2. 不透明的口袋中装有1个黄球和1白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，然后放回搅匀再任意摸出1个球，若第1次摸到黄球，则第2次仍摸到黄球的概率是 （
A.大于$\frac{1}{2}$
B.等于$\frac{1}{2}$
C.小于$\frac{1}{2}$
D.不能确定
B
）A.大于$\frac{1}{2}$
B.等于$\frac{1}{2}$
C.小于$\frac{1}{2}$
D.不能确定
答案：2. B
解析：
【分析】
解题时首先抓住题干的关键条件“摸出1个球，然后放回搅匀再任意摸出1个球”，说明两次摸球的过程互不影响，第二次摸球时口袋里球的数量、种类和第一次摸球前完全一样，第一次摸到黄球的结果不会改变第二次摸球的条件。接下来根据等可能条件下的概率计算方法：概率=所求情况数÷总等可能情况数，计算第二次摸到黄球的概率即可。
【解析】
解：由题中“放回搅匀”的规则可知，两次摸球互不影响，第二次摸球时，口袋内仍然有1个黄球、1个白球，共2个球。
摸球时每个球被摸到的可能性相等，总共有2种等可能的结果，其中摸到黄球的结果有1种，
因此第二次摸到黄球的概率为$\frac{1}{2}$，和第一次的摸球结果无关，故选B。
【答案】
B
【知识点】
等可能概率计算，放回型摸球试验
【点评】
这道题考查等可能条件下的概率计算，易错点是误将两次摸球的结果关联，忽略“放回搅匀”的条件，只要明确每次摸球的试验条件不变，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住题干的关键条件“摸出1个球，然后放回搅匀再任意摸出1个球”，说明两次摸球的过程互不影响，第二次摸球时口袋里球的数量、种类和第一次摸球前完全一样，第一次摸到黄球的结果不会改变第二次摸球的条件。接下来根据等可能条件下的概率计算方法：概率=所求情况数÷总等可能情况数，计算第二次摸到黄球的概率即可。
【解析】
解：由题中“放回搅匀”的规则可知，两次摸球互不影响，第二次摸球时，口袋内仍然有1个黄球、1个白球，共2个球。
摸球时每个球被摸到的可能性相等，总共有2种等可能的结果，其中摸到黄球的结果有1种，
因此第二次摸到黄球的概率为$\frac{1}{2}$，和第一次的摸球结果无关，故选B。
【答案】
B
【知识点】
等可能概率计算，放回型摸球试验
【点评】
这道题考查等可能条件下的概率计算，易错点是误将两次摸球的结果关联，忽略“放回搅匀”的条件，只要明确每次摸球的试验条件不变，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3. 4张不透明的卡片上分别标有$2,\frac{22}{7},π,\sqrt{2}$，除所标数外其余都相同，将它们背面朝上，洗匀后，从中随机抽取1张卡片，抽到标有无理数的卡片的概率为
$\frac{1}{2}$
。答案：3. $\frac{1}{2}$
解析：
【分析】
要解决这个问题，需分两步思考：第一步先识别给出的4个数中哪些是无理数，第二步利用等可能事件的概率公式计算所求概率。首先回忆无理数的定义：无限不循环小数为无理数，常见类型包括含π的数、开方开不尽的数等；其次等可能事件的概率公式为：事件发生的概率=符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数，先确定总抽取结果数，再统计无理数的个数，代入公式即可得到结果。
【解析】
首先判断4个数的属性：
1. $2$是整数，属于有理数；
2. $\frac{22}{7}$是分数，属于有理数；
3. $π$是无限不循环小数，属于无理数；
4. $\sqrt{2}$是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数。
可知4个数中共有2个无理数。
随机抽取1张卡片，总共有4种等可能的结果，其中抽到无理数的结果有2种，代入概率公式计算：
$P(抽到无理数)=\frac{无理数的个数}{总卡片数}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
无理数的识别；概率公式
【点评】
本题是基础题，结合了实数分类和概率计算两个考点，易错点是容易误将$\frac{22}{7}$判定为无理数，解题时先准确区分有理数和无理数，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需分两步思考：第一步先识别给出的4个数中哪些是无理数，第二步利用等可能事件的概率公式计算所求概率。首先回忆无理数的定义：无限不循环小数为无理数，常见类型包括含π的数、开方开不尽的数等；其次等可能事件的概率公式为：事件发生的概率=符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数，先确定总抽取结果数，再统计无理数的个数，代入公式即可得到结果。
【解析】
首先判断4个数的属性：
1. $2$是整数，属于有理数；
2. $\frac{22}{7}$是分数，属于有理数；
3. $π$是无限不循环小数，属于无理数；
4. $\sqrt{2}$是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数。
可知4个数中共有2个无理数。
随机抽取1张卡片，总共有4种等可能的结果，其中抽到无理数的结果有2种，代入概率公式计算：
$P(抽到无理数)=\frac{无理数的个数}{总卡片数}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
无理数的识别；概率公式
【点评】
本题是基础题，结合了实数分类和概率计算两个考点，易错点是容易误将$\frac{22}{7}$判定为无理数，解题时先准确区分有理数和无理数，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
4. 某市举行了即开型社会福利彩票销售活动，设置彩票3000万张(定价为2元/张).奖金设置情况如下：
如果花2元钱购买1张彩票，那么能得到不少于8万元大奖的概率是多少？
如果花2元钱购买1张彩票，那么能得到不少于8万元大奖的概率是多少？
答案：4. $\frac{1}{500000}$
解析：
【分析】
要计算购买1张彩票得到不少于8万元大奖的概率，首先明确等可能事件的概率计算公式为：$P(A)=\frac{符合事件A的情况数}{总情况数}$。第一步先确定“不少于8万元大奖”包含的奖项：奖金为50万元、15万元、8万元的都满足条件，先计算这三类奖项的彩票总张数；第二步确定彩票总张数为3000万张；最后将符合条件的彩票张数除以总张数，化简后即可得到所求概率。
【解析】
首先计算不少于8万元大奖的彩票总数量：
奖金50万的有20张，15万的有20张，8万的有20张，合计$20+20+20=60$（张）
已知彩票总张数为3000万张，即$30000000$张。
根据概率公式，购买1张彩票获得不少于8万元大奖的概率为：
$P=\frac{60}{30000000}=\frac{1}{500000}$
【答案】
$\frac{1}{500000}$
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 概率公式应用
【点评】
本题是基础的概率计算应用题，解题的核心是准确理解“不少于8万元”的含义，正确统计符合条件的彩票数量，再代入概率公式计算即可，计算时注意数值化简不要出错。
【难度系数】
0.8
要计算购买1张彩票得到不少于8万元大奖的概率，首先明确等可能事件的概率计算公式为：$P(A)=\frac{符合事件A的情况数}{总情况数}$。第一步先确定“不少于8万元大奖”包含的奖项：奖金为50万元、15万元、8万元的都满足条件，先计算这三类奖项的彩票总张数；第二步确定彩票总张数为3000万张；最后将符合条件的彩票张数除以总张数，化简后即可得到所求概率。
【解析】
首先计算不少于8万元大奖的彩票总数量：
奖金50万的有20张，15万的有20张，8万的有20张，合计$20+20+20=60$（张）
已知彩票总张数为3000万张，即$30000000$张。
根据概率公式，购买1张彩票获得不少于8万元大奖的概率为：
$P=\frac{60}{30000000}=\frac{1}{500000}$
【答案】
$\frac{1}{500000}$
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 概率公式应用
【点评】
本题是基础的概率计算应用题，解题的核心是准确理解“不少于8万元”的含义，正确统计符合条件的彩票数量，再代入概率公式计算即可，计算时注意数值化简不要出错。
【难度系数】
0.8
1. 有5张卡片正面分别画有下列图形:① 线段;② 正三角形;③ 平行四边形;④ 等腰梯形;⑤ 圆.这些卡片除所画图形外其余都相同,将卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取1张,正面所画图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的概率是 （
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
B
）A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
答案：1. B
解析：
【分析】
要解这道题可按三步思考：第一步，先明确轴对称图形和中心对称图形的判断标准，牢记两者的定义；第二步，逐个判断给出的5个图形，统计出同时满足既是轴对称图形又是中心对称图形的卡片数量；第三步，利用等可能事件的概率计算公式，用符合条件的卡片数除以总卡片数，即可得出所求概率。
【解析】
首先明确两个对称图形的定义：
轴对称图形：沿一条直线折叠后，直线两侧的部分能完全重合的图形；
中心对称图形：绕某一个点旋转180°后，能和原图形完全重合的图形。
逐个判断5个图形：
①线段：沿它的垂直平分线或自身所在直线折叠可重合，绕中点旋转180°也能和自身重合，同时满足两种对称要求，符合条件；
②正三角形：属于轴对称图形，但旋转180°后无法和自身重合，不是中心对称图形，不符合；
③平行四边形：属于中心对称图形，但普通平行四边形没有对称轴，不是轴对称图形，不符合；
④等腰梯形：属于轴对称图形，旋转180°后无法和自身重合，不是中心对称图形，不符合；
⑤圆：沿任意一条直径折叠都可重合，绕圆心旋转180°也能和自身重合，同时满足两种对称要求，符合条件。
综上，符合条件的卡片共2张，总共有5张卡片，因此随机抽取1张满足要求的概率为$\frac{2}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形识别，中心对称图形识别，简单概率计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是准确区分两种对称图形的判断标准，避免混淆概念导致统计符合条件的图形数量出错，再结合概率公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
要解这道题可按三步思考：第一步，先明确轴对称图形和中心对称图形的判断标准，牢记两者的定义；第二步，逐个判断给出的5个图形，统计出同时满足既是轴对称图形又是中心对称图形的卡片数量；第三步，利用等可能事件的概率计算公式，用符合条件的卡片数除以总卡片数，即可得出所求概率。
【解析】
首先明确两个对称图形的定义：
轴对称图形：沿一条直线折叠后，直线两侧的部分能完全重合的图形；
中心对称图形：绕某一个点旋转180°后，能和原图形完全重合的图形。
逐个判断5个图形：
①线段：沿它的垂直平分线或自身所在直线折叠可重合，绕中点旋转180°也能和自身重合，同时满足两种对称要求，符合条件；
②正三角形：属于轴对称图形，但旋转180°后无法和自身重合，不是中心对称图形，不符合；
③平行四边形：属于中心对称图形，但普通平行四边形没有对称轴，不是轴对称图形，不符合；
④等腰梯形：属于轴对称图形，旋转180°后无法和自身重合，不是中心对称图形，不符合；
⑤圆：沿任意一条直径折叠都可重合，绕圆心旋转180°也能和自身重合，同时满足两种对称要求，符合条件。
综上，符合条件的卡片共2张，总共有5张卡片，因此随机抽取1张满足要求的概率为$\frac{2}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形识别，中心对称图形识别，简单概率计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是准确区分两种对称图形的判断标准，避免混淆概念导致统计符合条件的图形数量出错，再结合概率公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 有分别标记数$-3,-2,-1,0,1,2,3$的7张卡片,这些卡片除所标数外其余都相同,从中随机抽取1张,所抽卡片上的数的绝对值不小于2的概率是（
A.$\frac{1}{7}$
B.$\frac{2}{7}$
C.$\frac{3}{7}$
D.$\frac{4}{7}$
D
）A.$\frac{1}{7}$
B.$\frac{2}{7}$
C.$\frac{3}{7}$
D.$\frac{4}{7}$
答案：2. D
解析：
【分析】
解这道题首先要明确等可能事件概率的计算方法，即概率等于符合条件的结果数除以所有等可能的总结果数。第一步先确定抽取卡片的总等可能结果数，7张卡片随机抽1张，总共有7种等可能的结果；第二步准确理解“绝对值不小于2”的含义，即绝对值大于等于2，逐一筛选7个数字中符合该条件的数，统计出符合条件的结果数；最后代入概率公式计算即可得到答案。
【解析】
解：
∵共有7张除数字外其余都相同的卡片，随机抽取1张，共有7种等可能的结果。
其中卡片上的数的绝对值不小于2（即绝对值≥2）的数有：-3、-2、2、3，共4种结果。
根据等可能事件的概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$
∴所抽卡片上的数的绝对值不小于2的概率是$\frac{4}{7}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的概念；等可能事件概率计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是正确理解绝对值的相关概念，准确统计符合条件的结果数量，计算时注意不要漏数符合条件的负数。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确等可能事件概率的计算方法，即概率等于符合条件的结果数除以所有等可能的总结果数。第一步先确定抽取卡片的总等可能结果数，7张卡片随机抽1张，总共有7种等可能的结果；第二步准确理解“绝对值不小于2”的含义，即绝对值大于等于2，逐一筛选7个数字中符合该条件的数，统计出符合条件的结果数；最后代入概率公式计算即可得到答案。
【解析】
解：
∵共有7张除数字外其余都相同的卡片，随机抽取1张，共有7种等可能的结果。
其中卡片上的数的绝对值不小于2（即绝对值≥2）的数有：-3、-2、2、3，共4种结果。
根据等可能事件的概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$
∴所抽卡片上的数的绝对值不小于2的概率是$\frac{4}{7}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的概念；等可能事件概率计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是正确理解绝对值的相关概念，准确统计符合条件的结果数量，计算时注意不要漏数符合条件的负数。
【难度系数】
0.8
3. 若$ n $为正整数，且在计算$ n+(n+1)+(n+2) $的过程中，各数位上均不产生进位现象，则称$ n $为“本位数”.例如，2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”.现从所有大于0且小于100的“本位数”中随机抽取一个数，抽到偶数的概率为
$\frac{7}{11}$
.答案：3. $\frac{7}{11}$
解析：
【分析】首先明确“本位数”的定义，先分类找出所有大于0且小于100的“本位数”，再统计其中偶数的个数，最后根据等可能事件概率公式（概率=符合条件的情况数÷总情况数）计算抽到偶数的概率。思考时分两类讨论：①一位数本位数：仅需满足三个数的个位相加不进位；②两位数本位数：先保证个位相加不进位，再保证十位相加不进位（因个位无进位，十位只需满足三个十位数字相加不进位）。
【解析】首先找出所有大于0且小于100的“本位数”：
1. 当$n$为一位数（$1≤ n≤9$）时：
三个数相加的个位和为$n+(n+1)+(n+2)=3n+3$，要求不进位，即$3n+3＜10$，解得$n＜\frac{7}{3}\approx2.33$，正整数$n$可取1、2，共2个本位数。
2. 当$n$为两位数（$10≤ n≤99$）时，设$n=10a+b$（$a$为十位数字，$1≤ a≤9$；$b$为个位数字，$0≤ b≤9$）：
① 个位相加不进位：$b+(b+1)+(b+2)=3b+3＜10$，解得$b＜\frac{7}{3}\approx2.33$，$b$可取0、1、2；
② 十位相加不进位：因个位无进位，三个数的十位均为$a$，和为$3a＜10$，解得$a＜\frac{10}{3}\approx3.33$，$a$可取1、2、3。
因此两位数的本位数有：10、11、12、20、21、22、30、31、32，共9个。
综上，大于0小于100的本位数总共有$2+9=11$个，其中偶数为2、10、12、20、22、30、32，共7个。
根据概率公式，抽到偶数的概率为$7÷11=\frac{7}{11}$。
【答案】$\frac{7}{11}$
【知识点】概率计算、新定义理解、分类讨论
【点评】本题结合新定义考查概率计算，解题关键是正确理解“本位数”的定义，通过分类讨论不重不漏地找出所有符合条件的数，再代入概率公式计算即可。
【难度系数】0.65
【解析】首先找出所有大于0且小于100的“本位数”：
1. 当$n$为一位数（$1≤ n≤9$）时：
三个数相加的个位和为$n+(n+1)+(n+2)=3n+3$，要求不进位，即$3n+3＜10$，解得$n＜\frac{7}{3}\approx2.33$，正整数$n$可取1、2，共2个本位数。
2. 当$n$为两位数（$10≤ n≤99$）时，设$n=10a+b$（$a$为十位数字，$1≤ a≤9$；$b$为个位数字，$0≤ b≤9$）：
① 个位相加不进位：$b+(b+1)+(b+2)=3b+3＜10$，解得$b＜\frac{7}{3}\approx2.33$，$b$可取0、1、2；
② 十位相加不进位：因个位无进位，三个数的十位均为$a$，和为$3a＜10$，解得$a＜\frac{10}{3}\approx3.33$，$a$可取1、2、3。
因此两位数的本位数有：10、11、12、20、21、22、30、31、32，共9个。
综上，大于0小于100的本位数总共有$2+9=11$个，其中偶数为2、10、12、20、22、30、32，共7个。
根据概率公式，抽到偶数的概率为$7÷11=\frac{7}{11}$。
【答案】$\frac{7}{11}$
【知识点】概率计算、新定义理解、分类讨论
【点评】本题结合新定义考查概率计算，解题关键是正确理解“本位数”的定义，通过分类讨论不重不漏地找出所有符合条件的数，再代入概率公式计算即可。
【难度系数】0.65