1. 如图，在长 70 m、宽 50 m 的矩形绿地（阴影部分）的四周建有宽度相等的人行道，已知人行道的面积共1 300 m²，则人行道的宽度为
5
m. 答案：1. 5
解析：
【分析】
这是一道结合矩形面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 设人行道宽度为未知数x；2. 表示出包含人行道的大矩形的长和宽：大矩形的长为绿地长加2倍人行道宽度，宽为绿地宽加2倍人行道宽度；3. 找等量关系：人行道面积=大矩形面积-阴影绿地面积，据此列方程；4. 求解方程后，舍去不符合实际意义（宽度为负）的根，得到正确结果。
【解析】
解：设人行道的宽度为$x\ \mathrm{m}$。
包含人行道的大矩形的长为$(70+2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(50+2x)\ \mathrm{m}$，根据题意可得：
$(70+2x)(50+2x) - 70×50 = 1300$
展开并整理方程：
$3500 + 240x + 4x^2 - 3500 = 1300$
$4x^2 + 240x - 1300 = 0$
化简得：
$x^2 + 60x - 325 = 0$
因式分解得：
$(x+65)(x-5)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-65$
∵ 人行道宽度不能为负数，
∴ $x=-65$不符合题意，舍去。
即人行道的宽度为$5\ \mathrm{m}$。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，方程验根
【点评】
本题属于典型的面积类方程应用题，解题的核心是准确找到面积之间的等量关系列方程，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍，避免出现不符合常理的结果。
【难度系数】
0.7
这是一道结合矩形面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 设人行道宽度为未知数x；2. 表示出包含人行道的大矩形的长和宽：大矩形的长为绿地长加2倍人行道宽度，宽为绿地宽加2倍人行道宽度；3. 找等量关系：人行道面积=大矩形面积-阴影绿地面积，据此列方程；4. 求解方程后，舍去不符合实际意义（宽度为负）的根，得到正确结果。
【解析】
解：设人行道的宽度为$x\ \mathrm{m}$。
包含人行道的大矩形的长为$(70+2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(50+2x)\ \mathrm{m}$，根据题意可得：
$(70+2x)(50+2x) - 70×50 = 1300$
展开并整理方程：
$3500 + 240x + 4x^2 - 3500 = 1300$
$4x^2 + 240x - 1300 = 0$
化简得：
$x^2 + 60x - 325 = 0$
因式分解得：
$(x+65)(x-5)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-65$
∵ 人行道宽度不能为负数，
∴ $x=-65$不符合题意，舍去。
即人行道的宽度为$5\ \mathrm{m}$。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，方程验根
【点评】
本题属于典型的面积类方程应用题，解题的核心是准确找到面积之间的等量关系列方程，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍，避免出现不符合常理的结果。
【难度系数】
0.7
2. 一个直角三角形的两条直角边的和是28 cm，面积是96 cm². 求这个直角三角形两条直角边及斜边的长.
答案：2. 两条直角边的长分别为12 m,16 m,斜边长为20 cm
解析：
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设未知数列一元二次方程求解：首先设其中一条直角边长为x cm，结合两条直角边的和为28 cm，就能用含x的代数式表示出另一条直角边的长度；再根据直角三角形的面积公式列出关于x的一元二次方程，解方程得到两条直角边的长度后，最后用勾股定理计算斜边的长度即可。
【解析】
解：设其中一条直角边的长为x cm，则另一条直角边的长为$(28-x)$ cm。
根据直角三角形面积公式可列方程：
$\frac{1}{2}x(28-x)=96$
整理得：$x^2-28x+192=0$
因式分解得：$(x-12)(x-16)=0$
解得：$x_1=12$，$x_2=16$
当$x=12$时，另一条直角边长为$28-12=16$ cm；
当$x=16$时，另一条直角边长为$28-16=12$ cm。
即两条直角边长分别为12 cm、16 cm。
根据勾股定理，斜边长为：
$\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$ cm
【答案】
两条直角边的长分别为12 cm，16 cm，斜边长为20 cm
【知识点】
一元二次方程的应用，直角三角形面积计算，勾股定理
【点评】
本题是一元二次方程结合几何图形的基础应用题，解题核心是根据几何中的等量关系建立方程，求解后注意验证结果是否符合实际几何意义。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以通过设未知数列一元二次方程求解：首先设其中一条直角边长为x cm，结合两条直角边的和为28 cm，就能用含x的代数式表示出另一条直角边的长度；再根据直角三角形的面积公式列出关于x的一元二次方程，解方程得到两条直角边的长度后，最后用勾股定理计算斜边的长度即可。
【解析】
解：设其中一条直角边的长为x cm，则另一条直角边的长为$(28-x)$ cm。
根据直角三角形面积公式可列方程：
$\frac{1}{2}x(28-x)=96$
整理得：$x^2-28x+192=0$
因式分解得：$(x-12)(x-16)=0$
解得：$x_1=12$，$x_2=16$
当$x=12$时，另一条直角边长为$28-12=16$ cm；
当$x=16$时，另一条直角边长为$28-16=12$ cm。
即两条直角边长分别为12 cm、16 cm。
根据勾股定理，斜边长为：
$\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$ cm
【答案】
两条直角边的长分别为12 cm，16 cm，斜边长为20 cm
【知识点】
一元二次方程的应用，直角三角形面积计算，勾股定理
【点评】
本题是一元二次方程结合几何图形的基础应用题，解题核心是根据几何中的等量关系建立方程，求解后注意验证结果是否符合实际几何意义。
【难度系数】
0.7
3. 一根长 64 m 的铁丝被剪成两段，分别将每段折成一个正方形.若两个正方形的面积之和等于160 m²，求这两个正方形的边长.
答案：3. 两个正方形的边长分别为4 m和12 m
解析：
【分析】
解题时首先要明确题目中的等量关系：两个正方形的面积之和为160 m²。我们可以先设其中一个正方形的边长为未知数，利用铁丝总长度为64 m的条件，通过正方形周长公式推导出另一个正方形的边长表达式，再结合面积和的等量关系列出一元二次方程，求解后检验结果是否符合实际意义（边长为正数）即可得到答案。
【解析】
解：设其中一个正方形的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则该正方形的周长为$ 4x \, \mathrm{m} $。
剩余铁丝长度为$ 64 - 4x \, \mathrm{m} $，因此另一个正方形的边长为$ \frac{64 - 4x}{4} = (16 - x) \, \mathrm{m} $。
根据两个正方形面积和为160 m²，列方程：
$x^2 + (16 - x)^2 = 160$
展开并整理方程：
$x^2 + 256 - 32x + x^2 = 160 \\2x^2 - 32x + 96 = 0 \x^2 - 16x + 48 = 0$
因式分解得：
$(x - 4)(x - 12) = 0$
解得：$ x_1 = 4 $，$ x_2 = 12 $。
当$ x = 4 $时，另一个正方形边长为$ 16 - 4 = 12 \, \mathrm{m} $；
当$ x = 12 $时，另一个正方形边长为$ 16 - 12 = 4 \, \mathrm{m} $。
两个结果均为正数，符合实际意义。
【答案】
两个正方形的边长分别为4 m和12 m
【知识点】
一元二次方程的应用；正方形周长计算；正方形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程在几何实际问题中的基础应用，解题核心是抓住铁丝总长度不变的条件，推导两个正方形边长的关系，结合面积等量关系列方程求解，注意最终结果要符合实际问题的取值要求。
【难度系数】
0.75
解题时首先要明确题目中的等量关系：两个正方形的面积之和为160 m²。我们可以先设其中一个正方形的边长为未知数，利用铁丝总长度为64 m的条件，通过正方形周长公式推导出另一个正方形的边长表达式，再结合面积和的等量关系列出一元二次方程，求解后检验结果是否符合实际意义（边长为正数）即可得到答案。
【解析】
解：设其中一个正方形的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则该正方形的周长为$ 4x \, \mathrm{m} $。
剩余铁丝长度为$ 64 - 4x \, \mathrm{m} $，因此另一个正方形的边长为$ \frac{64 - 4x}{4} = (16 - x) \, \mathrm{m} $。
根据两个正方形面积和为160 m²，列方程：
$x^2 + (16 - x)^2 = 160$
展开并整理方程：
$x^2 + 256 - 32x + x^2 = 160 \\2x^2 - 32x + 96 = 0 \x^2 - 16x + 48 = 0$
因式分解得：
$(x - 4)(x - 12) = 0$
解得：$ x_1 = 4 $，$ x_2 = 12 $。
当$ x = 4 $时，另一个正方形边长为$ 16 - 4 = 12 \, \mathrm{m} $；
当$ x = 12 $时，另一个正方形边长为$ 16 - 12 = 4 \, \mathrm{m} $。
两个结果均为正数，符合实际意义。
【答案】
两个正方形的边长分别为4 m和12 m
【知识点】
一元二次方程的应用；正方形周长计算；正方形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程在几何实际问题中的基础应用，解题核心是抓住铁丝总长度不变的条件，推导两个正方形边长的关系，结合面积等量关系列方程求解，注意最终结果要符合实际问题的取值要求。
【难度系数】
0.75
在一块矩形镜面玻璃的四周镶上边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是 2：1.已知镜面玻璃的价格是 120 元/m²，边框的价格是 30 元/m，另外，制作这面镜子还需加工费 45 元，制作这面镜子共花了 195 元.设镜子的宽是 x m，求这面镜子的长和宽.
答案：镜子长为1 m,宽为$\frac{1}{2}$ m
解析：
【分析】
解题时首先根据长与宽的比例关系用含x的式子表示出镜子的长，再分别计算镜面玻璃的费用、边框的费用，结合总花费的构成（镜面费用+边框费用+加工费=总花费）找到等量关系列一元二次方程，求解方程后结合实际意义舍去不合理的根，最后得到长和宽。
【解析】
设镜子的宽为$x$ m，因为镜子的长与宽的比是2:1，所以镜子的长为$2x$ m。
1. 计算镜面玻璃费用：镜面面积为$2x · x = 2x^2 \ \mathrm{m}^2$，费用为$120 × 2x^2 = 240x^2$ 元；
2. 计算边框费用：矩形周长为$2(2x + x) = 6x \ \mathrm{m}$，费用为$30 × 6x = 180x$ 元；
3. 根据总花费列方程：
$240x^2 + 180x + 45 = 195$
移项化简得：$8x^2 + 6x - 5 = 0$
因式分解得：$(2x - 1)(4x + 5) = 0$
解得：$x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = -\frac{5}{4}$
因为长度不能为负数，所以舍去$x_2 = -\frac{5}{4}$，即宽$x = \frac{1}{2}$ m，长$2x = 2 × \frac{1}{2} = 1$ m。
【答案】
镜子长为1 m,宽为$\frac{1}{2}$ m
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形周长与面积计算
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题属于方程与几何结合的基础应用题，解题核心是找准总花费的等量关系，结合矩形的周长、面积公式列出方程，求解后要注意根据实际情境判断根的合理性，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据长与宽的比例关系用含x的式子表示出镜子的长，再分别计算镜面玻璃的费用、边框的费用，结合总花费的构成（镜面费用+边框费用+加工费=总花费）找到等量关系列一元二次方程，求解方程后结合实际意义舍去不合理的根，最后得到长和宽。
【解析】
设镜子的宽为$x$ m，因为镜子的长与宽的比是2:1，所以镜子的长为$2x$ m。
1. 计算镜面玻璃费用：镜面面积为$2x · x = 2x^2 \ \mathrm{m}^2$，费用为$120 × 2x^2 = 240x^2$ 元；
2. 计算边框费用：矩形周长为$2(2x + x) = 6x \ \mathrm{m}$，费用为$30 × 6x = 180x$ 元；
3. 根据总花费列方程：
$240x^2 + 180x + 45 = 195$
移项化简得：$8x^2 + 6x - 5 = 0$
因式分解得：$(2x - 1)(4x + 5) = 0$
解得：$x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = -\frac{5}{4}$
因为长度不能为负数，所以舍去$x_2 = -\frac{5}{4}$，即宽$x = \frac{1}{2}$ m，长$2x = 2 × \frac{1}{2} = 1$ m。
【答案】
镜子长为1 m,宽为$\frac{1}{2}$ m
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形周长与面积计算
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题属于方程与几何结合的基础应用题，解题核心是找准总花费的等量关系，结合矩形的周长、面积公式列出方程，求解后要注意根据实际情境判断根的合理性，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7