25. (12分)定义:如图,在平面直角坐标系中,点P是平面内任意一点(坐标轴上的点除外),过点P分别作x轴、y轴的垂线,若由点P、原点O、两个垂足A,B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时,则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”.
(1) 点C(2,3)
(2) 若“美好点”E(m,6)(m＞0)在双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0,且k为常数)$上,则k=
(3) 已知点P(x,y)是第一象限内的“美好点”.
① 求y关于x的函数表达式;
② 对于图象上任意一点(x,y),求证:代数式$(x-2)(y-2)$的值是常数.
(1) 点C(2,3)
不是
(填“是”或“不是”)“美好点”.(2) 若“美好点”E(m,6)(m＞0)在双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0,且k为常数)$上,则k=
18
.(3) 已知点P(x,y)是第一象限内的“美好点”.
① 求y关于x的函数表达式;
② 对于图象上任意一点(x,y),求证:代数式$(x-2)(y-2)$的值是常数.
答案：25. (1) 不是 (2) 18 (3) ① $y=\frac{4}{x-2}+2(x＞2)$ ② $\because y=\frac{4}{x-2}+2$,$\therefore (x-2)(y-2)=(x-2)(\frac{4}{x-2}+2-2)=4.\therefore 对于图象上任意一点(x,y),代数式(x-2)(y-2)的值为常数,常数为4$
解析：
【分析】
本题核心是准确理解“美好点”的定义：若点P(a,b)（坐标轴上点除外）是美好点，则矩形OAPB的面积与周长数值相等，即$|a||b|=2(|a|+|b|)$。解题思路如下：
(1) 将点C坐标分别代入面积、周长公式，比较数值是否相等即可判断；
(2) 利用“美好点”定义列方程求出m的值，再将点E坐标代入双曲线解析式即可求出k；
(3) ① 根据“美好点”定义列关于x,y的等式，整理变形即可得到y关于x的函数表达式，注意第一象限坐标的取值范围；② 将①中得到的函数表达式代入代数式，化简即可证明其为常数。
【解析】
(1) 对于点C(2,3)，矩形面积：$2×3=6$，矩形周长：$2×(2+3)=10$，$6≠10$，故点C不是美好点。
(2) $\because$ E(m,6)（m＞0）是美好点，$\therefore 6m=2(m+6)$，
解得：$6m=2m+12$，$4m=12$，$m=3$，
$\therefore$ E点坐标为(3,6)，代入$y=\frac{k}{x}$得$k=3×6=18$。
(3) ① $\because$ P(x,y)是第一象限的“美好点”，$\therefore x＞0,y＞0$，
根据定义得：$xy=2(x+y)$，
整理得：$xy-2y=2x$，$y(x-2)=2x$，
由题意得$x≠2$，且$x＞2$（y＞0，故$x-2＞0$），
$\therefore y=\frac{2x}{x-2}=\frac{2(x-2)+4}{x-2}=\frac{4}{x-2}+2(x＞2)$。
② 证明：将$y=\frac{4}{x-2}+2$代入代数式得：
$(x-2)(y-2)=(x-2)(\frac{4}{x-2}+2-2)=(x-2)×\frac{4}{x-2}=4$，
故代数式$(x-2)(y-2)$的值是常数4。
【答案】
(1) 不是 (2) 18 (3) ① $y=\frac{4}{x-2}+2(x＞2)$ ② 代数式的值为常数4，证明见解析
【知识点】
新定义问题，反比例函数，代数式化简
【点评】
本题结合新定义考查坐标与图形、反比例函数及代数式运算，解题的关键是读懂新定义的含义，将新定义条件转化为常规的代数等式，侧重考查转化思想和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
本题核心是准确理解“美好点”的定义：若点P(a,b)（坐标轴上点除外）是美好点，则矩形OAPB的面积与周长数值相等，即$|a||b|=2(|a|+|b|)$。解题思路如下：
(1) 将点C坐标分别代入面积、周长公式，比较数值是否相等即可判断；
(2) 利用“美好点”定义列方程求出m的值，再将点E坐标代入双曲线解析式即可求出k；
(3) ① 根据“美好点”定义列关于x,y的等式，整理变形即可得到y关于x的函数表达式，注意第一象限坐标的取值范围；② 将①中得到的函数表达式代入代数式，化简即可证明其为常数。
【解析】
(1) 对于点C(2,3)，矩形面积：$2×3=6$，矩形周长：$2×(2+3)=10$，$6≠10$，故点C不是美好点。
(2) $\because$ E(m,6)（m＞0）是美好点，$\therefore 6m=2(m+6)$，
解得：$6m=2m+12$，$4m=12$，$m=3$，
$\therefore$ E点坐标为(3,6)，代入$y=\frac{k}{x}$得$k=3×6=18$。
(3) ① $\because$ P(x,y)是第一象限的“美好点”，$\therefore x＞0,y＞0$，
根据定义得：$xy=2(x+y)$，
整理得：$xy-2y=2x$，$y(x-2)=2x$，
由题意得$x≠2$，且$x＞2$（y＞0，故$x-2＞0$），
$\therefore y=\frac{2x}{x-2}=\frac{2(x-2)+4}{x-2}=\frac{4}{x-2}+2(x＞2)$。
② 证明：将$y=\frac{4}{x-2}+2$代入代数式得：
$(x-2)(y-2)=(x-2)(\frac{4}{x-2}+2-2)=(x-2)×\frac{4}{x-2}=4$，
故代数式$(x-2)(y-2)$的值是常数4。
【答案】
(1) 不是 (2) 18 (3) ① $y=\frac{4}{x-2}+2(x＞2)$ ② 代数式的值为常数4，证明见解析
【知识点】
新定义问题，反比例函数，代数式化简
【点评】
本题结合新定义考查坐标与图形、反比例函数及代数式运算，解题的关键是读懂新定义的含义，将新定义条件转化为常规的代数等式，侧重考查转化思想和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
26. (12分)如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，$△ ABC$与$△ ABD$关于AB对称，$DE// AB$交$\odot O$于点E，连接AE交BD于点F，点G在DA的延长线上，且$∠ ACG=∠ AED$。
(1) 若$∠ ABC=30°$，$AB=6$，求BD的长。
(2) 求证：CG是$\odot O$的切线。
(3) 当$CG⊥ DA$时，$S_{△ ACG}=mS_{△ DEF}$恒成立，求常数m的值。
(1) 若$∠ ABC=30°$，$AB=6$，求BD的长。
(2) 求证：CG是$\odot O$的切线。
(3) 当$CG⊥ DA$时，$S_{△ ACG}=mS_{△ DEF}$恒成立，求常数m的值。
答案：26. (1) $3\sqrt{3}$ (2) 略 (3) $\frac{3}{2}$
解析：
【分析】
(1) 第一问先利用直径所对圆周角为直角得到Rt△ABC，结合已知的∠ABC度数和AB长度，用三角函数求出BC的长，再根据轴对称的性质可得BD=BC，即可求出BD的长。
(2) 第二问证明切线，先连接半径OC，通过同弧所对圆周角相等、轴对称性质推导角的等量关系，得到∠ACG=∠OCB，再结合∠ACB=90°推出∠OCG=90°，即可证明OC⊥CG，从而得CG是⊙O的切线。
(3) 第三问由于面积关系恒成立，可通过设特殊值简化计算，利用CG⊥DA的条件、圆周角定理和平行线的性质，分别表示出△ACG和△DEF的面积，计算比值即可得到常数m的值。
【解析】
(1) 解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，AB=6，∠ABC=30°，
∴$BC=AB·\cos30°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
∵△ABC与△ABD关于AB对称，
∴△ABC≌△ABD，
∴$BD=BC=3\sqrt{3}$。
(2) 证明：连接OC。
∵△ABC与△ABD关于AB对称，
∴∠ABD=∠ABC，∠ACB=∠ADB=90°。
∵同弧AD所对的圆周角相等，
∴∠AED=∠ABD。
又
∵∠ACG=∠AED，
∴∠ACG=∠ABC。
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC，
∴∠ACG=∠OCB。
∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠ACO+∠ACG=∠OCG=90°，即OC⊥CG。
又
∵OC是⊙O的半径，
∴CG是⊙O的切线。
(3) 解：取特殊值计算，设AB=2，∠ABC=30°：
则AC=AD=1，BC=BD=$\sqrt{3}$，∠DAB=60°，∠ACG=∠AED=∠ABD=30°。
在Rt△ACG中，∠AGC=90°，∠ACG=30°，
∴$AG=AC·\sin30°=\frac{1}{2}$，$CG=AC·\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$S_{△ACG}=\frac{1}{2}AG·CG=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}$。
∵DE//AB，
∴∠BAE=∠AED=30°，∠ADE=180°-∠DAB=120°，
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=30°，△ADE为等腰三角形，DE=AD=1。
在Rt△ADF中，∠ADF=90°，∠DAF=30°，AD=1，
∴$DF=AD·\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠EDF=∠ADE-∠ADB=30°。
∴$S_{△DEF}=\frac{1}{2}·DE·DF·\sin30°=\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{12}$。
∴$m=\frac{S_{△ACG}}{S_{△DEF}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{12}}=\frac{3}{2}$，由于关系恒成立，故$m=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $3\sqrt{3}$；(2) 见解析；(3) $\frac{3}{2}$
【知识点】
圆周角定理，切线的判定，三角形面积计算
【点评】
本题是圆的综合题，三个小问梯度设置合理，第一问考查基础的圆周角性质和轴对称应用，第二问考查切线的常规判定方法，第三问需要结合角度关系、平行线性质推导图形间的面积关系，对综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
(1) 第一问先利用直径所对圆周角为直角得到Rt△ABC，结合已知的∠ABC度数和AB长度，用三角函数求出BC的长，再根据轴对称的性质可得BD=BC，即可求出BD的长。
(2) 第二问证明切线，先连接半径OC，通过同弧所对圆周角相等、轴对称性质推导角的等量关系，得到∠ACG=∠OCB，再结合∠ACB=90°推出∠OCG=90°，即可证明OC⊥CG，从而得CG是⊙O的切线。
(3) 第三问由于面积关系恒成立，可通过设特殊值简化计算，利用CG⊥DA的条件、圆周角定理和平行线的性质，分别表示出△ACG和△DEF的面积，计算比值即可得到常数m的值。
【解析】
(1) 解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，AB=6，∠ABC=30°，
∴$BC=AB·\cos30°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
∵△ABC与△ABD关于AB对称，
∴△ABC≌△ABD，
∴$BD=BC=3\sqrt{3}$。
(2) 证明：连接OC。
∵△ABC与△ABD关于AB对称，
∴∠ABD=∠ABC，∠ACB=∠ADB=90°。
∵同弧AD所对的圆周角相等，
∴∠AED=∠ABD。
又
∵∠ACG=∠AED，
∴∠ACG=∠ABC。
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC，
∴∠ACG=∠OCB。
∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠ACO+∠ACG=∠OCG=90°，即OC⊥CG。
又
∵OC是⊙O的半径，
∴CG是⊙O的切线。
(3) 解：取特殊值计算，设AB=2，∠ABC=30°：
则AC=AD=1，BC=BD=$\sqrt{3}$，∠DAB=60°，∠ACG=∠AED=∠ABD=30°。
在Rt△ACG中，∠AGC=90°，∠ACG=30°，
∴$AG=AC·\sin30°=\frac{1}{2}$，$CG=AC·\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$S_{△ACG}=\frac{1}{2}AG·CG=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}$。
∵DE//AB，
∴∠BAE=∠AED=30°，∠ADE=180°-∠DAB=120°，
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=30°，△ADE为等腰三角形，DE=AD=1。
在Rt△ADF中，∠ADF=90°，∠DAF=30°，AD=1，
∴$DF=AD·\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠EDF=∠ADE-∠ADB=30°。
∴$S_{△DEF}=\frac{1}{2}·DE·DF·\sin30°=\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{12}$。
∴$m=\frac{S_{△ACG}}{S_{△DEF}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{12}}=\frac{3}{2}$，由于关系恒成立，故$m=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $3\sqrt{3}$；(2) 见解析；(3) $\frac{3}{2}$
【知识点】
圆周角定理，切线的判定，三角形面积计算
【点评】
本题是圆的综合题，三个小问梯度设置合理，第一问考查基础的圆周角性质和轴对称应用，第二问考查切线的常规判定方法，第三问需要结合角度关系、平行线性质推导图形间的面积关系，对综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5