7. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$DC// AB$，$∠ CBA=65°$，则$∠ DCA=$
（第7题）
25°
。（第7题）答案：7. 25°
解析：
【分析】
解题时先从已知条件AB是圆的直径入手，根据直径所对圆周角为直角的性质，可得到直角三角形ACB，结合已知的∠CBA度数，先算出∠CAB的大小；再利用DC与AB平行的性质，内错角相等，即可求出∠DCA的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ CBA=65°$
∴$∠ CAB=90°-∠ CBA=90°-65°=25°$
又
∵$DC// AB$
∴$∠ DCA=∠ CAB=25°$（两直线平行，内错角相等）
【答案】
$25°$
【知识点】
圆周角定理，平行线的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆与平行线结合的基础题型，考查学生对基础几何性质的综合运用能力，解题的关键是先利用直径的性质求出$∠ CAB$的度数，再结合平行线的内错角相等的性质即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件AB是圆的直径入手，根据直径所对圆周角为直角的性质，可得到直角三角形ACB，结合已知的∠CBA度数，先算出∠CAB的大小；再利用DC与AB平行的性质，内错角相等，即可求出∠DCA的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ CBA=65°$
∴$∠ CAB=90°-∠ CBA=90°-65°=25°$
又
∵$DC// AB$
∴$∠ DCA=∠ CAB=25°$（两直线平行，内错角相等）
【答案】
$25°$
【知识点】
圆周角定理，平行线的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆与平行线结合的基础题型，考查学生对基础几何性质的综合运用能力，解题的关键是先利用直径的性质求出$∠ CAB$的度数，再结合平行线的内错角相等的性质即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
8. 如图,某机械传动装置在静止状态时,连杆PA与点A运动所形成的$\odot O$交于点B,现测得$PB=4\ \mathrm{cm},AB=5\ \mathrm{cm},\odot O$的半径$R=4.5\ \mathrm{cm}$,则此时点P到圆心O的距离是
7.5
cm.答案：8. 7.5
解析：
【分析】
要求点P到圆心O的距离，可利用割线定理求解。首先明确PAB是$\odot O$的一条割线，我们再构造一条过点P和圆心O的割线，设PO的长度为x，根据割线定理“圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆交点的线段长度乘积相等”建立方程，即可求解x的值。
【解析】
解：首先计算PA的长度：
$PA = PB + AB = 4 + 5 = 9\ \mathrm{cm}$
过点P作经过圆心O的割线，交$\odot O$于C、D两点，其中C在线段PO上，D在PO的延长线上。
设$PO = x\ \mathrm{cm}$，则$PC = x - R = x - 4.5$，$PD = x + R = x + 4.5$。
根据割线定理可得：$PB · PA = PC · PD$
代入数值：
$4 × 9 = (x - 4.5)(x + 4.5)$
利用平方差公式展开右边：
$36 = x^2 - 4.5^2$
$x^2 = 36 + 20.25 = 56.25$
因为长度为正数，所以$x = \sqrt{56.25} = 7.5$。
【答案】
7.5
【知识点】
割线定理，平方差公式，方程求解
【点评】
本题是圆中线段长度计算的典型题，解题的核心是构造过圆心的辅助割线，结合割线定理建立等量关系求解，能很好地考查对圆幂定理的掌握和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7
要求点P到圆心O的距离，可利用割线定理求解。首先明确PAB是$\odot O$的一条割线，我们再构造一条过点P和圆心O的割线，设PO的长度为x，根据割线定理“圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆交点的线段长度乘积相等”建立方程，即可求解x的值。
【解析】
解：首先计算PA的长度：
$PA = PB + AB = 4 + 5 = 9\ \mathrm{cm}$
过点P作经过圆心O的割线，交$\odot O$于C、D两点，其中C在线段PO上，D在PO的延长线上。
设$PO = x\ \mathrm{cm}$，则$PC = x - R = x - 4.5$，$PD = x + R = x + 4.5$。
根据割线定理可得：$PB · PA = PC · PD$
代入数值：
$4 × 9 = (x - 4.5)(x + 4.5)$
利用平方差公式展开右边：
$36 = x^2 - 4.5^2$
$x^2 = 36 + 20.25 = 56.25$
因为长度为正数，所以$x = \sqrt{56.25} = 7.5$。
【答案】
7.5
【知识点】
割线定理，平方差公式，方程求解
【点评】
本题是圆中线段长度计算的典型题，解题的核心是构造过圆心的辅助割线，结合割线定理建立等量关系求解，能很好地考查对圆幂定理的掌握和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7
9. 已知四边形ABCD内接于$\odot O$，且$∠ A,∠ C$的度数之比为$1:2$，则$∠ BOD=$
120°
.答案：9. 120°
解析：
【分析】
解题思路如下：首先，题目给出四边形内接于圆，首先联想到圆内接四边形的核心性质：对角互补。已知∠A和∠C是对角且度数比为1:2，可通过设未知数列方程求出∠A的度数；其次，∠BOD是弧BD对应的圆心角，∠A是弧BD对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，代入∠A的度数即可求出∠BOD。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$
∴ 根据圆内接四边形对角互补的性质，得$∠ A + ∠ C = 180°$
设$∠ A = x$，由$∠ A:∠ C=1:2$可知$∠ C = 2x$，代入得：
$x + 2x = 180°$
解得$x = 60°$，即$∠ A = 60°$
又
∵ $∠ BOD$是弧$BD$所对的圆心角，$∠ A$是弧$BD$所对的圆周角
∴ 根据圆周角定理，$∠ BOD = 2∠ A = 2×60° = 120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆内接四边形性质与圆周角定理的综合运用，解题的关键是先利用对角互补求出圆周角∠A的度数，再转化为对应圆心角的度数即可。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先，题目给出四边形内接于圆，首先联想到圆内接四边形的核心性质：对角互补。已知∠A和∠C是对角且度数比为1:2，可通过设未知数列方程求出∠A的度数；其次，∠BOD是弧BD对应的圆心角，∠A是弧BD对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，代入∠A的度数即可求出∠BOD。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$
∴ 根据圆内接四边形对角互补的性质，得$∠ A + ∠ C = 180°$
设$∠ A = x$，由$∠ A:∠ C=1:2$可知$∠ C = 2x$，代入得：
$x + 2x = 180°$
解得$x = 60°$，即$∠ A = 60°$
又
∵ $∠ BOD$是弧$BD$所对的圆心角，$∠ A$是弧$BD$所对的圆周角
∴ 根据圆周角定理，$∠ BOD = 2∠ A = 2×60° = 120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆内接四边形性质与圆周角定理的综合运用，解题的关键是先利用对角互补求出圆周角∠A的度数，再转化为对应圆心角的度数即可。
【难度系数】
0.8
10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=10$,$BC=6$,经过点$C$且与边$AB$相切的动圆与$CA$,$CB$分别交于点$D$,$E$,则线段$DE$长度的最小值是
4.8
.答案：10. 4.8
解析：
【分析】
首先，由∠C=90°，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，可推出DE是动圆的直径，即DE长度等于动圆直径。设动圆圆心为O，半径为r，则DE=2r。因为圆过点C，所以OC=r；又因为圆与AB相切，根据切线的性质，圆心O到AB的距离等于半径r。要使DE最小，即要使r最小，根据点到直线的距离垂线段最短，当点C、圆心O、AB上的切点三点共线且该线段垂直于AB时，OC与O到AB的距离之和等于点C到AB的垂线段长度，此时r最小，即DE最小，等于C到AB的高的长度。
【解析】
1. 求AC的长度：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$
2. 求AB边上的高h：由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· h$，代入数值：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× h$，解得$h=\frac{48}{10}=4.8$
3. 分析DE的性质：因为∠DCE=90°，所以DE是动圆的直径，设动圆半径为r，则$DE=2r$。
4. 求DE最小值：圆过点C，故$OC=r$；圆与AB相切，故圆心O到AB的距离为$r$。根据垂线段最短，$OC + r≥ h$，当O在C到AB的垂线段上时，等号成立，此时$2r=h=4.8$，即DE的最小值为4.8。
【答案】
4.8
【知识点】
圆周角定理，切线的性质，垂线段最短
【点评】
本题是圆与三角形结合的综合题，核心是将DE的长度转化为动圆的直径，再结合切线性质和垂线段最短的原理找到最小值的情况，重点考查转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
首先，由∠C=90°，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，可推出DE是动圆的直径，即DE长度等于动圆直径。设动圆圆心为O，半径为r，则DE=2r。因为圆过点C，所以OC=r；又因为圆与AB相切，根据切线的性质，圆心O到AB的距离等于半径r。要使DE最小，即要使r最小，根据点到直线的距离垂线段最短，当点C、圆心O、AB上的切点三点共线且该线段垂直于AB时，OC与O到AB的距离之和等于点C到AB的垂线段长度，此时r最小，即DE最小，等于C到AB的高的长度。
【解析】
1. 求AC的长度：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$
2. 求AB边上的高h：由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· h$，代入数值：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× h$，解得$h=\frac{48}{10}=4.8$
3. 分析DE的性质：因为∠DCE=90°，所以DE是动圆的直径，设动圆半径为r，则$DE=2r$。
4. 求DE最小值：圆过点C，故$OC=r$；圆与AB相切，故圆心O到AB的距离为$r$。根据垂线段最短，$OC + r≥ h$，当O在C到AB的垂线段上时，等号成立，此时$2r=h=4.8$，即DE的最小值为4.8。
【答案】
4.8
【知识点】
圆周角定理，切线的性质，垂线段最短
【点评】
本题是圆与三角形结合的综合题，核心是将DE的长度转化为动圆的直径，再结合切线性质和垂线段最短的原理找到最小值的情况，重点考查转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
11. 如图,在扇形$OAB$中,$∠ AOB=110°$,半径$OA=18$,将扇形$OAB$沿过点$B$的直线折叠,点$O$恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点$D$处,折痕交$OA$于点$C$,则$\overset{\frown}{AD}$的长为
5π
.答案：11. 5π
解析：
【分析】
解题时先利用折叠的性质得到边相等的关系，再结合扇形半径相等的特征，判断出△OBD的形状，求出∠BOD的度数，进而得到弧AD对应的圆心角∠AOD的度数，最后代入弧长公式计算即可。具体思考步骤：1.折叠后对应边相等，可得OB=DB；2.扇形中OD、OB都是半径，故OD=OB，由此可推出△OBD是等边三角形，得到∠BOD=60°；3.用∠AOB减去∠BOD得到∠AOD的度数；4.代入弧长公式计算弧AD的长度。
【解析】
连接OD，
∵ 将扇形OAB沿BC折叠，点O落在D处，
∴ OB=DB，
又
∵ OD、OB都是扇形OAB的半径，
∴ OD=OB，
∴ OD=OB=DB，即△OBD是等边三角形，
∴ ∠DOB=60°，
∵ ∠AOB=110°，
∴ ∠AOD=∠AOB - ∠DOB = 110° - 60° = 50°，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中n为圆心角度数，r为半径），
可得$\overset{\frown}{AD}$的长为$\frac{50×π×18}{180}=5π$。
【答案】
5π
【知识点】
折叠的性质；等边三角形的判定与性质；弧长计算
【点评】
本题属于几何综合计算题，解题的突破口是连接OD构造等边三角形，求出弧AD对应的圆心角，很好地考查了几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先利用折叠的性质得到边相等的关系，再结合扇形半径相等的特征，判断出△OBD的形状，求出∠BOD的度数，进而得到弧AD对应的圆心角∠AOD的度数，最后代入弧长公式计算即可。具体思考步骤：1.折叠后对应边相等，可得OB=DB；2.扇形中OD、OB都是半径，故OD=OB，由此可推出△OBD是等边三角形，得到∠BOD=60°；3.用∠AOB减去∠BOD得到∠AOD的度数；4.代入弧长公式计算弧AD的长度。
【解析】
连接OD，
∵ 将扇形OAB沿BC折叠，点O落在D处，
∴ OB=DB，
又
∵ OD、OB都是扇形OAB的半径，
∴ OD=OB，
∴ OD=OB=DB，即△OBD是等边三角形，
∴ ∠DOB=60°，
∵ ∠AOB=110°，
∴ ∠AOD=∠AOB - ∠DOB = 110° - 60° = 50°，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中n为圆心角度数，r为半径），
可得$\overset{\frown}{AD}$的长为$\frac{50×π×18}{180}=5π$。
【答案】
5π
【知识点】
折叠的性质；等边三角形的判定与性质；弧长计算
【点评】
本题属于几何综合计算题，解题的突破口是连接OD构造等边三角形，求出弧AD对应的圆心角，很好地考查了几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
12. 如图，一个半圆形工件的直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移 50 m，半圆的直径为 4 m，则圆心 O 所经过的路线长是
2π+50
m(结果用π表示)。答案：12. 2π+50
解析：
【分析】
解题时首先拆分圆心O的运动过程，分为无滑动翻转和沿地面平移两个阶段：
1. 翻转阶段：半圆无滑动翻转时，圆心到接触点的距离始终等于半径，运动轨迹为圆弧，先确定圆弧的半径和圆心角，再用弧长公式计算该段路程；
2. 平移阶段：平移时圆心随整体做直线运动，路程等于平移距离。最后将两段路程相加即可得到总路线长。
【解析】
已知半圆直径为4m，因此半径$ r = 4÷2 = 2\mathrm{m} $。
1. 计算翻转阶段圆心经过的路程：
无滑动翻转至直径紧贴地面的过程中，圆心的运动轨迹是圆心角为$ 180° $、半径为2m的半圆弧，根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $，代入$ n=180 $、$ r=2 $得：
$ l_{\mathrm{弧}}=\frac{180π×2}{180}=2π\mathrm{m} $
2. 计算平移阶段圆心经过的路程：
沿地面平移时，圆心运动的路程等于平移距离，即$ l_{\mathrm{平}}=50\mathrm{m} $。
因此圆心O所经过的总路线长为$ 2π + 50 \mathrm{m} $。
【答案】
$ 2π+50 $
【知识点】
弧长计算，旋转的性质，平移的性质
【点评】
本题结合实际搬运场景，考查了图形变换过程中点的运动路径求解，核心是准确判断翻转阶段圆心的运动轨迹为半圆弧，再结合对应公式计算即可，易错点是误判翻转时圆心的运动轨迹长度。
【难度系数】
0.6
解题时首先拆分圆心O的运动过程，分为无滑动翻转和沿地面平移两个阶段：
1. 翻转阶段：半圆无滑动翻转时，圆心到接触点的距离始终等于半径，运动轨迹为圆弧，先确定圆弧的半径和圆心角，再用弧长公式计算该段路程；
2. 平移阶段：平移时圆心随整体做直线运动，路程等于平移距离。最后将两段路程相加即可得到总路线长。
【解析】
已知半圆直径为4m，因此半径$ r = 4÷2 = 2\mathrm{m} $。
1. 计算翻转阶段圆心经过的路程：
无滑动翻转至直径紧贴地面的过程中，圆心的运动轨迹是圆心角为$ 180° $、半径为2m的半圆弧，根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $，代入$ n=180 $、$ r=2 $得：
$ l_{\mathrm{弧}}=\frac{180π×2}{180}=2π\mathrm{m} $
2. 计算平移阶段圆心经过的路程：
沿地面平移时，圆心运动的路程等于平移距离，即$ l_{\mathrm{平}}=50\mathrm{m} $。
因此圆心O所经过的总路线长为$ 2π + 50 \mathrm{m} $。
【答案】
$ 2π+50 $
【知识点】
弧长计算，旋转的性质，平移的性质
【点评】
本题结合实际搬运场景，考查了图形变换过程中点的运动路径求解，核心是准确判断翻转阶段圆心的运动轨迹为半圆弧，再结合对应公式计算即可，易错点是误判翻转时圆心的运动轨迹长度。
【难度系数】
0.6
三、解答题（共52分）
13. (12分)同一平面直角坐标系中有点$A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3)$.
（1）画出$△ ABC$的外接圆$\odot P$，并指出点$D$与$\odot P$的位置关系；
（2）若直线$l$经过点$D(-2,-2),E(0,-3)$，判断直线$l$与$\odot P$的位置关系.
13. (12分)同一平面直角坐标系中有点$A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3)$.
（1）画出$△ ABC$的外接圆$\odot P$，并指出点$D$与$\odot P$的位置关系；
（2）若直线$l$经过点$D(-2,-2),E(0,-3)$，判断直线$l$与$\odot P$的位置关系.
答案：13. （1）图略，点D在$\odot P$上 （2）相切
解析：
【分析】
（1）要画出△ABC的外接圆，核心是先确定外接圆的圆心：三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，结合A、B、C三点坐标特征，可快速求出两条边的垂直平分线，交点即为圆心P，再计算半径，最后通过点D到圆心的距离和半径的大小关系，判断点D与⊙P的位置关系。
（2）判断直线l与⊙P的位置关系，已知点D在圆上，只需验证圆心与D的连线是否和直线l垂直即可：若两条直线垂直，则直线l是⊙P的切线，对应位置关系为相切，可通过计算两条直线的斜率乘积判断是否垂直。
【解析】
（1）求△ABC外接圆的圆心和半径：
已知$A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1)$，
① 点B、C横坐标均为-3，即BC为竖直线段，BC中点为$(-3,0)$，因此BC的垂直平分线为水平直线$y=0$；
② 点A、C纵坐标均为1，即AC为水平线段，AC中点为$(-1,1)$，因此AC的垂直平分线为竖直直线$x=-1$；
两条垂直平分线交点为$(-1,0)$，即圆心P的坐标为$(-1,0)$。
半径$r=PA=\sqrt{(1-(-1))^2+(1-0)^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
判断点D与⊙P的位置关系：
$PD=\sqrt{(-2-(-1))^2+(-2-0)^2}=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{5}=r$，因此点D在$\odot P$上。
（2）判断直线l与⊙P的位置关系：
① 计算直线PD的斜率：$k_{PD}=\frac{-2-0}{-2-(-1)}=\frac{-2}{-1}=2$；
② 计算直线DE（即直线l）的斜率：$k_{DE}=\frac{-3-(-2)}{0-(-2)}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$；
由于$k_{PD}× k_{DE}=2×(-\frac{1}{2})=-1$，因此$PD⊥ DE$，又因为点D在$\odot P$上，所以直线l与$\odot P$相切。
【答案】
（1）画图略，点D在$\odot P$上；（2）相切
【知识点】
三角形外接圆，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查圆的基础性质，解题关键是先准确确定外接圆的圆心和半径，再结合距离公式、直线垂直的判定条件判断位置关系，是圆章节的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
（1）要画出△ABC的外接圆，核心是先确定外接圆的圆心：三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，结合A、B、C三点坐标特征，可快速求出两条边的垂直平分线，交点即为圆心P，再计算半径，最后通过点D到圆心的距离和半径的大小关系，判断点D与⊙P的位置关系。
（2）判断直线l与⊙P的位置关系，已知点D在圆上，只需验证圆心与D的连线是否和直线l垂直即可：若两条直线垂直，则直线l是⊙P的切线，对应位置关系为相切，可通过计算两条直线的斜率乘积判断是否垂直。
【解析】
（1）求△ABC外接圆的圆心和半径：
已知$A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1)$，
① 点B、C横坐标均为-3，即BC为竖直线段，BC中点为$(-3,0)$，因此BC的垂直平分线为水平直线$y=0$；
② 点A、C纵坐标均为1，即AC为水平线段，AC中点为$(-1,1)$，因此AC的垂直平分线为竖直直线$x=-1$；
两条垂直平分线交点为$(-1,0)$，即圆心P的坐标为$(-1,0)$。
半径$r=PA=\sqrt{(1-(-1))^2+(1-0)^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
判断点D与⊙P的位置关系：
$PD=\sqrt{(-2-(-1))^2+(-2-0)^2}=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{5}=r$，因此点D在$\odot P$上。
（2）判断直线l与⊙P的位置关系：
① 计算直线PD的斜率：$k_{PD}=\frac{-2-0}{-2-(-1)}=\frac{-2}{-1}=2$；
② 计算直线DE（即直线l）的斜率：$k_{DE}=\frac{-3-(-2)}{0-(-2)}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$；
由于$k_{PD}× k_{DE}=2×(-\frac{1}{2})=-1$，因此$PD⊥ DE$，又因为点D在$\odot P$上，所以直线l与$\odot P$相切。
【答案】
（1）画图略，点D在$\odot P$上；（2）相切
【知识点】
三角形外接圆，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查圆的基础性质，解题关键是先准确确定外接圆的圆心和半径，再结合距离公式、直线垂直的判定条件判断位置关系，是圆章节的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7