3. 如图，正比例函数$y_1=k_1x(k_1＜0)$的图象与反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}(k_2＜0)$的图象交于A，B两点，点A的横坐标为－1. 当$y_1＜y_2$时，x的取值范围是
-1＜x＜0或x＞1
。答案：-1＜x＜0或x＞1
解析：
【分析】
要解决本题，首先利用正反比例函数的对称性确定两个交点的横坐标：由于正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两交点A、B也关于原点对称，已知点A横坐标为-1，即可推出点B的横坐标为1。接下来，我们以x=-1、x=0、x=1为分界点，将x的取值范围划分为四个区间，逐一判断每个区间内正比例函数图象是否在反比例函数图象下方，即可得到y₁＜y₂时x的取值范围。
【解析】
∵ 正比例函数与反比例函数的图象均关于原点中心对称，
∴ 两函数的交点A、B关于原点对称，
已知点A的横坐标为-1，因此点B的横坐标为1。
结合图象分区间判断：
1. 当x ＜ -1时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，此时y₁ ＞ y₂，不符合要求；
2. 当-1 ＜ x ＜ 0时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，此时y₁ ＜ y₂，符合要求；
3. 当0 ＜ x ＜ 1时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，此时y₁ ＞ y₂，不符合要求；
4. 当x ＞ 1时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，此时y₁ ＜ y₂，符合要求。
综上，满足y₁＜y₂的x的取值范围是-1＜x＜0或x＞1。
【答案】
-1＜x＜0或x＞1
【知识点】
反比例函数的性质；正比例函数的性质；函数值大小比较
【点评】
本题属于函数图象的基础应用类题目，解题的关键是利用正反比例函数的对称性快速得到第二个交点的横坐标，观察图象时要注意反比例函数的图象在x=0处是断开的，需要分x＜0和x＞0两种情况讨论，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先利用正反比例函数的对称性确定两个交点的横坐标：由于正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两交点A、B也关于原点对称，已知点A横坐标为-1，即可推出点B的横坐标为1。接下来，我们以x=-1、x=0、x=1为分界点，将x的取值范围划分为四个区间，逐一判断每个区间内正比例函数图象是否在反比例函数图象下方，即可得到y₁＜y₂时x的取值范围。
【解析】
∵ 正比例函数与反比例函数的图象均关于原点中心对称，
∴ 两函数的交点A、B关于原点对称，
已知点A的横坐标为-1，因此点B的横坐标为1。
结合图象分区间判断：
1. 当x ＜ -1时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，此时y₁ ＞ y₂，不符合要求；
2. 当-1 ＜ x ＜ 0时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，此时y₁ ＜ y₂，符合要求；
3. 当0 ＜ x ＜ 1时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，此时y₁ ＞ y₂，不符合要求；
4. 当x ＞ 1时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，此时y₁ ＜ y₂，符合要求。
综上，满足y₁＜y₂的x的取值范围是-1＜x＜0或x＞1。
【答案】
-1＜x＜0或x＞1
【知识点】
反比例函数的性质；正比例函数的性质；函数值大小比较
【点评】
本题属于函数图象的基础应用类题目，解题的关键是利用正反比例函数的对称性快速得到第二个交点的横坐标，观察图象时要注意反比例函数的图象在x=0处是断开的，需要分x＜0和x＞0两种情况讨论，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
4. 已知一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象相交于点A$(-1, m), B(-4, n).$
（1）求一次函数的表达式；
（2）连接OA，OB，求$△ AOB$的面积。
（1）求一次函数的表达式；
（2）连接OA，OB，求$△ AOB$的面积。
答案：(1) $y=-x-5$
(2) $S_{△AOB}=7.5$
(2) $S_{△AOB}=7.5$
解析：
【分析】
（1）要求一次函数表达式，首先需要得到A、B两点的完整坐标：因为A、B都在反比例函数图象上，将两点横坐标代入反比例函数解析式即可求出对应纵坐标，得到A、B坐标后，代入一次函数$y=kx+b$得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出参数，得到一次函数表达式。
（2）求$△ AOB$的面积时，因为三点都在坐标系中且无边与坐标轴重合，直接用底乘高计算不便，因此采用割补法：先找到一次函数与y轴的交点C，分别计算$△ BOC$和$△ AOC$的面积，两者的差就是$△ AOB$的面积，可简化计算过程。
【解析】
（1）
∵点$A(-1, m)$、$B(-4, n)$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上
∴将$x=-1$代入$y=\frac{4}{x}$，得$m=\frac{4}{-1}=-4$，即$A(-1, -4)$
将$x=-4$代入$y=\frac{4}{x}$，得$n=\frac{4}{-4}=-1$，即$B(-4, -1)$
将$A(-1,-4)$、$B(-4,-1)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}-k + b = -4 \\ -4k + b = -1\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$3k=-3$，解得$k=-1$
将$k=-1$代入$-k + b = -4$，得$1 + b = -4$，解得$b=-5$
∴一次函数的表达式为$y=-x-5$
（2）设一次函数$y=-x-5$与y轴交于点C，令$x=0$，得$y=-5$，即$C(0,-5)$，则$OC=5$
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × OC × |x_B|=\frac{1}{2} × 5 × 4=10$
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × OC × |x_A|=\frac{1}{2} × 5 × 1=2.5$
∵点A在点B和点C之间
∴$S_{△ AOB}=S_{△ BOC}-S_{△ AOC}=10 - 2.5=7.5$
【答案】
(1) $y=-x-5$
(2) $S_{△ AOB}=7.5$
【知识点】
1. 反比例函数点的坐标特征
2. 待定系数法求一次函数解析式
3. 坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的基础综合题，第一问是待定系数法的常规应用，第二问的核心是利用割补法将不规则三角形面积转化为两个易求的三角形面积的差，解题时要熟练掌握函数图象上点的坐标性质，灵活选用面积计算方法。
【难度系数】
0.7
（1）要求一次函数表达式，首先需要得到A、B两点的完整坐标：因为A、B都在反比例函数图象上，将两点横坐标代入反比例函数解析式即可求出对应纵坐标，得到A、B坐标后，代入一次函数$y=kx+b$得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出参数，得到一次函数表达式。
（2）求$△ AOB$的面积时，因为三点都在坐标系中且无边与坐标轴重合，直接用底乘高计算不便，因此采用割补法：先找到一次函数与y轴的交点C，分别计算$△ BOC$和$△ AOC$的面积，两者的差就是$△ AOB$的面积，可简化计算过程。
【解析】
（1）
∵点$A(-1, m)$、$B(-4, n)$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上
∴将$x=-1$代入$y=\frac{4}{x}$，得$m=\frac{4}{-1}=-4$，即$A(-1, -4)$
将$x=-4$代入$y=\frac{4}{x}$，得$n=\frac{4}{-4}=-1$，即$B(-4, -1)$
将$A(-1,-4)$、$B(-4,-1)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}-k + b = -4 \\ -4k + b = -1\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$3k=-3$，解得$k=-1$
将$k=-1$代入$-k + b = -4$，得$1 + b = -4$，解得$b=-5$
∴一次函数的表达式为$y=-x-5$
（2）设一次函数$y=-x-5$与y轴交于点C，令$x=0$，得$y=-5$，即$C(0,-5)$，则$OC=5$
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × OC × |x_B|=\frac{1}{2} × 5 × 4=10$
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × OC × |x_A|=\frac{1}{2} × 5 × 1=2.5$
∵点A在点B和点C之间
∴$S_{△ AOB}=S_{△ BOC}-S_{△ AOC}=10 - 2.5=7.5$
【答案】
(1) $y=-x-5$
(2) $S_{△ AOB}=7.5$
【知识点】
1. 反比例函数点的坐标特征
2. 待定系数法求一次函数解析式
3. 坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的基础综合题，第一问是待定系数法的常规应用，第二问的核心是利用割补法将不规则三角形面积转化为两个易求的三角形面积的差，解题时要熟练掌握函数图象上点的坐标性质，灵活选用面积计算方法。
【难度系数】
0.7
1. 如图，函数 $ y_1 = x - 1 $ 的图象和函数 $ y_2 = \frac{2}{x} $ 的图象相交于点 $ M(2, m) $，$ N(-1, n) $，已知 $ y_1 ＞ y_2 $，则 $ x $ 的取值范围是 （
A.$ x ＜ -1 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 2 $
B.$ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 2 $
C.$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 2 $
D.$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 2 $
D
）A.$ x ＜ -1 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 2 $
B.$ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 2 $
C.$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 2 $
D.$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 2 $
答案：1. D
解析：
【分析】
要确定$y_1＞y_2$时$x$的取值范围，本质是找一次函数图象位于反比例函数图象上方对应的$x$的取值。首先明确两个函数的交点坐标，再结合反比例函数$x≠0$的特性，把$x$的取值范围分成几个区间，逐个判断每个区间内两个函数的大小关系即可。
【解析】
两个函数的交点为$M(2,m)$、$N(-1,n)$，且反比例函数$y_2=\frac{2}{x}$的自变量$x$不能为0，因此分四个区间讨论：
1. 当$x＜-1$时：取$x=-2$代入，$y_1=-2-1=-3$，$y_2=\frac{2}{-2}=-1$，此时$y_1＜y_2$，不符合要求；
2. 当$-1＜x＜0$时：取$x=-0.5$代入，$y_1=-0.5-1=-1.5$，$y_2=\frac{2}{-0.5}=-4$，此时$y_1＞y_2$，符合要求；
3. 当$0＜x＜2$时：取$x=1$代入，$y_1=1-1=0$，$y_2=\frac{2}{1}=2$，此时$y_1＜y_2$，不符合要求；
4. 当$x＞2$时：取$x=3$代入，$y_1=3-1=2$，$y_2=\frac{2}{3}$，此时$y_1＞y_2$，符合要求。
综上，$y_1＞y_2$时$x$的取值范围是$-1＜x＜0$或$x＞2$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，函数值大小比较
【点评】
本题考查利用函数图象判断函数值大小，解题关键是结合交点和反比例函数的间断点分区间讨论，也可直接通过图象上下位置直观判断，属于数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
要确定$y_1＞y_2$时$x$的取值范围，本质是找一次函数图象位于反比例函数图象上方对应的$x$的取值。首先明确两个函数的交点坐标，再结合反比例函数$x≠0$的特性，把$x$的取值范围分成几个区间，逐个判断每个区间内两个函数的大小关系即可。
【解析】
两个函数的交点为$M(2,m)$、$N(-1,n)$，且反比例函数$y_2=\frac{2}{x}$的自变量$x$不能为0，因此分四个区间讨论：
1. 当$x＜-1$时：取$x=-2$代入，$y_1=-2-1=-3$，$y_2=\frac{2}{-2}=-1$，此时$y_1＜y_2$，不符合要求；
2. 当$-1＜x＜0$时：取$x=-0.5$代入，$y_1=-0.5-1=-1.5$，$y_2=\frac{2}{-0.5}=-4$，此时$y_1＞y_2$，符合要求；
3. 当$0＜x＜2$时：取$x=1$代入，$y_1=1-1=0$，$y_2=\frac{2}{1}=2$，此时$y_1＜y_2$，不符合要求；
4. 当$x＞2$时：取$x=3$代入，$y_1=3-1=2$，$y_2=\frac{2}{3}$，此时$y_1＞y_2$，符合要求。
综上，$y_1＞y_2$时$x$的取值范围是$-1＜x＜0$或$x＞2$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，函数值大小比较
【点评】
本题考查利用函数图象判断函数值大小，解题关键是结合交点和反比例函数的间断点分区间讨论，也可直接通过图象上下位置直观判断，属于数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
2. 如图,过点$(2,0)$且与$y$轴平行的直线与反比例函数$y=\frac{2}{x}$和$y=-\frac{1}{x}$的图象分别交于$A,B$两点.若$P$是$y$轴上任意一点,求$△ PAB$的面积.
答案：2. $\frac{3}{2}$
解析：
【分析】
首先确定过点$(2,0)$且平行于$y$轴的直线解析式为$x=2$，将$x=2$分别代入两个反比例函数解析式，即可求出A、B两点的坐标，进而得到AB的长度作为三角形的底；由于P在$y$轴上，直线$x=2$与$y$轴的距离是固定值2，该距离即为$△ PAB$中AB边上的高，不受P点位置影响，最后代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
解：
∵ 过点$(2,0)$且与$y$轴平行的直线上所有点的横坐标均为2，
∴ 直线AB的解析式为$x=2$。
将$x=2$代入$y=\frac{2}{x}$，得$y=\frac{2}{2}=1$，即$A(2,1)$；
将$x=2$代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y=-\frac{1}{2}$，即$B(2,-\frac{1}{2})$。
∵ A、B横坐标相同，
∴ $AB$的长度为$|1 - (-\frac{1}{2})|=\frac{3}{2}$。
∵ 直线$x=2$到$y$轴的距离为$2-0=2$，P是$y$轴上任意一点，
∴ 点P到直线AB的距离恒为2，即$△ PAB$中AB边上的高为2。
根据三角形面积公式：
$S_{△ PAB}=\frac{1}{2} × AB × \mathrm{高} = \frac{1}{2} × \frac{3}{2} × 2 = \frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数的坐标求解，平行线间的距离，三角形面积计算
【点评】
本题的核心是排除动点P的干扰，认识到AB边上的高是固定的平行线间距，不需要确定P的具体坐标即可计算面积，重点考查对反比例函数图象上点的坐标特征的理解和应用。
【难度系数】
0.7
首先确定过点$(2,0)$且平行于$y$轴的直线解析式为$x=2$，将$x=2$分别代入两个反比例函数解析式，即可求出A、B两点的坐标，进而得到AB的长度作为三角形的底；由于P在$y$轴上，直线$x=2$与$y$轴的距离是固定值2，该距离即为$△ PAB$中AB边上的高，不受P点位置影响，最后代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
解：
∵ 过点$(2,0)$且与$y$轴平行的直线上所有点的横坐标均为2，
∴ 直线AB的解析式为$x=2$。
将$x=2$代入$y=\frac{2}{x}$，得$y=\frac{2}{2}=1$，即$A(2,1)$；
将$x=2$代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y=-\frac{1}{2}$，即$B(2,-\frac{1}{2})$。
∵ A、B横坐标相同，
∴ $AB$的长度为$|1 - (-\frac{1}{2})|=\frac{3}{2}$。
∵ 直线$x=2$到$y$轴的距离为$2-0=2$，P是$y$轴上任意一点，
∴ 点P到直线AB的距离恒为2，即$△ PAB$中AB边上的高为2。
根据三角形面积公式：
$S_{△ PAB}=\frac{1}{2} × AB × \mathrm{高} = \frac{1}{2} × \frac{3}{2} × 2 = \frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数的坐标求解，平行线间的距离，三角形面积计算
【点评】
本题的核心是排除动点P的干扰，认识到AB边上的高是固定的平行线间距，不需要确定P的具体坐标即可计算面积，重点考查对反比例函数图象上点的坐标特征的理解和应用。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,点A,C分别在y轴、x轴上,点B的坐标为(4,2),一次函数$y=-\frac{1}{2}x+3$的图象分别交AB,BC于点M,N,反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点M,N.
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 若点P在y轴上,且$△ OPM$的面积与四边形BMON的面积相等,求点P的坐标.
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 若点P在y轴上,且$△ OPM$的面积与四边形BMON的面积相等,求点P的坐标.
答案：(1) $y=\frac{4}{x}$
(2) 求得$S_{四边形BMON}=4$,$\frac{1}{2}OP·MA=4$,$\therefore OP=4$.点P的坐标为$(0,4)$或$(0,-4)$
(2) 求得$S_{四边形BMON}=4$,$\frac{1}{2}OP·MA=4$,$\therefore OP=4$.点P的坐标为$(0,4)$或$(0,-4)$
解析：
【分析】
(1) 求反比例函数表达式需要先确定其图象上一个点的坐标。由矩形OABC的顶点B坐标可知AB边的纵坐标恒为2，将y=2代入一次函数解析式即可求出点M的坐标，再代入反比例函数就能求出k值，得到反比例函数表达式。
(2) 求四边形BMON的面积可通过矩形面积减去△OAM和△OCN的面积得到；再根据△OPM的面积与四边形面积相等的条件，结合点P在y轴上的特征，利用三角形面积公式求出OP的长度，注意P可在y轴正、负半轴，因此有两个解。
【解析】
(1)
∵四边形OABC是矩形，点B坐标为$(4,2)$，
∴AB边平行于x轴，点M在AB上，纵坐标为2。
将$y=2$代入一次函数$y=-\frac{1}{2}x+3$，得：
$2=-\frac{1}{2}x+3$，解得$x=2$，即$M(2,2)$。
将$M(2,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=2×2=4$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
(2) 计算四边形BMON的面积：
矩形OABC的面积$S_{矩形OABC}=4×2=8$，
$S_{△ OAM}=\frac{1}{2}× OA× AM=\frac{1}{2}×2×2=2$，
点N在BC上，BC横坐标为4，将$x=4$代入一次函数得$y=-\frac{1}{2}×4+3=1$，即$N(4,1)$，
$S_{△ OCN}=\frac{1}{2}× OC× CN=\frac{1}{2}×4×1=2$，
∴$S_{四边形BMON}=S_{矩形OABC}-S_{△ OAM}-S_{△ OCN}=8-2-2=4$。
设点P坐标为$(0,p)$，则$OP=|p|$，
$△ OPM$以OP为底时，高为点M到y轴的距离2，
∴$S_{△ OPM}=\frac{1}{2}×|p|×2=|p|$，
由题意得$|p|=4$，解得$p=4$或$p=-4$，
∴点P的坐标为$(0,4)$或$(0,-4)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$
(2) $\boldsymbol{(0,4)}$或$\boldsymbol{(0,-4)}$
【知识点】
反比例函数解析式求解，坐标与图形性质，图形面积计算
【点评】
本题综合考查了一次函数与反比例函数的交点问题、矩形的性质以及图形面积的计算，解题关键是先求出函数交点坐标，再结合面积公式列式求解，要注意坐标轴上的点需考虑正负半轴两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求反比例函数表达式需要先确定其图象上一个点的坐标。由矩形OABC的顶点B坐标可知AB边的纵坐标恒为2，将y=2代入一次函数解析式即可求出点M的坐标，再代入反比例函数就能求出k值，得到反比例函数表达式。
(2) 求四边形BMON的面积可通过矩形面积减去△OAM和△OCN的面积得到；再根据△OPM的面积与四边形面积相等的条件，结合点P在y轴上的特征，利用三角形面积公式求出OP的长度，注意P可在y轴正、负半轴，因此有两个解。
【解析】
(1)
∵四边形OABC是矩形，点B坐标为$(4,2)$，
∴AB边平行于x轴，点M在AB上，纵坐标为2。
将$y=2$代入一次函数$y=-\frac{1}{2}x+3$，得：
$2=-\frac{1}{2}x+3$，解得$x=2$，即$M(2,2)$。
将$M(2,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=2×2=4$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
(2) 计算四边形BMON的面积：
矩形OABC的面积$S_{矩形OABC}=4×2=8$，
$S_{△ OAM}=\frac{1}{2}× OA× AM=\frac{1}{2}×2×2=2$，
点N在BC上，BC横坐标为4，将$x=4$代入一次函数得$y=-\frac{1}{2}×4+3=1$，即$N(4,1)$，
$S_{△ OCN}=\frac{1}{2}× OC× CN=\frac{1}{2}×4×1=2$，
∴$S_{四边形BMON}=S_{矩形OABC}-S_{△ OAM}-S_{△ OCN}=8-2-2=4$。
设点P坐标为$(0,p)$，则$OP=|p|$，
$△ OPM$以OP为底时，高为点M到y轴的距离2，
∴$S_{△ OPM}=\frac{1}{2}×|p|×2=|p|$，
由题意得$|p|=4$，解得$p=4$或$p=-4$，
∴点P的坐标为$(0,4)$或$(0,-4)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$
(2) $\boldsymbol{(0,4)}$或$\boldsymbol{(0,-4)}$
【知识点】
反比例函数解析式求解，坐标与图形性质，图形面积计算
【点评】
本题综合考查了一次函数与反比例函数的交点问题、矩形的性质以及图形面积的计算，解题关键是先求出函数交点坐标，再结合面积公式列式求解，要注意坐标轴上的点需考虑正负半轴两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6