活动一:想一想 画一画
1. 若点A在$\odot O$上,过点A画$\odot O$的切线,能画几条?
2. 如图3-12,三角板的直角顶点A在$\odot O$上,一条直角边经过圆心O,另一条直角边经过$\odot O$外一点P,PA是$\odot O$的切线吗?为什么?
图3-12
3. 如图3-13,过圆外一点P如何画圆的切线?能画几条?请画出来.
图3-13
1. 若点A在$\odot O$上,过点A画$\odot O$的切线,能画几条?
2. 如图3-12,三角板的直角顶点A在$\odot O$上,一条直角边经过圆心O,另一条直角边经过$\odot O$外一点P,PA是$\odot O$的切线吗?为什么?
图3-12
3. 如图3-13,过圆外一点P如何画圆的切线?能画几条?请画出来.
图3-13
答案：1. 1条
2. PA是$\odot O$的切线.由半径$OA⊥ AP$可得
3. 过圆外一点P可以画两条圆的切线，图略
2. PA是$\odot O$的切线.由半径$OA⊥ AP$可得
3. 过圆外一点P可以画两条圆的切线，图略
解析：
【分析】
1. 解答第一问时，先明确点A在⊙O上，回忆过圆上一点作切线的相关结论：过圆上任意一点有且只有一条直线与该圆相切，即可得出能画的切线条数。
2. 解答第二问时，结合切线的判定定理思考：只要证明PA满足“经过半径外端、与该半径垂直”两个条件，即可判定PA是切线，结合三角板直角的特征验证即可。
3. 解答第三问时，根据切线的性质可知，切点、圆心O、点P构成的三角形为直角三角形，直角在切点处，结合“直径所对的圆周角是直角”的性质，通过作以OP为直径的圆找切点，再根据两圆交点数量确定切线条数。
【解析】
1. 已知点A在⊙O上，根据切线的相关性质，过圆上一点有且仅有1条直线与圆相切，因此过点A画⊙O的切线，能画1条。
2. PA是⊙O的切线，理由如下：
∵点A在⊙O上，
∴OA是⊙O的半径，
又
∵三角板的直角顶点为A，一条直角边过圆心O，另一条直角边过点P，
∴∠OAP=90°，即OA⊥AP，
根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可得PA是⊙O的切线。
3. 画法步骤：
①连接OP；
②作出线段OP的中点M；
③以M为圆心，$\frac{1}{2}OP$的长度为半径作圆，该圆与⊙O交于A、B两点；
④连接PA、PB，PA、PB即为所求的⊙O的切线。
由于以OP为直径的圆与⊙O有2个交点，因此过圆外一点P可以画2条圆的切线，画图略。
【答案】
1. 1条
2. PA是$\odot O$的切线.由半径$OA⊥ AP$可得
3. 过圆外一点P可以画两条圆的切线，图略
【知识点】
切线的判定、切线的画法、点与圆的位置关系
【点评】
本题属于圆的切线相关的基础题型，侧重考查对切线判定定理的理解和动手操作能力，掌握切线的判定条件以及相关性质是解决本题的核心，也为后续学习切线长定理等内容打下基础。
【难度系数】
0.8
1. 解答第一问时，先明确点A在⊙O上，回忆过圆上一点作切线的相关结论：过圆上任意一点有且只有一条直线与该圆相切，即可得出能画的切线条数。
2. 解答第二问时，结合切线的判定定理思考：只要证明PA满足“经过半径外端、与该半径垂直”两个条件，即可判定PA是切线，结合三角板直角的特征验证即可。
3. 解答第三问时，根据切线的性质可知，切点、圆心O、点P构成的三角形为直角三角形，直角在切点处，结合“直径所对的圆周角是直角”的性质，通过作以OP为直径的圆找切点，再根据两圆交点数量确定切线条数。
【解析】
1. 已知点A在⊙O上，根据切线的相关性质，过圆上一点有且仅有1条直线与圆相切，因此过点A画⊙O的切线，能画1条。
2. PA是⊙O的切线，理由如下：
∵点A在⊙O上，
∴OA是⊙O的半径，
又
∵三角板的直角顶点为A，一条直角边过圆心O，另一条直角边过点P，
∴∠OAP=90°，即OA⊥AP，
根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可得PA是⊙O的切线。
3. 画法步骤：
①连接OP；
②作出线段OP的中点M；
③以M为圆心，$\frac{1}{2}OP$的长度为半径作圆，该圆与⊙O交于A、B两点；
④连接PA、PB，PA、PB即为所求的⊙O的切线。
由于以OP为直径的圆与⊙O有2个交点，因此过圆外一点P可以画2条圆的切线，画图略。
【答案】
1. 1条
2. PA是$\odot O$的切线.由半径$OA⊥ AP$可得
3. 过圆外一点P可以画两条圆的切线，图略
【知识点】
切线的判定、切线的画法、点与圆的位置关系
【点评】
本题属于圆的切线相关的基础题型，侧重考查对切线判定定理的理解和动手操作能力，掌握切线的判定条件以及相关性质是解决本题的核心，也为后续学习切线长定理等内容打下基础。
【难度系数】
0.8
1. 如图3-14，PA为$\odot O$的一条切线，切点为A.沿直线PO将$\odot O$对折，由于PO经过圆心O，所以PO是圆的一条对称轴.设点B落在点A上，OB是$\odot O$的一条
半径
，PB是$\odot O$的一条切线
.答案：1. 半径，切线
解析：
【分析】
解题时可分两步思考：第一步回忆圆半径的定义，圆心到圆上任意点的线段是圆的半径，直接判断OB的类型；第二步结合折叠的轴对称性质，利用已知的PA是切线的条件，推导∠OBP的度数，再根据切线的判定定理判断PB的类型。具体来说，折叠前后对应角相等，已知PA切⊙O于A，可得OA⊥PA，折叠后∠OBP和∠OAP相等，即可得到OB⊥PB，结合OB是半径就能判定PB是切线。
【解析】
1. 分析OB的类型：
根据圆半径的定义，连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径。点O是⊙O的圆心，点B在⊙O上，因此OB是⊙O的半径。
2. 分析PB的类型：
沿PO对折后点B与点A重合，根据折叠的性质可得△OBP≌△OAP，因此∠OBP=∠OAP。
已知PA是⊙O的切线，切点为A，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得OA⊥PA，即∠OAP=90°，因此∠OBP=90°，即OB⊥PB。
又OB是⊙O的半径，点B在⊙O上，根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可得PB是⊙O的切线。
【答案】
半径，切线
【知识点】
圆的相关概念，切线的判定与性质，轴对称的性质
【点评】
本题属于基础题，结合折叠操作考查圆的基础概念和切线的相关定理，只要熟练掌握半径定义、切线的性质和判定方法，就能轻松解答。
【难度系数】
0.85
解题时可分两步思考：第一步回忆圆半径的定义，圆心到圆上任意点的线段是圆的半径，直接判断OB的类型；第二步结合折叠的轴对称性质，利用已知的PA是切线的条件，推导∠OBP的度数，再根据切线的判定定理判断PB的类型。具体来说，折叠前后对应角相等，已知PA切⊙O于A，可得OA⊥PA，折叠后∠OBP和∠OAP相等，即可得到OB⊥PB，结合OB是半径就能判定PB是切线。
【解析】
1. 分析OB的类型：
根据圆半径的定义，连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径。点O是⊙O的圆心，点B在⊙O上，因此OB是⊙O的半径。
2. 分析PB的类型：
沿PO对折后点B与点A重合，根据折叠的性质可得△OBP≌△OAP，因此∠OBP=∠OAP。
已知PA是⊙O的切线，切点为A，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得OA⊥PA，即∠OAP=90°，因此∠OBP=90°，即OB⊥PB。
又OB是⊙O的半径，点B在⊙O上，根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可得PB是⊙O的切线。
【答案】
半径，切线
【知识点】
圆的相关概念，切线的判定与性质，轴对称的性质
【点评】
本题属于基础题，结合折叠操作考查圆的基础概念和切线的相关定理，只要熟练掌握半径定义、切线的性质和判定方法，就能轻松解答。
【难度系数】
0.85
2. 在上述操作中，若$PO$交$\odot O$于点$C$，$D$，图中有哪些相等关系？怎样证明这些相等关系？
图3-14
图3-14
答案：发现$∠ APO=∠ BPO,∠ OAP=∠ OBP=90°,PA=PB,\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC},\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$等.可证$△ OBP≌△ OAP$
解析：
【分析】
解题时首先结合图形的翻折特征与切线性质寻找全等条件：首先PA是⊙O的切线，根据切线性质可得OA⊥PA，即∠OAP=90°；翻折后OA=OB（都是圆的半径），∠OBP=∠OAP=90°，且OP为公共边，可先证明Rt△OAP和Rt△OBP全等，再利用全等性质推导角、边的相等关系，最后结合圆心角与弧的对应关系推导弧的相等关系。
【解析】
相等关系有：$\boldsymbol{∠APO=∠BPO}$，$\boldsymbol{∠OAP=∠OBP=90°}$，$\boldsymbol{PA=PB}$，$\boldsymbol{\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}}$，$\boldsymbol{\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}}$。
证明过程如下：
1. 由PA是⊙O的切线，A为切点，根据切线的性质得：$OA⊥PA$，即$∠OAP=90°$；
2. 由翻折的性质可知：$OB=OA$，$∠OBP=∠OAP=90°$；
3. 在$Rt△OAP$和$Rt△OBP$中：
$\{\begin{array}{l}OA=OB \\OP=OP\end{array} $
∴$Rt△OAP≌Rt△OBP$（HL），
∴$∠APO=∠BPO$，$PA=PB$，$∠AOP=∠BOP$；
4. 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∵$∠AOP=∠BOP$，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$；
又$∠AOD=180°-∠AOP$，$∠BOD=180°-∠BOP$，
∴$∠AOD=∠BOD$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
【答案】
相等关系：$∠APO=∠BPO,∠OAP=∠OBP=90°,PA=PB,\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC},\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$；
证明：可证$Rt△OBP≌Rt△OAP$，利用全等性质及同圆中圆心角与弧的对应关系即可证明上述结论。
【知识点】
切线的性质；全等三角形的判定与性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题综合考查了图形翻折的性质、圆的基础性质与全等三角形的证明，解题的关键是找到切线垂直半径的直角条件，通过全等三角形推导各等量关系，是圆类基础题的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合图形的翻折特征与切线性质寻找全等条件：首先PA是⊙O的切线，根据切线性质可得OA⊥PA，即∠OAP=90°；翻折后OA=OB（都是圆的半径），∠OBP=∠OAP=90°，且OP为公共边，可先证明Rt△OAP和Rt△OBP全等，再利用全等性质推导角、边的相等关系，最后结合圆心角与弧的对应关系推导弧的相等关系。
【解析】
相等关系有：$\boldsymbol{∠APO=∠BPO}$，$\boldsymbol{∠OAP=∠OBP=90°}$，$\boldsymbol{PA=PB}$，$\boldsymbol{\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}}$，$\boldsymbol{\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}}$。
证明过程如下：
1. 由PA是⊙O的切线，A为切点，根据切线的性质得：$OA⊥PA$，即$∠OAP=90°$；
2. 由翻折的性质可知：$OB=OA$，$∠OBP=∠OAP=90°$；
3. 在$Rt△OAP$和$Rt△OBP$中：
$\{\begin{array}{l}OA=OB \\OP=OP\end{array} $
∴$Rt△OAP≌Rt△OBP$（HL），
∴$∠APO=∠BPO$，$PA=PB$，$∠AOP=∠BOP$；
4. 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∵$∠AOP=∠BOP$，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$；
又$∠AOD=180°-∠AOP$，$∠BOD=180°-∠BOP$，
∴$∠AOD=∠BOD$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
【答案】
相等关系：$∠APO=∠BPO,∠OAP=∠OBP=90°,PA=PB,\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC},\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$；
证明：可证$Rt△OBP≌Rt△OAP$，利用全等性质及同圆中圆心角与弧的对应关系即可证明上述结论。
【知识点】
切线的性质；全等三角形的判定与性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题综合考查了图形翻折的性质、圆的基础性质与全等三角形的证明，解题的关键是找到切线垂直半径的直角条件，通过全等三角形推导各等量关系，是圆类基础题的常考题型。
【难度系数】
0.7