(1)当x取
±√7
时,代数式$x^2 -5$的值是2;若$x^2 - \sqrt{81}=0$,则x=±3
.答案：±√7，±3
解析：
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：①第一空：根据代数式的值为2，可列出关于x的一元二次方程，移项后得到x²等于正数的形式，用直接开平方法求解即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解；②第二空：先计算出√81的结果，再将方程整理为x²等于正数的形式，同样用直接开平方法求解。
【解析】
(1) 根据题意列方程：$x^2 - 5 = 2$
移项得：$x^2 = 2 + 5 = 7$
根据平方根的定义，对等式两边开平方得：$x = \pm\sqrt{7}$
(2) 先化简$\sqrt{81}=9$，原方程可写为：$x^2 - 9 = 0$
移项得：$x^2 = 9$
对等式两边开平方得：$x = \pm3$
【答案】
$\pm\sqrt{7}$，$\pm3$
【知识点】
直接开平方法解方程，平方根的性质，算术平方根计算
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题时需注意正数有两个互为相反数的平方根，避免出现只写正根的漏解错误。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路如下：①第一空：根据代数式的值为2，可列出关于x的一元二次方程，移项后得到x²等于正数的形式，用直接开平方法求解即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解；②第二空：先计算出√81的结果，再将方程整理为x²等于正数的形式，同样用直接开平方法求解。
【解析】
(1) 根据题意列方程：$x^2 - 5 = 2$
移项得：$x^2 = 2 + 5 = 7$
根据平方根的定义，对等式两边开平方得：$x = \pm\sqrt{7}$
(2) 先化简$\sqrt{81}=9$，原方程可写为：$x^2 - 9 = 0$
移项得：$x^2 = 9$
对等式两边开平方得：$x = \pm3$
【答案】
$\pm\sqrt{7}$，$\pm3$
【知识点】
直接开平方法解方程，平方根的性质，算术平方根计算
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题时需注意正数有两个互为相反数的平方根，避免出现只写正根的漏解错误。
【难度系数】
0.8
(2) 根据平方根的意义解关于$x$的方程$(x+h)^2 = k$，$k$必须满足
$k≥0$
。答案：$k≥0$
解析：
【分析】
解题时首先回忆平方根的核心性质：只有非负数才有平方根，负数不存在平方根。本题中方程左边是$(x+h)^2$，属于实数的平方，根据平方的特征，实数的平方一定是非负的，因此要让方程有实数解，等号右侧的$k$作为被开方数，必须符合平方根的定义要求，据此即可推出$k$的取值范围。
【解析】
根据平方根的意义，负数没有平方根，仅非负数存在平方根。
因为$x$是实数，所以$x+h$也是实数，可得$(x+h)^2≥0$，
要使方程$(x+h)^2 = k$有实数解，等式右侧的$k$必须和左侧的取值范围一致，即$k≥0$。
【答案】
$k≥0$
【知识点】
1. 平方根的意义
2. 平方的非负性
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，重点考查平方根的性质，熟记平方数的非负性是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平方根的核心性质：只有非负数才有平方根，负数不存在平方根。本题中方程左边是$(x+h)^2$，属于实数的平方，根据平方的特征，实数的平方一定是非负的，因此要让方程有实数解，等号右侧的$k$作为被开方数，必须符合平方根的定义要求，据此即可推出$k$的取值范围。
【解析】
根据平方根的意义，负数没有平方根，仅非负数存在平方根。
因为$x$是实数，所以$x+h$也是实数，可得$(x+h)^2≥0$，
要使方程$(x+h)^2 = k$有实数解，等式右侧的$k$必须和左侧的取值范围一致，即$k≥0$。
【答案】
$k≥0$
【知识点】
1. 平方根的意义
2. 平方的非负性
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，重点考查平方根的性质，熟记平方数的非负性是解题的关键。
【难度系数】
0.9
3. 解下列方程：
(1) $2x^2=18$；
(2) $(2x-1)^2=18$；
(3) $\frac{2}{3}y^2 - \frac{1}{9}=0$；
(4) $2(6-t)^2 -128=0$。
(1) $2x^2=18$；
(2) $(2x-1)^2=18$；
(3) $\frac{2}{3}y^2 - \frac{1}{9}=0$；
(4) $2(6-t)^2 -128=0$。
答案：(1) $x_1=3,x_2=-3$
(2) $x_1=\frac{3\sqrt{2}+1}{2},x_2=\frac{-3\sqrt{2}+1}{2}$
(3) $y_1=\frac{\sqrt{6}}{6},y_2=-\frac{\sqrt{6}}{6}$
(4) $t_1=14,t_2=-2$
(2) $x_1=\frac{3\sqrt{2}+1}{2},x_2=\frac{-3\sqrt{2}+1}{2}$
(3) $y_1=\frac{\sqrt{6}}{6},y_2=-\frac{\sqrt{6}}{6}$
(4) $t_1=14,t_2=-2$
解析：
【分析】
这4个一元二次方程都符合“含未知数的代数式的平方等于非负数”的结构特征，适合用直接开平方法求解。解题思路为：先通过移项、系数化为1，将方程变形为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，再对等式两边开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程得到原方程的根，注意开平方后结果有正负两个，不要漏解。
【解析】
(1) 解：$2x^2=18$
系数化为1，得 $x^2=9$
两边开平方，得 $x=\pm3$
$\therefore x_1=3, x_2=-3$
(2) 解：$(2x-1)^2=18$
两边开平方，得 $2x-1=\pm3\sqrt{2}$
移项，得 $2x=1\pm3\sqrt{2}$
系数化为1，得 $x=\frac{1\pm3\sqrt{2}}{2}$
$\therefore x_1=\frac{3\sqrt{2}+1}{2}, x_2=\frac{-3\sqrt{2}+1}{2}$
(3) 解：$\frac{2}{3}y^2 - \frac{1}{9}=0$
移项，得 $\frac{2}{3}y^2=\frac{1}{9}$
系数化为1，两边同乘$\frac{3}{2}$，得 $y^2=\frac{1}{6}$
两边开平方，得 $y=\pm\frac{\sqrt{6}}{6}$
$\therefore y_1=\frac{\sqrt{6}}{6}, y_2=-\frac{\sqrt{6}}{6}$
(4) 解：$2(6-t)^2 -128=0$
移项，得 $2(6-t)^2=128$
系数化为1，得 $(6-t)^2=64$
两边开平方，得 $6-t=\pm8$
当$6-t=8$时，$t=-2$；当$6-t=-8$时，$t=14$
$\therefore t_1=14, t_2=-2$
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=-3$
(2) $x_1=\frac{3\sqrt{2}+1}{2},x_2=\frac{-3\sqrt{2}+1}{2}$
(3) $y_1=\frac{\sqrt{6}}{6},y_2=-\frac{\sqrt{6}}{6}$
(4) $t_1=14,t_2=-2$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根运算
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心是掌握直接开平方法的适用条件和解题步骤，计算时要注意开平方后有两个互为相反数的根，避免漏解，同时要注意根式化简的规范性。
【难度系数】
0.8
这4个一元二次方程都符合“含未知数的代数式的平方等于非负数”的结构特征，适合用直接开平方法求解。解题思路为：先通过移项、系数化为1，将方程变形为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，再对等式两边开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程得到原方程的根，注意开平方后结果有正负两个，不要漏解。
【解析】
(1) 解：$2x^2=18$
系数化为1，得 $x^2=9$
两边开平方，得 $x=\pm3$
$\therefore x_1=3, x_2=-3$
(2) 解：$(2x-1)^2=18$
两边开平方，得 $2x-1=\pm3\sqrt{2}$
移项，得 $2x=1\pm3\sqrt{2}$
系数化为1，得 $x=\frac{1\pm3\sqrt{2}}{2}$
$\therefore x_1=\frac{3\sqrt{2}+1}{2}, x_2=\frac{-3\sqrt{2}+1}{2}$
(3) 解：$\frac{2}{3}y^2 - \frac{1}{9}=0$
移项，得 $\frac{2}{3}y^2=\frac{1}{9}$
系数化为1，两边同乘$\frac{3}{2}$，得 $y^2=\frac{1}{6}$
两边开平方，得 $y=\pm\frac{\sqrt{6}}{6}$
$\therefore y_1=\frac{\sqrt{6}}{6}, y_2=-\frac{\sqrt{6}}{6}$
(4) 解：$2(6-t)^2 -128=0$
移项，得 $2(6-t)^2=128$
系数化为1，得 $(6-t)^2=64$
两边开平方，得 $6-t=\pm8$
当$6-t=8$时，$t=-2$；当$6-t=-8$时，$t=14$
$\therefore t_1=14, t_2=-2$
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=-3$
(2) $x_1=\frac{3\sqrt{2}+1}{2},x_2=\frac{-3\sqrt{2}+1}{2}$
(3) $y_1=\frac{\sqrt{6}}{6},y_2=-\frac{\sqrt{6}}{6}$
(4) $t_1=14,t_2=-2$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根运算
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心是掌握直接开平方法的适用条件和解题步骤，计算时要注意开平方后有两个互为相反数的根，避免漏解，同时要注意根式化简的规范性。
【难度系数】
0.8
1. 下列关于方程$x^2=-2$的说法中，正确的是（
A.由于$x^2≥0$，故$x^2$不可能等于$-2$，因此这不是一个方程
B.$x^2=-2$是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程
C.$x^2=-2$是一个一元二次方程，但无实数解
D.$x^2=-2$是一个一元二次方程，解是$x=\pm\sqrt{2}$
C
）A.由于$x^2≥0$，故$x^2$不可能等于$-2$，因此这不是一个方程
B.$x^2=-2$是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程
C.$x^2=-2$是一个一元二次方程，但无实数解
D.$x^2=-2$是一个一元二次方程，解是$x=\pm\sqrt{2}$
答案：C
解析：
【分析】
解题时首先要明确三个核心要点：①方程的定义：含有未知数的等式就是方程；②一元二次方程的判定标准：只含1个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程，三个条件同时满足即可，和是否有一次项、常数项无关；③实数范围内平方的性质：任意实数的平方都是非负数，即$x^2≥0$。接下来逐个分析选项，排除不符合上述要点的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：$x^2=-2$是含有未知数$x$的等式，满足方程的定义，属于方程，故A错误；
2. 分析选项B：该方程只含有1个未知数$x$，未知数的最高次数是2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，属于一元二次方程，是否含有一次项不影响一元二次方程的判定，故B错误；
3. 分析选项C：由实数平方的非负性可知，任意实数的平方都≥0，不可能等于-2，因此这个一元二次方程没有实数解，故C正确；
4. 分析选项D：$(±\sqrt{2})^2=2≠-2$，所以$x=±\sqrt{2}$不是该方程的解，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
方程的定义、一元二次方程的判定、实数平方的非负性
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对相关定义的准确理解，解题时要注意不要被“方程无实根”“没有一次项”等干扰信息混淆对概念的判断，牢记判定标准再逐一验证即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确三个核心要点：①方程的定义：含有未知数的等式就是方程；②一元二次方程的判定标准：只含1个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程，三个条件同时满足即可，和是否有一次项、常数项无关；③实数范围内平方的性质：任意实数的平方都是非负数，即$x^2≥0$。接下来逐个分析选项，排除不符合上述要点的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：$x^2=-2$是含有未知数$x$的等式，满足方程的定义，属于方程，故A错误；
2. 分析选项B：该方程只含有1个未知数$x$，未知数的最高次数是2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，属于一元二次方程，是否含有一次项不影响一元二次方程的判定，故B错误；
3. 分析选项C：由实数平方的非负性可知，任意实数的平方都≥0，不可能等于-2，因此这个一元二次方程没有实数解，故C正确；
4. 分析选项D：$(±\sqrt{2})^2=2≠-2$，所以$x=±\sqrt{2}$不是该方程的解，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
方程的定义、一元二次方程的判定、实数平方的非负性
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对相关定义的准确理解，解题时要注意不要被“方程无实根”“没有一次项”等干扰信息混淆对概念的判断，牢记判定标准再逐一验证即可。
【难度系数】
0.8
2. 解方程:$(2x-1)^2=(x-2)^2$.
答案：$x_1=-1,x_2=1$
解析：
【分析】
观察方程左右两边均为完全平方式，可先将右侧的项移到左侧，利用平方差公式对左侧因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程后分别求解；也可直接对等式两边开平方得到$2x-1=\pm(x-2)$，再分情况求解，两种方法都能避免展开多项式带来的繁琐计算。
【解析】
（因式分解法）
移项得：$(2x-1)^2 - (x-2)^2 = 0$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$因式分解得：
$[(2x-1)+(x-2)][(2x-1)-(x-2)] = 0$
化简括号内的式子得：
$(3x-3)(x+1)=0$
由此可得两个一元一次方程：
$3x-3=0$ 或 $x+1=0$
分别解方程：
当$3x-3=0$时，$3x=3$，解得$x=1$；
当$x+1=0$时，解得$x=-1$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=1$
【知识点】
因式分解法解方程、平方差公式、一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，选择合适的解法可大幅简化计算，核心考查对因式分解法解方程的掌握程度，以及平方差公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
观察方程左右两边均为完全平方式，可先将右侧的项移到左侧，利用平方差公式对左侧因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程后分别求解；也可直接对等式两边开平方得到$2x-1=\pm(x-2)$，再分情况求解，两种方法都能避免展开多项式带来的繁琐计算。
【解析】
（因式分解法）
移项得：$(2x-1)^2 - (x-2)^2 = 0$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$因式分解得：
$[(2x-1)+(x-2)][(2x-1)-(x-2)] = 0$
化简括号内的式子得：
$(3x-3)(x+1)=0$
由此可得两个一元一次方程：
$3x-3=0$ 或 $x+1=0$
分别解方程：
当$3x-3=0$时，$3x=3$，解得$x=1$；
当$x+1=0$时，解得$x=-1$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=1$
【知识点】
因式分解法解方程、平方差公式、一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，选择合适的解法可大幅简化计算，核心考查对因式分解法解方程的掌握程度，以及平方差公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8