【分析】
解答本题的核心是熟练掌握一元二次方程的求根公式。首先回忆一元二次方程一般式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，我们只需将题干给出的根的表达式和求根公式逐项对应，找到$a、b、c$的取值，即可得到对应的方程；也可逐一写出各选项方程的求根表达式，和题干对比选出答案。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题干给出的根的表达式$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×3×(-1)}}{2×3}$与求根公式对比：
1. 分母为$2a=2×3$，可得二次项系数$a=3$；
2. 分子的一次项部分为$-b=2$，可得一次项系数$b=-2$；
3. 根号内常数项部分为$-4ac=-4×3×(-1)$，代入$a=3$可得常数项$c=-1$。
因此对应的一元二次方程为$3x^2-2x-1=0$，对应选项D。
也可逐一验证选项：
A选项$3x^2+2x-1=0$的求根表达式为$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4×3×(-1)}}{2×3}$，与题干不符，排除；
B选项$2x^2+4x-1=0$的分母为$2×2=4$，与题干不符，排除；
C选项$-x^2-2x+3=0$的分母为$2×(-1)=-2$，与题干不符，排除。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式；一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查对一元二次方程求根公式的掌握程度，解题的关键是准确匹配求根公式中各部分与方程系数的对应关系，熟练掌握求根公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8

【分析】
要找出解题过程的错误，首先明确公式法解一元二次方程的步骤：第一步必须先把方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，再对应确定$a、b、c$的数值（注意符号），接着计算判别式，最后代入求根公式求解。原解题过程没有将方程化为一般形式，直接把等号右侧的2当作常数项$c$，因此首先错在$c$的取值，进而导致判别式、求根结果全部错误，后续只需按正确步骤先移项得一般式，再重新计算即可。
【解析】
原解题错误点：未将方程化为一般形式就错误确定常数项$c$的取值，导致后续计算全部错误。
错误原因：公式法解一元二次方程要求先将方程化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，原方程$3x^2-7x=2$移项后为$3x^2-7x-2=0$，因此常数项$c=-2$，而非2。
正确解题过程：
1. 移项将方程化为一般形式：$3x^2 -7x -2 = 0$
2. 确定系数：$a=3$，$b=-7$，$c=-2$
3. 计算判别式：$b^2-4ac=(-7)^2 -4×3×(-2)=49+24=73$
4. 代入求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{7\pm\sqrt{73}}{2×3}=\frac{7\pm\sqrt{73}}{6}$
5. 写出方程的根：$x_1=\frac{7+\sqrt{73}}{6}$，$x_2=\frac{7-\sqrt{73}}{6}$
【答案】
改正为:$c=-2,b^2-4ac=73,x=\frac{7\pm\sqrt{73}}{6},x_1=\frac{7+\sqrt{73}}{6},x_2=\frac{7-\sqrt{73}}{6}$
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 公式法解方程
3. 根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的典型易错题，核心易错点是忽略先将方程化为一般形式，错判常数项的符号，解题时要牢记公式法的使用前提，准确识别各项系数及符号。
【难度系数】
0.7

【分析】
用公式法解一元二次方程的思路清晰固定：第一步先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，准确识别二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，通过$\Delta$的正负判断方程是否有实数根；第三步若$\Delta≥0$，直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的根。
【解析】
（1）方程$2x^2 + x - 6 = 0$为一般形式，可得$a=2$，$b=1$，$c=-6$。
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=1^2-4×2×(-6)=1+48=49＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{2×2}=\frac{-1\pm7}{4}$
计算得：$x_1=\frac{-1-7}{4}=-2$，$x_2=\frac{-1+7}{4}=\frac{3}{2}$。
（2）先整理方程为一般形式：
展开$x(x-1)=1$得$x^2-x=1$，移项得$x^2 - x -1=0$，可得$a=1$，$b=-1$，$c=-1$。
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-1)=1+4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
计算得：$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=-2,x_2=\frac{3}{2}$
(2) $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程判别式、一元二次方程一般式整理
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查公式法的应用步骤，解题时需注意准确识别各项系数的符号，计算判别式和代入求根公式时要避免符号失误，提升计算准确率。
【难度系数】
0.8

【分析】
解一元二次方程时需根据方程特征灵活选择解法：优先尝试因式分解法，若一次项系数为偶数可优先选择配方法，若无法因式分解或配方则使用公式法，非一般形式的方程需先整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的标准形式再求解。
(1) 方程左边可通过十字相乘法因式分解，选择因式分解法计算更简便；
(2) 方程一次项系数为偶数，选择配方法计算量更小；
(3) 移项后左边符合完全平方公式特征，选择因式分解法求解；
(4) 先去括号、移项合并为标准形式，无法因式分解，选择公式法求解。
【解析】
(1) 对$3x^2 - 4x + 1 = 0$因式分解得：
$(3x-1)(x-1)=0$
令$3x-1=0$或$x-1=0$，解得：
$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{3}$
(2) 对$x^2 - 2x - 4 = 0$移项得：
$x^2 - 2x = 4$
配方，两边同时加1得：
$x^2 - 2x + 1 = 4 + 1$，即$(x-1)^2=5$
开平方得：$x-1=\pm\sqrt{5}$
解得：$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$
(3) 对$3x^2 + 4\sqrt{3}x = -4$移项得：
$3x^2 + 4\sqrt{3}x + 4 = 0$
由完全平方公式因式分解得：
$(\sqrt{3}x + 2)^2 = 0$
解得：$x_1=x_2=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
(4) 对$(y + 3)(1 - 3y) = 1 + 2y^2$先展开左边：
$y - 3y^2 + 3 - 9y = 1 + 2y^2$
移项、合并同类项得标准形式：
$5y^2 + 8y - 2 = 0$
其中$a=5,b=8,c=-2$，判别式$\Delta = b^2-4ac = 8^2 - 4×5×(-2) = 64 + 40 = 104$
代入求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$y=\frac{-8\pm\sqrt{104}}{2×5}=\frac{-8\pm2\sqrt{26}}{10}=\frac{-4\pm\sqrt{26}}{5}$
即$y_1=\frac{-4+\sqrt{26}}{5}$，$y_2=\frac{-4-\sqrt{26}}{5}$
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$
(2) $x_1=1+\sqrt{5},x_2=1-\sqrt{5}$
(3) $x_1=x_2=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
(4) $y_1=\frac{-4+\sqrt{26}}{5},y_2=\frac{-4-\sqrt{26}}{5}$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，公式法
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，解题核心是根据方程的结构特征选择最简解法，遇到非标准形式的方程要先整理为一般形式，运算过程中要注意根式化简、符号处理的准确性，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.75

【分析】
(1) 本题为分式方程，解题思路为先通过去分母将其转化为一元二次方程，再用一元二次方程的求根公式求解，最后检验所得根是否使原分式分母不为0，排除增根。
(2) 本题为含绝对值的一元二次方程，解题思路为根据绝对值的性质，分x≥2和x＜2两种情况去掉绝对值符号，转化为普通一元二次方程求解，再验证所得解是否符合对应分类的取值范围，舍去不符合的解。
【解析】
(1) 解方程$\frac{1-x}{x}=x$：
方程两边同时乘$x$（$x\ne0$）去分母得：
$1-x=x^2$
整理为一元二次方程标准形式：
$x^2+x-1=0$
其中$a=1,b=1,c=-1$，判别式$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×1×(-1)=5＞0$
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
检验：当$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$时，$x\ne0$，均为原方程的根。
(2) 解方程$x^2 + 2|x-2| -4=0$：
分两种情况讨论：
① 当$x\ge2$时，$|x-2|=x-2$，原方程化为：
$x^2+2(x-2)-4=0$
整理得：$x^2+2x-8=0$
因式分解得：$(x+4)(x-2)=0$
解得$x_1=-4,x_2=2$
结合前提$x\ge2$，舍去$x=-4$，保留$x=2$。
② 当$x＜2$时，$|x-2|=2-x$，原方程化为：
$x^2+2(2-x)-4=0$
整理得：$x^2-2x=0$
因式分解得：$x(x-2)=0$
解得$x_1=0,x_2=2$
结合前提$x＜2$，舍去$x=2$，保留$x=0$。
综上原方程的解为$x=0$和$x=2$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
(2) $x_1=0,x_2=2$
【知识点】
分式方程求解，含绝对值方程求解，一元二次方程解法
【点评】
两道题均为一元二次方程的拓展应用题型，求解分式方程时要注意验根，求解含绝对值的方程时要正确分类讨论，去掉绝对值后求解，再根据分类的取值范围对解进行取舍，避免出现增根或错解。
【难度系数】
0.7