4. 如图,在单位长度为1的正方形网格中,一段圆弧经过格点A,B,C.
(1) 请完成如下操作:
① 以O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴,网格边长为单位长度,建立平面直角坐标系;
② 确定该圆弧所在圆的圆心D,并连接AD,CD.
(2) 请在(1)的基础上,完成下列问题:
① 点C的坐标为
② $\odot D$的半径为
③ 若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面积为
④ 若点E的坐标为$(6,-1)$,试判断直线CE与$\odot D$的位置关系,并说明你的理由.
(1) 请完成如下操作:
① 以O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴,网格边长为单位长度,建立平面直角坐标系;
② 确定该圆弧所在圆的圆心D,并连接AD,CD.
(2) 请在(1)的基础上,完成下列问题:
① 点C的坐标为
$(5,1)$
,点D的坐标为$(1,-1)$
;② $\odot D$的半径为
$2\sqrt{5}$
(结果保留根号);③ 若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面积为
$\frac{5}{4}π$
(结果保留$π$);④ 若点E的坐标为$(6,-1)$,试判断直线CE与$\odot D$的位置关系,并说明你的理由.
答案：4. (1) 略
(2) ① $(5,1)$,$(1,-1)$ ② $2\sqrt{5}$ ③ $\frac{5}{4}π$ ④ 相切,理由略
(2) ① $(5,1)$,$(1,-1)$ ② $2\sqrt{5}$ ③ $\frac{5}{4}π$ ④ 相切,理由略
解析：
【分析】
解题思路：1. 首先按要求建立平面直角坐标系，根据垂径定理，圆心是圆内任意两条弦的垂直平分线的交点，作弦AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心D；2. 结合坐标系数格点即可得到点C、D的坐标；3. 用勾股定理计算AD或CD的长度，即为圆的半径；4. 先通过勾股定理逆定理求出圆心角∠ADC的度数，再根据扇形弧长等于圆锥底面周长求出底面半径，进而计算底面积；5. 判断直线CE与圆的位置关系时，计算CD、CE、DE的长度，用勾股定理逆定理判断CD与CE是否垂直，若垂直且CD为半径，则CE是圆的切线。
【解析】
(1) 按要求建立坐标系，作AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心D，操作略。
(2) ① 建立以O为原点，水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向的坐标系，数格点得C的坐标为$(5,1)$；弦AB和BC的垂直平分线交点D的坐标为$(1,-1)$。
② 计算半径：$AD=\sqrt{(1+1)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，即$\odot D$的半径为$2\sqrt{5}$。
③ 先求圆心角：由$AD^2+CD^2=(2\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=40$，$AC^2=(5+1)^2+(1-3)^2=40$，得$AD^2+CD^2=AC^2$，故$∠ ADC=90°$。扇形弧长$l=\frac{90°}{360°}×2π×2\sqrt{5}=π\sqrt{5}$。设圆锥底面半径为r，由弧长等于底面周长得$2π r=π\sqrt{5}$，解得$r=\frac{\sqrt{5}}{2}$，底面积$S=π r^2=π×(\frac{\sqrt{5}}{2})^2=\frac{5}{4}π$。
④ 直线CE与$\odot D$相切，理由：已知$E(6,-1)$，计算得$CD^2=20$，$CE^2=(6-5)^2+(-1-1)^2=5$，$DE^2=(6-1)^2+(-1+1)^2=25$，则$CD^2+CE^2=DE^2$，由勾股定理逆定理得$∠ DCE=90°$，即$CD⊥ CE$，又CD是$\odot D$的半径，因此直线CE与$\odot D$相切。
【答案】
(2) ① $(5,1)$，$(1,-1)$ ② $2\sqrt{5}$ ③ $\frac{5}{4}π$ ④ 相切
【知识点】
垂径定理，圆锥的计算，切线的判定
【点评】
本题结合网格考查圆的相关应用，涵盖了圆心确定、坐标识别、半径计算、圆锥侧面展开计算及切线判定等内容，需要熟练运用勾股定理及逆定理、垂径定理等知识，综合性较强。
【难度系数】
0.6
解题思路：1. 首先按要求建立平面直角坐标系，根据垂径定理，圆心是圆内任意两条弦的垂直平分线的交点，作弦AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心D；2. 结合坐标系数格点即可得到点C、D的坐标；3. 用勾股定理计算AD或CD的长度，即为圆的半径；4. 先通过勾股定理逆定理求出圆心角∠ADC的度数，再根据扇形弧长等于圆锥底面周长求出底面半径，进而计算底面积；5. 判断直线CE与圆的位置关系时，计算CD、CE、DE的长度，用勾股定理逆定理判断CD与CE是否垂直，若垂直且CD为半径，则CE是圆的切线。
【解析】
(1) 按要求建立坐标系，作AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心D，操作略。
(2) ① 建立以O为原点，水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向的坐标系，数格点得C的坐标为$(5,1)$；弦AB和BC的垂直平分线交点D的坐标为$(1,-1)$。
② 计算半径：$AD=\sqrt{(1+1)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，即$\odot D$的半径为$2\sqrt{5}$。
③ 先求圆心角：由$AD^2+CD^2=(2\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=40$，$AC^2=(5+1)^2+(1-3)^2=40$，得$AD^2+CD^2=AC^2$，故$∠ ADC=90°$。扇形弧长$l=\frac{90°}{360°}×2π×2\sqrt{5}=π\sqrt{5}$。设圆锥底面半径为r，由弧长等于底面周长得$2π r=π\sqrt{5}$，解得$r=\frac{\sqrt{5}}{2}$，底面积$S=π r^2=π×(\frac{\sqrt{5}}{2})^2=\frac{5}{4}π$。
④ 直线CE与$\odot D$相切，理由：已知$E(6,-1)$，计算得$CD^2=20$，$CE^2=(6-5)^2+(-1-1)^2=5$，$DE^2=(6-1)^2+(-1+1)^2=25$，则$CD^2+CE^2=DE^2$，由勾股定理逆定理得$∠ DCE=90°$，即$CD⊥ CE$，又CD是$\odot D$的半径，因此直线CE与$\odot D$相切。
【答案】
(2) ① $(5,1)$，$(1,-1)$ ② $2\sqrt{5}$ ③ $\frac{5}{4}π$ ④ 相切
【知识点】
垂径定理，圆锥的计算，切线的判定
【点评】
本题结合网格考查圆的相关应用，涵盖了圆心确定、坐标识别、半径计算、圆锥侧面展开计算及切线判定等内容，需要熟练运用勾股定理及逆定理、垂径定理等知识，综合性较强。
【难度系数】
0.6
5. 如图，AB是$\odot O$的直径，$BC=2\ \mathrm{cm}$，$∠ ABC=60°$.
(1) 求$\odot O$的直径.
(2) 若D是AB延长线上一点，连接CD，当BD长为多少时，CD与$\odot O$相切？
(3) 若动点E以2 cm/s的速度从点A出发沿着AB方向运动，同时动点F以1 cm/s的速度从点B出发沿BC方向运动. 设运动时间为$t\ \mathrm{s}(0＜t＜2)$，连接EF，当t为何值时，$△ BEF$为直角三角形？
(1) 求$\odot O$的直径.
(2) 若D是AB延长线上一点，连接CD，当BD长为多少时，CD与$\odot O$相切？
(3) 若动点E以2 cm/s的速度从点A出发沿着AB方向运动，同时动点F以1 cm/s的速度从点B出发沿BC方向运动. 设运动时间为$t\ \mathrm{s}(0＜t＜2)$，连接EF，当t为何值时，$△ BEF$为直角三角形？
答案：5. (1) $4\ \mathrm{cm}$ (2) $2\ \mathrm{cm}$ (3) $t=1$或$\frac{8}{5}$
解析：
【分析】
(1) 先利用直径所对的圆周角为直角，得到△ABC是直角三角形，再结合30°直角三角形的边角关系即可求出直径AB的长度；
(2) 连接OC，根据切线的性质可知OC⊥CD，先判定△OBC为等边三角形得到∠COD的度数，再利用直角三角形的边角关系求出OD的长度，减去OB的长度即可得到BD的长；
(3) 先根据运动时间t表示出BE、BF的长度，△BEF为直角三角形时分两种情况讨论：①∠EFB=90°；②∠FEB=90°，分别结合30°直角三角形的边角关系列方程求解，舍去不符合范围的解即可。
【解析】
(1)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ACB中，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∵30°角所对的直角边等于斜边的一半，BC=2 cm，
∴AB=2BC=4 cm，即⊙O的直径为4 cm。
(2) 连接OC，若CD与⊙O相切，则OC⊥CD（切线的性质：切线垂直于过切点的半径），
∵OB=OC，∠ABC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC=OB=BC=2 cm，∠COB=60°，
在Rt△OCD中，∠D=90°-60°=30°，
∴OD=2OC=4 cm，
∴BD=OD-OB=4-2=2 cm，即当BD长为2 cm时，CD与⊙O相切。
(3) 由题意得：AE=2t cm，BF=t cm，
∵AB=4 cm，
∴BE=AB-AE=(4-2t) cm，∠EBF=∠ABC=60°，
△BEF为直角三角形，分两种情况：
①当∠EFB=90°时，∠BEF=30°，
∴BE=2BF，
代入得：4-2t=2t，解得t=1，符合0＜t＜2；
②当∠FEB=90°时，∠BFE=30°，
∴BF=2BE，
代入得：t=2(4-2t)，解得t=$\frac{8}{5}$，符合0＜t＜2。
综上，t的值为1或$\frac{8}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$；(2) $\boldsymbol{2\ \mathrm{cm}}$；(3) $\boldsymbol{t=1}$或$\boldsymbol{\frac{8}{5}}$
【知识点】
1.圆周角定理；2.切线的性质；3.直角三角形的性质
【点评】
本题综合性较强，基础设问考查圆的核心性质，动点设问需要学生结合运动过程分类讨论，既巩固了基础知识点，又锻炼了分类讨论的数学思维，是圆章节的典型综合题。
【难度系数】
0.65
(1) 先利用直径所对的圆周角为直角，得到△ABC是直角三角形，再结合30°直角三角形的边角关系即可求出直径AB的长度；
(2) 连接OC，根据切线的性质可知OC⊥CD，先判定△OBC为等边三角形得到∠COD的度数，再利用直角三角形的边角关系求出OD的长度，减去OB的长度即可得到BD的长；
(3) 先根据运动时间t表示出BE、BF的长度，△BEF为直角三角形时分两种情况讨论：①∠EFB=90°；②∠FEB=90°，分别结合30°直角三角形的边角关系列方程求解，舍去不符合范围的解即可。
【解析】
(1)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ACB中，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∵30°角所对的直角边等于斜边的一半，BC=2 cm，
∴AB=2BC=4 cm，即⊙O的直径为4 cm。
(2) 连接OC，若CD与⊙O相切，则OC⊥CD（切线的性质：切线垂直于过切点的半径），
∵OB=OC，∠ABC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC=OB=BC=2 cm，∠COB=60°，
在Rt△OCD中，∠D=90°-60°=30°，
∴OD=2OC=4 cm，
∴BD=OD-OB=4-2=2 cm，即当BD长为2 cm时，CD与⊙O相切。
(3) 由题意得：AE=2t cm，BF=t cm，
∵AB=4 cm，
∴BE=AB-AE=(4-2t) cm，∠EBF=∠ABC=60°，
△BEF为直角三角形，分两种情况：
①当∠EFB=90°时，∠BEF=30°，
∴BE=2BF，
代入得：4-2t=2t，解得t=1，符合0＜t＜2；
②当∠FEB=90°时，∠BFE=30°，
∴BF=2BE，
代入得：t=2(4-2t)，解得t=$\frac{8}{5}$，符合0＜t＜2。
综上，t的值为1或$\frac{8}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$；(2) $\boldsymbol{2\ \mathrm{cm}}$；(3) $\boldsymbol{t=1}$或$\boldsymbol{\frac{8}{5}}$
【知识点】
1.圆周角定理；2.切线的性质；3.直角三角形的性质
【点评】
本题综合性较强，基础设问考查圆的核心性质，动点设问需要学生结合运动过程分类讨论，既巩固了基础知识点，又锻炼了分类讨论的数学思维，是圆章节的典型综合题。
【难度系数】
0.65
6. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BCA=90°$，$∠ BAC$的平分线交$△ ABC$外接圆于点$D$，连接$BD$，已知$AB=2AC=4$.
(1) 求$BD$的长；
(2) 设点$P$在$\overset{\frown}{CAB}$上由点$C$向点$B$移动，但不与点$C$，$B$重合，记$∠ PBC$的平分线与$PD$的交点为$I$，求点$I$随点$P$的移动所经过的路径长$l$的取值范围.
(1) 求$BD$的长；
(2) 设点$P$在$\overset{\frown}{CAB}$上由点$C$向点$B$移动，但不与点$C$，$B$重合，记$∠ PBC$的平分线与$PD$的交点为$I$，求点$I$随点$P$的移动所经过的路径长$l$的取值范围.
答案：6. (1) $2$ (2) $0＜l＜\frac{4}{3}π$
解析：
【分析】
(1) 首先根据直角三角形外接圆性质确定AB为外接圆直径，得到∠ADB为直角；再结合已知边长求出∠BAC的度数，利用角平分线得到∠BAD的度数，最后根据直角三角形中30°角的性质计算BD的长度。
(2) 先通过圆周角性质和角平分线定义进行角的等量代换，证明DI=DB，确定点I的轨迹是以D为圆心、BD为半径的圆弧；再求出轨迹对应的最大圆心角，结合P不与端点重合的条件，得到路径长的取值范围。
【解析】
(1)
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BCA=90°$，
∴AB是$△ ABC$外接圆的直径，根据直径所对圆周角为直角，得$∠ ADB=90°$。
∵$AB=2AC=4$，
∴$AC=2$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\cos∠ BAC=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴$∠ BAC=60°$。
∵AD平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，30°角对的直角边等于斜边的一半，
∴$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$。
(2)
∵AD平分$∠ BAC$，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，根据同弧所对圆周角相等，得$∠ DBC=∠ BAD$。
∵BI平分$∠ PBC$，
∴$∠ PBI=∠ CBI$。
∵$∠ DIB$是$△ PBI$的外角，
∴$∠ DIB=∠ BPD+∠ PBI$，
又
∵$∠ BPD=∠ BAD$（同弧$\overset{\frown}{BD}$所对圆周角相等），
∴$∠ DIB=∠ BAD+∠ PBI=∠ DBC+∠ CBI=∠ DBI$，
∴$DI=DB=2$，即点I的轨迹是以D为圆心，2为半径的圆弧。
∵$∠ BAC=60°$，
∴$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角为$120°$，即点I轨迹的最大圆心角为$120°$，
对应最大弧长为$\frac{120π×2}{180}=\frac{4}{3}π$。
∵点P不与C、B重合，
∴路径长$l$的取值范围是$0＜l＜\frac{4}{3}π$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{0＜l＜\frac{4}{3}π}$
【知识点】
圆周角定理；角平分线性质；弧长计算
【点评】
本题结合了圆的基本性质与动点轨迹问题，第一问侧重基础性质的应用，第二问的解题关键是通过角的等量关系推导出动点的运动轨迹，解题时需注意端点限制对取值范围的影响。
【难度系数】
0.65
(1) 首先根据直角三角形外接圆性质确定AB为外接圆直径，得到∠ADB为直角；再结合已知边长求出∠BAC的度数，利用角平分线得到∠BAD的度数，最后根据直角三角形中30°角的性质计算BD的长度。
(2) 先通过圆周角性质和角平分线定义进行角的等量代换，证明DI=DB，确定点I的轨迹是以D为圆心、BD为半径的圆弧；再求出轨迹对应的最大圆心角，结合P不与端点重合的条件，得到路径长的取值范围。
【解析】
(1)
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BCA=90°$，
∴AB是$△ ABC$外接圆的直径，根据直径所对圆周角为直角，得$∠ ADB=90°$。
∵$AB=2AC=4$，
∴$AC=2$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\cos∠ BAC=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴$∠ BAC=60°$。
∵AD平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，30°角对的直角边等于斜边的一半，
∴$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$。
(2)
∵AD平分$∠ BAC$，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，根据同弧所对圆周角相等，得$∠ DBC=∠ BAD$。
∵BI平分$∠ PBC$，
∴$∠ PBI=∠ CBI$。
∵$∠ DIB$是$△ PBI$的外角，
∴$∠ DIB=∠ BPD+∠ PBI$，
又
∵$∠ BPD=∠ BAD$（同弧$\overset{\frown}{BD}$所对圆周角相等），
∴$∠ DIB=∠ BAD+∠ PBI=∠ DBC+∠ CBI=∠ DBI$，
∴$DI=DB=2$，即点I的轨迹是以D为圆心，2为半径的圆弧。
∵$∠ BAC=60°$，
∴$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角为$120°$，即点I轨迹的最大圆心角为$120°$，
对应最大弧长为$\frac{120π×2}{180}=\frac{4}{3}π$。
∵点P不与C、B重合，
∴路径长$l$的取值范围是$0＜l＜\frac{4}{3}π$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{0＜l＜\frac{4}{3}π}$
【知识点】
圆周角定理；角平分线性质；弧长计算
【点评】
本题结合了圆的基本性质与动点轨迹问题，第一问侧重基础性质的应用，第二问的解题关键是通过角的等量关系推导出动点的运动轨迹，解题时需注意端点限制对取值范围的影响。
【难度系数】
0.65