4. 如图，点A，B，C在$\odot O$上，$\odot O$的直径AD平分$∠ BAC$，AB与AC有什么数量关系？说明你的理由。
答案：$AB=AC$.连接OB,OC,证明$△ AOB≌△ AOC$
解析：
【分析】
要判断弦AB与AC的数量关系，可考虑证明二者所在的三角形全等。已知直径AD平分∠BAC，可得∠OAB=∠OAC，结合圆的所有半径都相等的性质，可连接OB、OC，通过证明△AOB和△AOC全等，从而推出AB=AC。
【解析】
$AB=AC$，理由如下：
连接$OB$、$OC$。
∵ $AD$平分$∠BAC$，
∴ $∠OAB=∠OAC$。
∵ $OA$、$OB$、$OC$均为$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，$OA=OC$，
∴ $∠OAB=∠OBA$，$∠OAC=∠OCA$，
∴ $∠OBA=∠OCA$。
在$△ AOB$和$△ AOC$中：
$\begin{cases}∠OAB=∠OAC \\∠OBA=∠OCA \\OA=OA\end{cases}$
∴ $△ AOB≌△ AOC$（AAS），
∴ $AB=AC$。
【答案】
$AB=AC$
【知识点】
圆的半径性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题是圆的基础应用类题目，解题的核心是通过连接半径构造全等三角形，利用圆半径相等的性质结合已知的角平分线条件完成全等证明，是圆中证明弦相等的典型常用方法。
【难度系数】
0.8
要判断弦AB与AC的数量关系，可考虑证明二者所在的三角形全等。已知直径AD平分∠BAC，可得∠OAB=∠OAC，结合圆的所有半径都相等的性质，可连接OB、OC，通过证明△AOB和△AOC全等，从而推出AB=AC。
【解析】
$AB=AC$，理由如下：
连接$OB$、$OC$。
∵ $AD$平分$∠BAC$，
∴ $∠OAB=∠OAC$。
∵ $OA$、$OB$、$OC$均为$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，$OA=OC$，
∴ $∠OAB=∠OBA$，$∠OAC=∠OCA$，
∴ $∠OBA=∠OCA$。
在$△ AOB$和$△ AOC$中：
$\begin{cases}∠OAB=∠OAC \\∠OBA=∠OCA \\OA=OA\end{cases}$
∴ $△ AOB≌△ AOC$（AAS），
∴ $AB=AC$。
【答案】
$AB=AC$
【知识点】
圆的半径性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题是圆的基础应用类题目，解题的核心是通过连接半径构造全等三角形，利用圆半径相等的性质结合已知的角平分线条件完成全等证明，是圆中证明弦相等的典型常用方法。
【难度系数】
0.8
1. 平面上一点P与$\odot O$上点的最长距离为6 cm，最短距离为2 cm，则$\odot O$的半径为
2或4
cm.答案：2或4
解析：
【分析】
解答本题首先要明确平面上的点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种，本题中点P到圆上点的最长距离与最短距离不相等，故排除点在圆上的情况，需分点P在圆外、点P在圆内两种情况分类讨论：过点P和圆心O作直线，与圆交于两点，这两个交点到P的距离就是最长距离和最短距离，再根据两种情况的线段和差关系求出直径，进而得到半径。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点P在$\odot O$外时：
过点P、圆心O作直线，交$\odot O$于A、B两点，其中PA为最短距离2cm，PB为最长距离6cm，此时直径$AB = PB - PA = 6 - 2 = 4\mathrm{cm}$，因此半径$r = 4÷2 = 2\mathrm{cm}$。
② 当点P在$\odot O$内时：
同样过点P、圆心O作直线，交$\odot O$于A、B两点，其中PA为最短距离2cm，PB为最长距离6cm，此时直径$AB = PB + PA = 6 + 2 = 8\mathrm{cm}$，因此半径$r = 8÷2 = 4\mathrm{cm}$。
综上，$\odot O$的半径为2cm或4cm。
【答案】
2或4
【知识点】
点与圆的位置关系，圆的基本性质
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，解题时容易遗漏点在圆内的情况，只计算出一种结果，做这类题时要先考虑点与圆的所有可能位置关系，再逐一计算验证。
【难度系数】
0.6
解答本题首先要明确平面上的点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种，本题中点P到圆上点的最长距离与最短距离不相等，故排除点在圆上的情况，需分点P在圆外、点P在圆内两种情况分类讨论：过点P和圆心O作直线，与圆交于两点，这两个交点到P的距离就是最长距离和最短距离，再根据两种情况的线段和差关系求出直径，进而得到半径。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点P在$\odot O$外时：
过点P、圆心O作直线，交$\odot O$于A、B两点，其中PA为最短距离2cm，PB为最长距离6cm，此时直径$AB = PB - PA = 6 - 2 = 4\mathrm{cm}$，因此半径$r = 4÷2 = 2\mathrm{cm}$。
② 当点P在$\odot O$内时：
同样过点P、圆心O作直线，交$\odot O$于A、B两点，其中PA为最短距离2cm，PB为最长距离6cm，此时直径$AB = PB + PA = 6 + 2 = 8\mathrm{cm}$，因此半径$r = 8÷2 = 4\mathrm{cm}$。
综上，$\odot O$的半径为2cm或4cm。
【答案】
2或4
【知识点】
点与圆的位置关系，圆的基本性质
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，解题时容易遗漏点在圆内的情况，只计算出一种结果，做这类题时要先考虑点与圆的所有可能位置关系，再逐一计算验证。
【难度系数】
0.6
2. 如图，以$△ ABC$的边$BC$为直径的$\odot O$分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$，连接$OD$，$OE$，若$∠ A=65°$，则$∠ DOE=$
50
°。答案：50
解析：
【分析】
解题时先结合已知条件梳理可使用的定理：首先利用三角形内角和定理求出∠B与∠C的度数和，再根据同圆半径相等，可知△OBD和△OCE均为等腰三角形，进而表示出∠BOD和∠COE的度数和，最后根据平角的定义即可求出∠DOE的度数。
【解析】
1. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，已知$∠ A=65°$，可得：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A = 180° - 65° = 115°$
2. 因为$OB、OD、OC、OE$都是$\odot O$的半径，所以$OB=OD$，$OC=OE$，即$△ OBD$和$△ OCE$均为等腰三角形，因此：
$∠ ODB=∠ B$，$∠ OEC=∠ C$
3. 根据三角形内角和，可分别表示出两个等腰三角形的顶角：
$∠ BOD=180° - 2∠ B$，$∠ COE=180° - 2∠ C$
则两个顶角的和为：
$∠ BOD + ∠ COE = (180° - 2∠ B)+(180° - 2∠ C)=360° - 2(∠ B+∠ C)$
4. 将$∠ B+∠ C=115°$代入上式，得：
$∠ BOD + ∠ COE = 360° - 2×115°=130°$
5. 因为$BC$是直径，$∠ BOC$为平角等于$180°$，因此：
$∠ DOE=180° - (∠ BOD + ∠ COE)=180° - 130°=50°$
【答案】
50
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础的几何综合题，将圆的性质和三角形相关性质结合考查，核心是通过角度转化建立待求角和已知角的关联，熟练掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件梳理可使用的定理：首先利用三角形内角和定理求出∠B与∠C的度数和，再根据同圆半径相等，可知△OBD和△OCE均为等腰三角形，进而表示出∠BOD和∠COE的度数和，最后根据平角的定义即可求出∠DOE的度数。
【解析】
1. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，已知$∠ A=65°$，可得：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A = 180° - 65° = 115°$
2. 因为$OB、OD、OC、OE$都是$\odot O$的半径，所以$OB=OD$，$OC=OE$，即$△ OBD$和$△ OCE$均为等腰三角形，因此：
$∠ ODB=∠ B$，$∠ OEC=∠ C$
3. 根据三角形内角和，可分别表示出两个等腰三角形的顶角：
$∠ BOD=180° - 2∠ B$，$∠ COE=180° - 2∠ C$
则两个顶角的和为：
$∠ BOD + ∠ COE = (180° - 2∠ B)+(180° - 2∠ C)=360° - 2(∠ B+∠ C)$
4. 将$∠ B+∠ C=115°$代入上式，得：
$∠ BOD + ∠ COE = 360° - 2×115°=130°$
5. 因为$BC$是直径，$∠ BOC$为平角等于$180°$，因此：
$∠ DOE=180° - (∠ BOD + ∠ COE)=180° - 130°=50°$
【答案】
50
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础的几何综合题，将圆的性质和三角形相关性质结合考查，核心是通过角度转化建立待求角和已知角的关联，熟练掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
3. 如图,两个同心圆中,大圆的半径AB,AC分别交小圆于点D，E，连接DC，EB交于点F.△BDF与△CEF是否全等？为什么？
答案：$△ BDF≌△ CEF$. 先证$△ ABE≌△ ACD$,得$∠ B=∠ C$. 再由$BD=CE,∠ BFD=∠ CFE$,得证
解析：
【分析】
要判断△BDF与△CEF是否全等，首先结合同心圆的性质：同圆的半径相等，可得大圆半径AB=AC、小圆半径AD=AE，进而推出BD=CE，得到一组对应边相等。观察图形可知∠BFD与∠CFE是对顶角，天然相等，因此只需再证明∠B=∠C即可。要证∠B=∠C，可证明包含这两个角的△ABE和△ACD全等，这两个三角形有公共角∠A，结合AB=AC、AE=AD的条件，用SAS即可证明全等，得到∠B=∠C后，就能用AAS判定目标三角形全等。
【解析】
解：△BDF≌△CEF，理由如下：
∵两个圆为同心圆，
∴大圆半径$AB=AC$，小圆半径$AD=AE$，
∴$AB-AD=AC-AE$，即$BD=CE$。
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠ A=∠ A \quad (\mathrm{公共角}) \\AE=AD\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ ACD$（$\mathrm{SAS}$），
∴$∠ B=∠ C$。
在$△ BDF$和$△ CEF$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ C \\∠ BFD=∠ CFE \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\BD=CE\end{cases}$
∴$△ BDF≌△ CEF$（$\mathrm{AAS}$）。
【答案】
$△ BDF≌△ CEF$。先证$△ ABE≌△ ACD$，得$∠ B=∠ C$。再由$BD=CE$，$∠ BFD=∠ CFE$，得证。
【知识点】
同心圆的性质；全等三角形的判定；对顶角的性质
【点评】
本题结合同心圆的背景考查全等三角形的判定，解题的关键是先利用同圆半径相等得到边的等量关系，通过第一次全等推导得到角相等的条件，再证明目标三角形全等，解题时需注意全等判定定理的正确选用。
【难度系数】
0.7
要判断△BDF与△CEF是否全等，首先结合同心圆的性质：同圆的半径相等，可得大圆半径AB=AC、小圆半径AD=AE，进而推出BD=CE，得到一组对应边相等。观察图形可知∠BFD与∠CFE是对顶角，天然相等，因此只需再证明∠B=∠C即可。要证∠B=∠C，可证明包含这两个角的△ABE和△ACD全等，这两个三角形有公共角∠A，结合AB=AC、AE=AD的条件，用SAS即可证明全等，得到∠B=∠C后，就能用AAS判定目标三角形全等。
【解析】
解：△BDF≌△CEF，理由如下：
∵两个圆为同心圆，
∴大圆半径$AB=AC$，小圆半径$AD=AE$，
∴$AB-AD=AC-AE$，即$BD=CE$。
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠ A=∠ A \quad (\mathrm{公共角}) \\AE=AD\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ ACD$（$\mathrm{SAS}$），
∴$∠ B=∠ C$。
在$△ BDF$和$△ CEF$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ C \\∠ BFD=∠ CFE \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\BD=CE\end{cases}$
∴$△ BDF≌△ CEF$（$\mathrm{AAS}$）。
【答案】
$△ BDF≌△ CEF$。先证$△ ABE≌△ ACD$，得$∠ B=∠ C$。再由$BD=CE$，$∠ BFD=∠ CFE$，得证。
【知识点】
同心圆的性质；全等三角形的判定；对顶角的性质
【点评】
本题结合同心圆的背景考查全等三角形的判定，解题的关键是先利用同圆半径相等得到边的等量关系，通过第一次全等推导得到角相等的条件，再证明目标三角形全等，解题时需注意全等判定定理的正确选用。
【难度系数】
0.7
4. 如图，AB是$\odot O$的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且$AE=BF$. 请判断线段OE与OF的数量关系，并说明理由.
答案：$OE=OF$. 理由略
解析：
【分析】
要判断OE与OF的数量关系，可考虑证明两条线段所在的三角形全等。首先利用圆的性质，连接OA、OB可得OA=OB，进而得到∠OAE=∠OBF，结合已知条件AE=BF，即可通过SAS判定△OAE≌△OBF，从而得到OE与OF的数量关系。
【解析】
解：$OE=OF$，理由如下：
连接$OA$、$OB$。
∵ $OA$、$OB$都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，
∴ $∠ OAE=∠ OBF$（等边对等角）。
在$△ OAE$和$△ OBF$中：
$\begin{cases}OA=OB \\∠ OAE=∠ OBF \\AE=BF\end{cases}$
∴ $△ OAE≌△ OBF$（SAS），
∴ $OE=OF$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
$OE=OF$
【知识点】
1. 圆的半径相等 2. 全等三角形的判定与性质 3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，核心是利用圆半径相等的隐含条件构造全等三角形，进而证明线段相等，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件。
【难度系数】
0.8
要判断OE与OF的数量关系，可考虑证明两条线段所在的三角形全等。首先利用圆的性质，连接OA、OB可得OA=OB，进而得到∠OAE=∠OBF，结合已知条件AE=BF，即可通过SAS判定△OAE≌△OBF，从而得到OE与OF的数量关系。
【解析】
解：$OE=OF$，理由如下：
连接$OA$、$OB$。
∵ $OA$、$OB$都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，
∴ $∠ OAE=∠ OBF$（等边对等角）。
在$△ OAE$和$△ OBF$中：
$\begin{cases}OA=OB \\∠ OAE=∠ OBF \\AE=BF\end{cases}$
∴ $△ OAE≌△ OBF$（SAS），
∴ $OE=OF$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
$OE=OF$
【知识点】
1. 圆的半径相等 2. 全等三角形的判定与性质 3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，核心是利用圆半径相等的隐含条件构造全等三角形，进而证明线段相等，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件。
【难度系数】
0.8
5. 如图,过A,C,D三点的圆的圆心为点E,过B,F,E三点的圆的圆心为点D,∠ABC=17°,求∠BAC的度数.
答案：$64.5°$
解析：
【分析】
解题时首先利用“同圆的半径相等”得到多组相等的线段，进而转化为等腰三角形的角的关系：第一步，由D是过B、F、E的圆心得DE=DB，结合已知∠ABC的度数，利用等腰三角形等边对等角和三角形外角性质求出∠EDC的度数；第二步，由E是过A、C、D的圆心得EC=ED，再次利用等腰三角形性质求出∠CED的度数，进而得到∠CEA的度数；第三步，由EA=EC得△EAC为等腰三角形，利用三角形内角和即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：连接EC、ED。
∵ 点D是过B、F、E三点的圆的圆心，
∴ DE=DB，
∴ ∠DEB=∠ABC=17°，
∵ ∠EDC是△BDE的外角，
∴ ∠EDC=∠DEB+∠ABC=17°+17°=34°。
∵ 点E是过A、C、D三点的圆的圆心，
∴ EC=ED=EA，
∴ ∠ECD=∠EDC=34°，
在△CDE中，∠CED=180°-∠ECD-∠EDC=180°-34°-34°=112°，
∴ ∠CEA=180°-∠CED-∠DEB=180°-112°-17°=51°，
又
∵ EA=EC，
∴ ∠BAC=∠ACE，
在△AEC中，∠BAC=(180°-∠CEA)÷2=(180°-51°)÷2=64.5°。
【答案】
$64.5°$
【知识点】
同圆半径相等，等腰三角形的性质，三角形内外角性质
【点评】
本题是圆的基本概念与三角形性质的综合题，解题的关键是挖掘“同圆半径相等”的隐含条件，将圆的性质转化为三角形的边角关系逐步推导。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用“同圆的半径相等”得到多组相等的线段，进而转化为等腰三角形的角的关系：第一步，由D是过B、F、E的圆心得DE=DB，结合已知∠ABC的度数，利用等腰三角形等边对等角和三角形外角性质求出∠EDC的度数；第二步，由E是过A、C、D的圆心得EC=ED，再次利用等腰三角形性质求出∠CED的度数，进而得到∠CEA的度数；第三步，由EA=EC得△EAC为等腰三角形，利用三角形内角和即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：连接EC、ED。
∵ 点D是过B、F、E三点的圆的圆心，
∴ DE=DB，
∴ ∠DEB=∠ABC=17°，
∵ ∠EDC是△BDE的外角，
∴ ∠EDC=∠DEB+∠ABC=17°+17°=34°。
∵ 点E是过A、C、D三点的圆的圆心，
∴ EC=ED=EA，
∴ ∠ECD=∠EDC=34°，
在△CDE中，∠CED=180°-∠ECD-∠EDC=180°-34°-34°=112°，
∴ ∠CEA=180°-∠CED-∠DEB=180°-112°-17°=51°，
又
∵ EA=EC，
∴ ∠BAC=∠ACE，
在△AEC中，∠BAC=(180°-∠CEA)÷2=(180°-51°)÷2=64.5°。
【答案】
$64.5°$
【知识点】
同圆半径相等，等腰三角形的性质，三角形内外角性质
【点评】
本题是圆的基本概念与三角形性质的综合题，解题的关键是挖掘“同圆半径相等”的隐含条件，将圆的性质转化为三角形的边角关系逐步推导。
【难度系数】
0.6