{2}(3y^2 - 2y)$，与已知代数式的前两项成倍数关系，因此先从已知等式求出$3y^2-2y$的值，再整体代入待求式计算即可。
【解析】
解：已知$3y^2 - 2y + 6 = 8$，
对等式移项可得：$3y^2 - 2y = 8 - 6 = 2$。
将待求式$\frac{3}{2}y^2 - y + 1$变形得：
$\frac{3}{2}y^2 - y +1 = \frac{1}{2}(3y^2 - 2y) + 1$，
把$3y^2 - 2y = 2$代入上式：
原式$=\frac{1}{2} × 2 + 1 = 1 + 1 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，核心考查整体代换的数学思维，解题关键是观察待求式与已知式的结构关联，通过整体代入简化计算，不需要求解未知数的具体值，能有效锻炼学生的式子结构观察能力。
【难度系数】
0.7
6. 已知$(x+y)^2=16,(x-y)^2=4$,求$x^2+y^2$和$3xy$的值.
答案：6. 由题意可知$x^2+2xy+y^2=16$ ①，$x^2-2xy+y^2=4$ ②，①+②，得$2x^2+2y^2=20$，$\therefore x^2+y^2=10$；①−②，得$4xy=12$，$\therefore xy=3$，$\therefore 3xy=9$
解析：
【分析】
本题已知两个关于x、y的完全平方式的值，解题时首先回忆完全平方公式的结构，先将两个已知的完全平方式展开，观察展开后两个式子的特点：两个式子中都含有$x^2+y^2$项和$xy$项，若将两个式子相加，会抵消含$xy$的项，直接得到$x^2+y^2$的倍数，即可求出$x^2+y^2$的值；若将两个式子相减，会抵消$x^2$和$y^2$项，直接得到$xy$的倍数，求出$xy$后代入就能算出$3xy$的值，不需要单独求解x、y的具体值，用整体思想计算更简便。
【解析】
解：利用完全平方公式将已知等式展开：
由$(x+y)^2=16$展开得：$x^2 + 2xy + y^2 = 16$ ①
由$(x-y)^2=4$展开得：$x^2 - 2xy + y^2 = 4$ ②
将①+②，可得：
$(x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) = 16 + 4$
化简得：$2x^2 + 2y^2 = 20$
两边同时除以2，得：$x^2 + y^2 = 10$
将①-②，可得：
$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 16 - 4$
化简得：$4xy = 12$
两边同时除以4，得：$xy = 3$
因此$3xy = 3×3 = 9$
【答案】
$x^2+y^2=10$，$3xy=9$
【知识点】
完全平方公式；整式的加减运算；代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式的典型应用题型，核心是利用完全平方展开式的结构特征，通过两个等式的加减运算消去不需要的项，运用整体思想快速求解，避免了单独求解x、y的繁琐过程，熟练掌握完全平方公式的结构是解题的核心。
【难度系数】
0.8
本题已知两个关于x、y的完全平方式的值，解题时首先回忆完全平方公式的结构，先将两个已知的完全平方式展开，观察展开后两个式子的特点：两个式子中都含有$x^2+y^2$项和$xy$项，若将两个式子相加，会抵消含$xy$的项，直接得到$x^2+y^2$的倍数，即可求出$x^2+y^2$的值；若将两个式子相减，会抵消$x^2$和$y^2$项，直接得到$xy$的倍数，求出$xy$后代入就能算出$3xy$的值，不需要单独求解x、y的具体值，用整体思想计算更简便。
【解析】
解：利用完全平方公式将已知等式展开：
由$(x+y)^2=16$展开得：$x^2 + 2xy + y^2 = 16$ ①
由$(x-y)^2=4$展开得：$x^2 - 2xy + y^2 = 4$ ②
将①+②，可得：
$(x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) = 16 + 4$
化简得：$2x^2 + 2y^2 = 20$
两边同时除以2，得：$x^2 + y^2 = 10$
将①-②，可得：
$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 16 - 4$
化简得：$4xy = 12$
两边同时除以4，得：$xy = 3$
因此$3xy = 3×3 = 9$
【答案】
$x^2+y^2=10$，$3xy=9$
【知识点】
完全平方公式；整式的加减运算；代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式的典型应用题型，核心是利用完全平方展开式的结构特征，通过两个等式的加减运算消去不需要的项，运用整体思想快速求解，避免了单独求解x、y的繁琐过程，熟练掌握完全平方公式的结构是解题的核心。
【难度系数】
0.8