1. 用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似满足反比例函数关系.小红、小敏用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水(约10 L)，小敏每次用半盆水(约5 L)，如果她们都用了5 g洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5 g，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2 g.
(1) 分别求出小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量y关于漂洗次数x的函数表达式；
(2) 当洗衣粉的残留量降至0.5 g时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？
(1) 分别求出小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量y关于漂洗次数x的函数表达式；
(2) 当洗衣粉的残留量降至0.5 g时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？
答案：(1) 小红:$y=\dfrac{3}{2x}$;小敏:$y=\dfrac{2}{x}$
(2) 小红共用30 L水,小敏共用20 L水,所以小敏的方法更值得提倡
(2) 小红共用30 L水,小敏共用20 L水,所以小敏的方法更值得提倡
解析：
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：
(1) 题目明确说明漂洗次数与洗衣粉残留量满足反比例函数关系，因此可设反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$，$x$为正整数），利用待定系数法，将两人第一次漂洗（即$x=1$）时的残留量代入，分别求出对应的$k$值，即可得到两人的函数表达式。
(2) 要求漂洗干净时谁的方法更节水，只需将残留量$y=0.5\ \mathrm{g}$分别代入两个函数表达式，求出各自需要的漂洗次数$x$，再乘以单次漂洗用水量得到总用水量，比较总用水量大小，用水量少的方法更值得提倡。
【解析】
(1) 设小红衣服中洗衣粉残留量$y$与漂洗次数$x$的函数表达式为$y=\frac{k_1}{x}$（$k_1≠0$，$x$为正整数），小敏的函数表达式为$y=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$，$x$为正整数）。
将$x=1$，$y=1.5$代入小红的函数式，得：
$1.5=\frac{k_1}{1}$，解得$k_1=1.5=\frac{3}{2}$，因此小红的函数表达式为$y=\frac{3}{2x}$（$x$为正整数）。
将$x=1$，$y=2$代入小敏的函数式，得：
$2=\frac{k_2}{1}$，解得$k_2=2$，因此小敏的函数表达式为$y=\frac{2}{x}$（$x$为正整数）。
(2) 当$y=0.5$时：
① 代入小红的函数式：$0.5=\frac{3}{2x}$，
解得$x=\frac{3}{2×0.5}=3$，
小红总用水量为$3×10=30\ (\mathrm{L})$。
② 代入小敏的函数式：$0.5=\frac{2}{x}$，
解得$x=\frac{2}{0.5}=4$，
小敏总用水量为$4×5=20\ (\mathrm{L})$。
因为$20＜30$，所以小敏的漂洗方法用水量更少，更值得提倡。
【答案】
(1) 小红:$y=\dfrac{3}{2x}$（$x$为正整数）;小敏:$y=\dfrac{2}{x}$（$x$为正整数）
(2) 小红共用30 L水,小敏共用20 L水,所以小敏的方法更值得提倡
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的洗衣漂洗场景出题，贴近生活实际，核心考查反比例函数的基础应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，同时要注意自变量漂洗次数为正整数，符合实际意义，能够帮助学生体会数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.7
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：
(1) 题目明确说明漂洗次数与洗衣粉残留量满足反比例函数关系，因此可设反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$，$x$为正整数），利用待定系数法，将两人第一次漂洗（即$x=1$）时的残留量代入，分别求出对应的$k$值，即可得到两人的函数表达式。
(2) 要求漂洗干净时谁的方法更节水，只需将残留量$y=0.5\ \mathrm{g}$分别代入两个函数表达式，求出各自需要的漂洗次数$x$，再乘以单次漂洗用水量得到总用水量，比较总用水量大小，用水量少的方法更值得提倡。
【解析】
(1) 设小红衣服中洗衣粉残留量$y$与漂洗次数$x$的函数表达式为$y=\frac{k_1}{x}$（$k_1≠0$，$x$为正整数），小敏的函数表达式为$y=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$，$x$为正整数）。
将$x=1$，$y=1.5$代入小红的函数式，得：
$1.5=\frac{k_1}{1}$，解得$k_1=1.5=\frac{3}{2}$，因此小红的函数表达式为$y=\frac{3}{2x}$（$x$为正整数）。
将$x=1$，$y=2$代入小敏的函数式，得：
$2=\frac{k_2}{1}$，解得$k_2=2$，因此小敏的函数表达式为$y=\frac{2}{x}$（$x$为正整数）。
(2) 当$y=0.5$时：
① 代入小红的函数式：$0.5=\frac{3}{2x}$，
解得$x=\frac{3}{2×0.5}=3$，
小红总用水量为$3×10=30\ (\mathrm{L})$。
② 代入小敏的函数式：$0.5=\frac{2}{x}$，
解得$x=\frac{2}{0.5}=4$，
小敏总用水量为$4×5=20\ (\mathrm{L})$。
因为$20＜30$，所以小敏的漂洗方法用水量更少，更值得提倡。
【答案】
(1) 小红:$y=\dfrac{3}{2x}$（$x$为正整数）;小敏:$y=\dfrac{2}{x}$（$x$为正整数）
(2) 小红共用30 L水,小敏共用20 L水,所以小敏的方法更值得提倡
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的洗衣漂洗场景出题，贴近生活实际，核心考查反比例函数的基础应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，同时要注意自变量漂洗次数为正整数，符合实际意义，能够帮助学生体会数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.7
2. 我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系，现有某学生利用一个最大电阻为72 Ω的滑动变阻器及一个电流表测电源电压，结果如图2-3所示，当电阻R为12 Ω时，电流I为12 A.
（1）求电流I关于电阻R的函数表达式；
（2）若4≤R≤16，求电流I的变化范围.
图2-3
（1）求电流I关于电阻R的函数表达式；
（2）若4≤R≤16，求电流I的变化范围.
图2-3
答案：(1) $I=\dfrac{144}{R}$
(2) $9≤ I≤ 36$
(2) $9≤ I≤ 36$
解析：
【分析】
（1）由题意可知电压一定时电流I与电阻R成反比例关系，因此可设反比例函数的一般形式为$I=\frac{k}{R}(k≠0,R＞0)$，将已知的$R=12\Omega$、$I=12A$代入解析式，即可求出常数$k$的值，进而得到I关于R的函数表达式；
（2）由得到的反比例函数可知$k=144＞0$，在$R＞0$的范围内I随R的增大而减小，因此只需将R的取值范围的两个端点值代入函数表达式，即可得到对应I的极值，从而确定I的变化范围。
【解析】
（1）
∵电压一定时，电流I与电阻R成反比例函数关系，
∴设$I=\frac{k}{R}(k≠0,R＞0)$，
将$R=12$，$I=12$代入解析式得：$12=\frac{k}{12}$，
解得$k=12×12=144$，
∴电流I关于电阻R的函数表达式为$I=\frac{144}{R}$。
（2）在函数$I=\frac{144}{R}$中，$k=144＞0$，
∴当$R＞0$时，I随R的增大而减小，
当$R=4$时，$I=\frac{144}{4}=36$，
当$R=16$时，$I=\frac{144}{16}=9$，
∴当$4≤ R≤16$时，电流I的变化范围为$9≤ I≤36$。
【答案】
(1) $I=\dfrac{144}{R}$
(2) $9≤ I≤ 36$
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求解析式；反比例函数的增减性
【点评】
本题结合物理电学知识考查反比例函数的实际应用，解题关键是先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再结合反比例函数的增减性求解函数值的取值范围，属于基础的跨学科应用题型。
【难度系数】
0.8
（1）由题意可知电压一定时电流I与电阻R成反比例关系，因此可设反比例函数的一般形式为$I=\frac{k}{R}(k≠0,R＞0)$，将已知的$R=12\Omega$、$I=12A$代入解析式，即可求出常数$k$的值，进而得到I关于R的函数表达式；
（2）由得到的反比例函数可知$k=144＞0$，在$R＞0$的范围内I随R的增大而减小，因此只需将R的取值范围的两个端点值代入函数表达式，即可得到对应I的极值，从而确定I的变化范围。
【解析】
（1）
∵电压一定时，电流I与电阻R成反比例函数关系，
∴设$I=\frac{k}{R}(k≠0,R＞0)$，
将$R=12$，$I=12$代入解析式得：$12=\frac{k}{12}$，
解得$k=12×12=144$，
∴电流I关于电阻R的函数表达式为$I=\frac{144}{R}$。
（2）在函数$I=\frac{144}{R}$中，$k=144＞0$，
∴当$R＞0$时，I随R的增大而减小，
当$R=4$时，$I=\frac{144}{4}=36$，
当$R=16$时，$I=\frac{144}{16}=9$，
∴当$4≤ R≤16$时，电流I的变化范围为$9≤ I≤36$。
【答案】
(1) $I=\dfrac{144}{R}$
(2) $9≤ I≤ 36$
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求解析式；反比例函数的增减性
【点评】
本题结合物理电学知识考查反比例函数的实际应用，解题关键是先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再结合反比例函数的增减性求解函数值的取值范围，属于基础的跨学科应用题型。
【难度系数】
0.8
1. 某厂现有 300 t 煤,这些煤能烧的天数 y 天与平均每天烧的质量 x t 之间的函数关系是 （
A.$y=\dfrac{300}{x}(x＞0)$
B.$y=\dfrac{300}{x}(x≥ 0)$
C.$y=300x(x≥ 0)$
D.$y=300x(x＞0)$
A
）A.$y=\dfrac{300}{x}(x＞0)$
B.$y=\dfrac{300}{x}(x≥ 0)$
C.$y=300x(x≥ 0)$
D.$y=300x(x＞0)$
答案：A
解析：
【分析】
解题时首先明确题中的等量关系：煤的总质量=平均每天烧的质量×可烧的天数，据此推导y与x的函数表达式；再结合实际意义确定自变量x的取值范围，最后匹配正确选项即可。需要注意实际问题中自变量不能违背生活常识，平均每天烧煤的质量不能为0或负数。
【解析】
根据题意可得等量关系：$x × y = 300$，
变形可得函数表达式：$y = \frac{300}{x}$。
结合实际意义，平均每天烧煤的质量x必须为正数，即$x＞0$，
因此函数关系为$y=\frac{300}{x}(x＞0)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数应用，自变量取值范围确定
【点评】
本题考查反比例函数在实际场景中的简单应用，解题的易错点是容易忽略实际意义，误将x的取值范围写为$x≥0$，需注意结合实际情况判断自变量的取值合理性。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确题中的等量关系：煤的总质量=平均每天烧的质量×可烧的天数，据此推导y与x的函数表达式；再结合实际意义确定自变量x的取值范围，最后匹配正确选项即可。需要注意实际问题中自变量不能违背生活常识，平均每天烧煤的质量不能为0或负数。
【解析】
根据题意可得等量关系：$x × y = 300$，
变形可得函数表达式：$y = \frac{300}{x}$。
结合实际意义，平均每天烧煤的质量x必须为正数，即$x＞0$，
因此函数关系为$y=\frac{300}{x}(x＞0)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数应用，自变量取值范围确定
【点评】
本题考查反比例函数在实际场景中的简单应用，解题的易错点是容易忽略实际意义，误将x的取值范围写为$x≥0$，需注意结合实际情况判断自变量的取值合理性。
【难度系数】
0.85