活动一:画一画 想一想
在图3-20中画出圆锥的一条母线$l$、底面半径$r$和高$h$.这三者之间有怎样的关系?
在图3-20中画出圆锥的一条母线$l$、底面半径$r$和高$h$.这三者之间有怎样的关系?
答案：图略，$l^2=r^2+h^2$
解析：
【分析】
首先明确圆锥各相关线段的定义：母线是圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段，圆锥的高是顶点到底面圆心的垂线段，底面半径是底面圆心到圆周上任意一点的线段。可以发现这三条线段刚好构成直角三角形，高和底面半径是直角边，母线是斜边，结合勾股定理就能推出三者的数量关系。
【解析】
1. 作图步骤：
① 连接圆锥顶点与底面圆周上任意一点，所得线段就是母线$l$；
② 连接圆锥顶点与底面圆心，所得垂线段就是高$h$；
③ 连接底面圆心与上述母线在底面圆周上的端点，所得线段就是底面半径$r$。
2. 关系推导：
观察所作的三条线段，$h$、$r$、$l$共同构成直角三角形，其中$h$和$r$为两条直角边，$l$为斜边，根据勾股定理可得三者关系为$l^2=r^2+h^2$。
【答案】
图略，$l^2=r^2+h^2$
【知识点】
圆锥的相关概念；勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，主要考查对圆锥基本元素的认识和勾股定理的简单应用，推导得到的三者关系是后续求解圆锥侧面积、表面积等问题的核心依据，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
首先明确圆锥各相关线段的定义：母线是圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段，圆锥的高是顶点到底面圆心的垂线段，底面半径是底面圆心到圆周上任意一点的线段。可以发现这三条线段刚好构成直角三角形，高和底面半径是直角边，母线是斜边，结合勾股定理就能推出三者的数量关系。
【解析】
1. 作图步骤：
① 连接圆锥顶点与底面圆周上任意一点，所得线段就是母线$l$；
② 连接圆锥顶点与底面圆心，所得垂线段就是高$h$；
③ 连接底面圆心与上述母线在底面圆周上的端点，所得线段就是底面半径$r$。
2. 关系推导：
观察所作的三条线段，$h$、$r$、$l$共同构成直角三角形，其中$h$和$r$为两条直角边，$l$为斜边，根据勾股定理可得三者关系为$l^2=r^2+h^2$。
【答案】
图略，$l^2=r^2+h^2$
【知识点】
圆锥的相关概念；勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，主要考查对圆锥基本元素的认识和勾股定理的简单应用，推导得到的三者关系是后续求解圆锥侧面积、表面积等问题的核心依据，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
活动二:做一做 想一想
图3-20
1. 如图3-21,沿着圆锥的母线,把一个圆锥的侧面展开,得到一个扇形,这个扇形的弧长与底面圆的周长有什么关系?
2. 圆锥侧面展开图是扇形,这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等?
3. 设圆锥母线为$l$,底面半径为$r$,高为$h$,试求圆锥的侧面积和底面积.
图3-20
1. 如图3-21,沿着圆锥的母线,把一个圆锥的侧面展开,得到一个扇形,这个扇形的弧长与底面圆的周长有什么关系?
2. 圆锥侧面展开图是扇形,这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等?
3. 设圆锥母线为$l$,底面半径为$r$,高为$h$,试求圆锥的侧面积和底面积.
答案：1. 扇形的弧长=底面圆的周长
2. 扇形半径=圆锥母线长
3. $S_{侧}=π r l$，$S_{底}=π r^2$
2. 扇形半径=圆锥母线长
3. $S_{侧}=π r l$，$S_{底}=π r^2$
解析：
【分析】
1. 思考第一问时，可结合展开过程的不变性：圆锥侧面展开属于图形的折叠展开变换，展开前后对应边的长度不变，底面圆周展开后刚好对应扇形的弧，因此二者长度相等。
2. 思考第二问时，观察展开的操作：沿母线剪开圆锥侧面得到扇形，扇形的两条边就是剪开前的母线，因此扇形半径和母线长度对应相等。
3. 思考第三问时，先明确圆锥侧面积就是展开后扇形的面积，结合扇形面积公式“$S=\frac{1}{2}×弧长×半径$”，把弧长替换为底面圆周长、半径替换为母线长即可推导侧面积；底面积直接用圆的面积公式计算即可。
【解析】
1. 圆锥侧面沿母线展开的过程中，底面圆周的长度不发生变化，展开后恰好对应扇形的弧，因此扇形的弧长与底面圆的周长相等。
2. 展开得到的扇形的两条半径，就是剪开前圆锥的母线，因此这个扇形的半径与圆锥的母线长相等。
3. 圆锥侧面积等于侧面展开扇形的面积：
已知扇形面积公式为$S_{扇形}=\frac{1}{2}×弧长×扇形半径$，其中弧长等于底面圆周长$C=2π r$，扇形半径等于母线长$l$，代入得：
$S_{侧}=\frac{1}{2}×2π r×l=π rl$
圆锥底面是半径为$r$的圆，因此底面积为：
$S_{底}=π r^2$
【答案】
1. 扇形的弧长=底面圆的周长
2. 扇形半径=圆锥母线长
3. $S_{侧}=π r l$，$S_{底}=π r^2$
【知识点】
圆锥展开图性质、扇形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题，核心是掌握圆锥侧面展开前后各量的对应关系，这是后续求解圆锥表面积、最短路径等问题的基础，理清对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
1. 思考第一问时，可结合展开过程的不变性：圆锥侧面展开属于图形的折叠展开变换，展开前后对应边的长度不变，底面圆周展开后刚好对应扇形的弧，因此二者长度相等。
2. 思考第二问时，观察展开的操作：沿母线剪开圆锥侧面得到扇形，扇形的两条边就是剪开前的母线，因此扇形半径和母线长度对应相等。
3. 思考第三问时，先明确圆锥侧面积就是展开后扇形的面积，结合扇形面积公式“$S=\frac{1}{2}×弧长×半径$”，把弧长替换为底面圆周长、半径替换为母线长即可推导侧面积；底面积直接用圆的面积公式计算即可。
【解析】
1. 圆锥侧面沿母线展开的过程中，底面圆周的长度不发生变化，展开后恰好对应扇形的弧，因此扇形的弧长与底面圆的周长相等。
2. 展开得到的扇形的两条半径，就是剪开前圆锥的母线，因此这个扇形的半径与圆锥的母线长相等。
3. 圆锥侧面积等于侧面展开扇形的面积：
已知扇形面积公式为$S_{扇形}=\frac{1}{2}×弧长×扇形半径$，其中弧长等于底面圆周长$C=2π r$，扇形半径等于母线长$l$，代入得：
$S_{侧}=\frac{1}{2}×2π r×l=π rl$
圆锥底面是半径为$r$的圆，因此底面积为：
$S_{底}=π r^2$
【答案】
1. 扇形的弧长=底面圆的周长
2. 扇形半径=圆锥母线长
3. $S_{侧}=π r l$，$S_{底}=π r^2$
【知识点】
圆锥展开图性质、扇形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题，核心是掌握圆锥侧面展开前后各量的对应关系，这是后续求解圆锥表面积、最短路径等问题的基础，理清对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
已知圆锥的底面半径是2 cm，母线长是5 cm，它的侧面积是
10π
cm²。答案：$10π$
解析：
【分析】
要计算圆锥的侧面积，首先需明确圆锥侧面积的计算公式：圆锥的侧面展开图为扇形，推导可得侧面积公式为$S_{侧}=π rl$，其中$r$是圆锥底面半径，$l$是圆锥的母线长。解题时只需从题干中提取对应的底面半径和母线长的数值，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：已知圆锥底面半径$r=2\mathrm{cm}$，母线长$l=5\mathrm{cm}$，根据圆锥侧面积公式：
$S_{侧}=π rl$
将数值代入公式得：
$S_{侧}=π×2×5=10π(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$10π$
【知识点】
圆锥侧面积计算；扇形与圆锥的对应关系
【点评】
本题是基础类题型，核心考查圆锥侧面积公式的直接应用，解题时只要准确对应公式中的参数，就能快速得出答案，计算量小。
【难度系数】
0.9
要计算圆锥的侧面积，首先需明确圆锥侧面积的计算公式：圆锥的侧面展开图为扇形，推导可得侧面积公式为$S_{侧}=π rl$，其中$r$是圆锥底面半径，$l$是圆锥的母线长。解题时只需从题干中提取对应的底面半径和母线长的数值，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：已知圆锥底面半径$r=2\mathrm{cm}$，母线长$l=5\mathrm{cm}$，根据圆锥侧面积公式：
$S_{侧}=π rl$
将数值代入公式得：
$S_{侧}=π×2×5=10π(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$10π$
【知识点】
圆锥侧面积计算；扇形与圆锥的对应关系
【点评】
本题是基础类题型，核心考查圆锥侧面积公式的直接应用，解题时只要准确对应公式中的参数，就能快速得出答案，计算量小。
【难度系数】
0.9
2. 已知圆锥的母线长是10 cm，侧面积是$60π \ \mathrm{cm}^2$，它的底面半径是
6
cm.答案：6
解析：
【分析】
解决本题首先要回忆圆锥侧面积的计算公式，明确圆锥侧面积与底面半径、母线长的关系。已知侧面积和母线长两个量，我们可以直接将已知条件代入侧面积公式，建立关于底面半径的方程，解方程即可求出底面半径的值。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r\ \mathrm{cm}$，已知圆锥母线长$l=10\ \mathrm{cm}$，侧面积$S_{\mathrm{侧}}=60π\ \mathrm{cm}^2$。
根据圆锥侧面积公式：$S_{\mathrm{侧}}=π r l$
将已知数值代入公式可得：
$60π=π× r×10$
等式两边同时除以$π$，得：
$60=10r$
解得：$r=6$
【答案】
6
【知识点】
圆锥侧面积公式、一元一次方程求解
【点评】
本题是基础考查题，主要检验对圆锥侧面积公式的掌握程度，只要熟记公式，准确代入已知量计算即可得到正确结果，属于基础得分类题型。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要回忆圆锥侧面积的计算公式，明确圆锥侧面积与底面半径、母线长的关系。已知侧面积和母线长两个量，我们可以直接将已知条件代入侧面积公式，建立关于底面半径的方程，解方程即可求出底面半径的值。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r\ \mathrm{cm}$，已知圆锥母线长$l=10\ \mathrm{cm}$，侧面积$S_{\mathrm{侧}}=60π\ \mathrm{cm}^2$。
根据圆锥侧面积公式：$S_{\mathrm{侧}}=π r l$
将已知数值代入公式可得：
$60π=π× r×10$
等式两边同时除以$π$，得：
$60=10r$
解得：$r=6$
【答案】
6
【知识点】
圆锥侧面积公式、一元一次方程求解
【点评】
本题是基础考查题，主要检验对圆锥侧面积公式的掌握程度，只要熟记公式，准确代入已知量计算即可得到正确结果，属于基础得分类题型。
【难度系数】
0.9