【分析】
1. 活动一：解决该问题首先要明确反比例函数$y=\frac{4}{x}$的增减性：$k=4＞0$，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。先计算区间端点对应的函数值，再结合增减性即可确定$y$的取值范围，注意要在同一象限内判断增减性。
2. 活动三(1)：设出点$P_1$的坐标，利用点在反比例函数图象上满足函数解析式，得到横纵坐标的乘积，再结合矩形面积=长×宽（即横坐标绝对值乘纵坐标绝对值），即可求出$S_1$。
3. 活动三(2)：和(1)的方法完全相同，求出$S_2$后对比$S_1$和$S_2$的结果，即可总结出反比例函数中$k$的几何意义相关规律。
活动二为课本自学内容，此处不展开分析。
【解析】
活动一
反比例函数$y=\frac{4}{x}$中$k=4＞0$，因此在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
当$x=-2$时，$y=\frac{4}{-2}=-2$；当$x=-1$时，$y=\frac{4}{-1}=-4$。
已知自变量范围是$-2＜x＜-1$，该区间内$x$为负，属于第三象限的函数分支，结合函数的递减性，可得函数值的取值范围为$\boldsymbol{-4＜y＜-2}$。
活动三
(1) 设点$P_1$的坐标为$(x_1,y_1)$，因为$P_1$在$y=\frac{4}{x}$的图象上，因此$y_1=\frac{4}{x_1}$，即$x_1y_1=4$。
由题意，矩形$OM_1P_1Q_1$的长为$OM_1=x_1$（$P_1$在第一象限，$x_1＞0$），宽为$OQ_1=y_1$（$y_1＞0$），因此面积$S_1=OM_1· OQ_1=x_1y_1=4$。
(2) 设点$P_2$的坐标为$(x_2,y_2)$，同理，$P_2$在$y=\frac{4}{x}$的图象上，故$x_2y_2=4$。
矩形$OM_2P_2Q_2$的面积$S_2=OM_2· OQ_2=x_2y_2=4$。
规律：过反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点，分别作$x$轴、$y$轴的垂线，所得矩形的面积恒等于$\vert k\vert$，与点的位置无关。
活动二为课本自学内容，此处略。
【答案】
活动一：$y$的取值范围是$-4＜y＜-2$；
活动二：略；
活动三：(1)$S_1=4$；(2)$S_2=4$，规律为过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作$x$轴、$y$轴的垂线，所得矩形面积为$\vert k\vert$。
【知识点】
反比例函数的增减性，反比例函数$k$的几何意义
【点评】
本题围绕反比例函数的核心性质设计，需要注意判断增减性时要限定在同一个象限内，而$k$的几何意义是反比例函数中非常重要的结论，常用于解决图形面积相关的问题。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题思路可从两个方向入手：①待定系数法：先根据正方形的边长和点A所在的象限确定A点的坐标，再将坐标代入反比例函数解析式求解k；②几何意义法：利用反比例函数中|k|的几何意义（过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积等于|k|），结合正方形的面积得到|k|，再根据函数所在象限确定k的符号。两种方法都要注意k的正负，避免因忽略象限出错。
【解析】
方法一：
∵正方形ABOC的边长为2，点A位于第二象限，
∴点A的坐标为(-2, 2)。
将A(-2,2)代入反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$，得：
$2=\frac{k}{-2}$，
解得$k=-4$。
方法二：
根据反比例函数$k$的几何意义可知，过双曲线上一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$\left|k\right|$。
本题中正方形ABOC的面积为$2×2=4$，即$\left|k\right|=4$。
又
∵反比例函数图象位于第二象限，$k＜0$，
∴$k=-4$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，既可以用待定系数法直接计算，也可以利用k的几何意义快速求解，易错点是容易忽略函数所在象限，误将k的符号判断为正，解题时要结合图象位置确定k的正负。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先回忆反比例函数的性质：反比例函数图象上的点的横、纵坐标的乘积等于比例系数k。我们可以先设出A、C两点的坐标，利用点在函数图象上得到横纵坐标的乘积，再分别计算两个直角三角形的面积，最终比较两者大小即可。
【解析】
设点A的坐标为$(x_1,y_1)$，点C的坐标为$(x_2,y_2)$。
∵A、C都在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，
∴$x_1y_1=1$，$x_2y_2=1$。
对于$\mathrm{Rt}△AOB$，$OB=|x_1|$，$AB=|y_1|$，
∴$S_1=\frac{1}{2}· OB· AB=\frac{1}{2}|x_1y_1|=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
对于$\mathrm{Rt}△COD$，$CD=|x_2|$，$OD=|y_2|$，
∴$S_2=\frac{1}{2}· CD· OD=\frac{1}{2}|x_2y_2|=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
因此$S_1=S_2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，核心考查反比例函数中比例系数k的几何意义，掌握该性质后可直接判断两个三角形面积相等，无需复杂计算。
【难度系数】
0.8