活动一:理一理 议一议
平均数、中位数、众数有什么区别和联系？在解决实际问题时，如何合理地选用平均数、中位数和众数？
平均数、中位数、众数有什么区别和联系？在解决实际问题时，如何合理地选用平均数、中位数和众数？
答案：解：
联系
平均数、中位数、众数都是描述一组数据集中趋势的统计量，都可以作为数据的代表值，反映数据的一般水平。
区别
1. 定义与计算方式不同：
平均数是一组数据的总和除以数据总个数得到的结果，用到了所有数据的信息；
中位数是将一组数据按大小顺序排列后，若数据个数为奇数，取最中间位置的数，若数据个数为偶数，取最中间两个数的平均数，仅和数据的排列位置相关；
众数是一组数据中出现次数最多的数，无需复杂计算，一组数据的众数可能有1个、多个，也可能不存在。
2. 特性不同：
平均数容易受极端值（过大或过小的异常数据）的影响；中位数和众数都不受极端值的影响。
实际选用方法
1. 当数据不存在明显极端值，需要充分利用所有数据的信息，反映整体平均水平时，选用平均数，例如统计班级学生的期中测试平均成绩。
2. 当数据存在个别极端值，平均数无法合理代表数据的一般水平时，选用中位数，例如统计普通企业的普通员工月收入水平，避免少数高薪高管拉高平均工资造成误导。
3. 当问题重点是关注出现次数最多的特征时，选用众数，例如鞋店进货时参考销量最高的鞋码，确定主流进货规格。
联系
平均数、中位数、众数都是描述一组数据集中趋势的统计量，都可以作为数据的代表值，反映数据的一般水平。
区别
1. 定义与计算方式不同：
平均数是一组数据的总和除以数据总个数得到的结果，用到了所有数据的信息；
中位数是将一组数据按大小顺序排列后，若数据个数为奇数，取最中间位置的数，若数据个数为偶数，取最中间两个数的平均数，仅和数据的排列位置相关；
众数是一组数据中出现次数最多的数，无需复杂计算，一组数据的众数可能有1个、多个，也可能不存在。
2. 特性不同：
平均数容易受极端值（过大或过小的异常数据）的影响；中位数和众数都不受极端值的影响。
实际选用方法
1. 当数据不存在明显极端值，需要充分利用所有数据的信息，反映整体平均水平时，选用平均数，例如统计班级学生的期中测试平均成绩。
2. 当数据存在个别极端值，平均数无法合理代表数据的一般水平时，选用中位数，例如统计普通企业的普通员工月收入水平，避免少数高薪高管拉高平均工资造成误导。
3. 当问题重点是关注出现次数最多的特征时，选用众数，例如鞋店进货时参考销量最高的鞋码，确定主流进货规格。
解析：
【分析】
解决该问题可以分两个模块逐步梳理：首先先明确三类统计量的共同定位，二者都是描述数据集中趋势的代表值，以此为基础梳理联系；再从定义、计算方式、抗干扰特性三个维度逐一对比，梳理三者的区别；最后结合不同实际场景的需求，匹配对应特性的统计量，就能总结出合理选用的方法。
【解析】
联系
平均数、中位数、众数都是描述一组数据集中趋势的统计量，都可以作为数据的代表值，反映数据的一般水平。
区别
1. 定义与计算方式不同：
平均数是一组数据的总和除以数据总个数得到的结果，用到了所有数据的信息；
中位数是将一组数据按大小顺序排列后，若数据个数为奇数，取最中间位置的数，若数据个数为偶数，取最中间两个数的平均数，仅和数据的排列位置相关；
众数是一组数据中出现次数最多的数，无需复杂计算，一组数据的众数可能有1个、多个，也可能不存在。
2. 特性不同：
平均数容易受极端值（过大或过小的异常数据）的影响；中位数和众数都不受极端值的影响。
实际选用方法
1. 当数据不存在明显极端值，需要充分利用所有数据的信息，反映整体平均水平时，选用平均数，例如统计班级学生的期中测试平均成绩。
2. 当数据存在个别极端值，平均数无法合理代表数据的一般水平时，选用中位数，例如统计普通企业的普通员工月收入水平，避免少数高薪高管拉高平均工资造成误导。
3. 当问题重点是关注出现次数最多的特征时，选用众数，例如鞋店进货时参考销量最高的鞋码，确定主流进货规格。
【答案】
联系
平均数、中位数、众数都是描述一组数据集中趋势的统计量，都可以作为数据的代表值，反映数据的一般水平。
区别
1. 定义与计算方式不同：
平均数是一组数据的总和除以数据总个数得到的结果，用到了所有数据的信息；
中位数是将一组数据按大小顺序排列后，若数据个数为奇数，取最中间位置的数，若数据个数为偶数，取最中间两个数的平均数，仅和数据的排列位置相关；
众数是一组数据中出现次数最多的数，无需复杂计算，一组数据的众数可能有1个、多个，也可能不存在。
2. 特性不同：
平均数容易受极端值（过大或过小的异常数据）的影响；中位数和众数都不受极端值的影响。
实际选用方法
1. 当数据不存在明显极端值，需要充分利用所有数据的信息，反映整体平均水平时，选用平均数，例如统计班级学生的期中测试平均成绩。
2. 当数据存在个别极端值，平均数无法合理代表数据的一般水平时，选用中位数，例如统计普通企业的普通员工月收入水平，避免少数高薪高管拉高平均工资造成误导。
3. 当问题重点是关注出现次数最多的特征时，选用众数，例如鞋店进货时参考销量最高的鞋码，确定主流进货规格。
【知识点】
1. 平均数、中位数、众数的特征
2. 统计量的合理选用
【点评】
本题属于统计模块的基础应用题，既考查对三类集中趋势统计量核心概念的理解，也引导结合生活实际选择合适的统计量分析问题，很好地体现了数学知识的实用性。
【难度系数】
0.7
解决该问题可以分两个模块逐步梳理：首先先明确三类统计量的共同定位，二者都是描述数据集中趋势的代表值，以此为基础梳理联系；再从定义、计算方式、抗干扰特性三个维度逐一对比，梳理三者的区别；最后结合不同实际场景的需求，匹配对应特性的统计量，就能总结出合理选用的方法。
【解析】
联系
平均数、中位数、众数都是描述一组数据集中趋势的统计量，都可以作为数据的代表值，反映数据的一般水平。
区别
1. 定义与计算方式不同：
平均数是一组数据的总和除以数据总个数得到的结果，用到了所有数据的信息；
中位数是将一组数据按大小顺序排列后，若数据个数为奇数，取最中间位置的数，若数据个数为偶数，取最中间两个数的平均数，仅和数据的排列位置相关；
众数是一组数据中出现次数最多的数，无需复杂计算，一组数据的众数可能有1个、多个，也可能不存在。
2. 特性不同：
平均数容易受极端值（过大或过小的异常数据）的影响；中位数和众数都不受极端值的影响。
实际选用方法
1. 当数据不存在明显极端值，需要充分利用所有数据的信息，反映整体平均水平时，选用平均数，例如统计班级学生的期中测试平均成绩。
2. 当数据存在个别极端值，平均数无法合理代表数据的一般水平时，选用中位数，例如统计普通企业的普通员工月收入水平，避免少数高薪高管拉高平均工资造成误导。
3. 当问题重点是关注出现次数最多的特征时，选用众数，例如鞋店进货时参考销量最高的鞋码，确定主流进货规格。
【答案】
联系
平均数、中位数、众数都是描述一组数据集中趋势的统计量，都可以作为数据的代表值，反映数据的一般水平。
区别
1. 定义与计算方式不同：
平均数是一组数据的总和除以数据总个数得到的结果，用到了所有数据的信息；
中位数是将一组数据按大小顺序排列后，若数据个数为奇数，取最中间位置的数，若数据个数为偶数，取最中间两个数的平均数，仅和数据的排列位置相关；
众数是一组数据中出现次数最多的数，无需复杂计算，一组数据的众数可能有1个、多个，也可能不存在。
2. 特性不同：
平均数容易受极端值（过大或过小的异常数据）的影响；中位数和众数都不受极端值的影响。
实际选用方法
1. 当数据不存在明显极端值，需要充分利用所有数据的信息，反映整体平均水平时，选用平均数，例如统计班级学生的期中测试平均成绩。
2. 当数据存在个别极端值，平均数无法合理代表数据的一般水平时，选用中位数，例如统计普通企业的普通员工月收入水平，避免少数高薪高管拉高平均工资造成误导。
3. 当问题重点是关注出现次数最多的特征时，选用众数，例如鞋店进货时参考销量最高的鞋码，确定主流进货规格。
【知识点】
1. 平均数、中位数、众数的特征
2. 统计量的合理选用
【点评】
本题属于统计模块的基础应用题，既考查对三类集中趋势统计量核心概念的理解，也引导结合生活实际选择合适的统计量分析问题，很好地体现了数学知识的实用性。
【难度系数】
0.7
活动二:算一算 议一议
某销售公司有营销人员14人,销售部为了制订某种品牌净水器的月销售量定额,统计了这14人在某月的销售量如下表：
| 销售台数/台 | 20 | 18 | 14 | 9 | 7 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 人数 | 1 |
| 2 | 5 | 3 | 2 |
(1) 这14位销售员该月销售量的平均数、众数和中位数各是多少台？
(2) 销售部经理把每位销售员每月销售量定为10台,你认为是否合理,为什么?如果不合理,请你设计一个比较合理的销售定额,并说明理由。
某销售公司有营销人员14人,销售部为了制订某种品牌净水器的月销售量定额,统计了这14人在某月的销售量如下表：
| 销售台数/台 | 20 | 18 | 14 | 9 | 7 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 人数 | 1 |
| 2 | 5 | 3 | 2 |(1) 这14位销售员该月销售量的平均数、众数和中位数各是多少台？
(2) 销售部经理把每位销售员每月销售量定为10台,你认为是否合理,为什么?如果不合理,请你设计一个比较合理的销售定额,并说明理由。
答案：(1) 平均数10台，众数9台，中位数9台 (2) 不合理，因为达到指标的人数太少，应选9台比较合理，因为中位数和众数都是9台，能代表一般水平
解析：
【分析】
(1) 求解三个统计量：①平均数需先计算14人的总销售量，再除以总人数14即可得到；②众数是这组数据中出现次数最多的销售台数，观察对应人数最多的销售台数即可；③中位数是将14个销售数据从小到大排列后，取第7位和第8位数据的平均数。
(2) 判断定额是否合理，需要看该定额下有多少营销人员能够达到，若只有少数人能完成则不合理；选择销售定额时，应选取能代表大多数营销人员普遍销售水平的统计量，结合众数、中位数的意义分析即可。
【解析】
(1) 计算平均数：
总销售量 = $20×1 + 18×1 + 14×2 + 9×5 + 7×3 + 4×2 = 20 + 18 + 28 + 45 + 21 + 8 = 140$（台）
平均数 = $140÷14 = 10$（台）
求众数：销售9台的人数有5人，是所有销售台数中对应人数最多的，因此众数为9台。
求中位数：将14人的销售数据从小到大排列，总共有14个数据，取第7个和第8个数据的平均数。累计人数：销售4台的2人、销售7台的3人，共5人，接下来的5人都是销售9台，因此第7、第8个数据均为9台，中位数 = $(9+9)÷2 = 9$（台）
(2) 不合理。理由：若将销售量定为10台，只有销售20台、18台、14台的共$1+1+2=4$人能够达到，仅占总人数的少数，大部分营销人员都无法完成该定额，因此不合理。
比较合理的销售定额为9台，理由：这组数据的中位数和众数都是9台，代表了大多数营销人员的月销售一般水平，大部分员工都能达到该定额。
【答案】
(1) 平均数10台，众数9台，中位数9台
(2) 不合理，因为达到指标的人数太少，应选9台比较合理，因为中位数和众数都是9台，能代表一般水平
【知识点】
平均数计算，众数，中位数
【点评】
本题结合实际销售场景考查统计量的计算与应用，需要掌握平均数、中位数、众数的计算方法，同时理解不同统计量的实际意义，能结合实际情况选择合适的统计量作为参考标准，注重知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
(1) 求解三个统计量：①平均数需先计算14人的总销售量，再除以总人数14即可得到；②众数是这组数据中出现次数最多的销售台数，观察对应人数最多的销售台数即可；③中位数是将14个销售数据从小到大排列后，取第7位和第8位数据的平均数。
(2) 判断定额是否合理，需要看该定额下有多少营销人员能够达到，若只有少数人能完成则不合理；选择销售定额时，应选取能代表大多数营销人员普遍销售水平的统计量，结合众数、中位数的意义分析即可。
【解析】
(1) 计算平均数：
总销售量 = $20×1 + 18×1 + 14×2 + 9×5 + 7×3 + 4×2 = 20 + 18 + 28 + 45 + 21 + 8 = 140$（台）
平均数 = $140÷14 = 10$（台）
求众数：销售9台的人数有5人，是所有销售台数中对应人数最多的，因此众数为9台。
求中位数：将14人的销售数据从小到大排列，总共有14个数据，取第7个和第8个数据的平均数。累计人数：销售4台的2人、销售7台的3人，共5人，接下来的5人都是销售9台，因此第7、第8个数据均为9台，中位数 = $(9+9)÷2 = 9$（台）
(2) 不合理。理由：若将销售量定为10台，只有销售20台、18台、14台的共$1+1+2=4$人能够达到，仅占总人数的少数，大部分营销人员都无法完成该定额，因此不合理。
比较合理的销售定额为9台，理由：这组数据的中位数和众数都是9台，代表了大多数营销人员的月销售一般水平，大部分员工都能达到该定额。
【答案】
(1) 平均数10台，众数9台，中位数9台
(2) 不合理，因为达到指标的人数太少，应选9台比较合理，因为中位数和众数都是9台，能代表一般水平
【知识点】
平均数计算，众数，中位数
【点评】
本题结合实际销售场景考查统计量的计算与应用，需要掌握平均数、中位数、众数的计算方法，同时理解不同统计量的实际意义，能结合实际情况选择合适的统计量作为参考标准，注重知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
1. 园园想知道自己的体能测试成绩在班级中是否属于中等水平，她需了解全班同学成绩的 （
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.最低分数
人数
10
9
8
B
）A.平均数
B.中位数
C.众数
D.最低分数
人数
10
9
8
答案：B
解析：
【分析】
要解决这道题，首先明确题目核心需求：判断自身成绩是否属于班级中等水平，因此需要找到能反映一组数据中等水平的统计量。接下来只需逐一分析每个选项对应统计量的实际意义，和需求匹配即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 平均数反映的是全班成绩的平均水平，无法体现数据的中等位置，不符合要求；
B. 中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，位于最中间的数值（若数据个数为偶数则是中间两个数的平均数），恰好代表了数据的中等水平，将自己的成绩和中位数对比，就可以知道自己是否处于中等水平，符合要求；
C. 众数是一组数据中出现次数最多的数值，反映的是大多数人的成绩情况，不能代表中等水平，不符合要求；
D. 最低分数仅能反映全班最低的成绩，和中等水平无关，不符合要求。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
中位数的意义；统计量的选择；平均数与众数的概念
【点评】
这是统计板块的基础应用题，主要考查不同统计量的实际应用场景，只要准确区分各统计量的含义即可顺利解答，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确题目核心需求：判断自身成绩是否属于班级中等水平，因此需要找到能反映一组数据中等水平的统计量。接下来只需逐一分析每个选项对应统计量的实际意义，和需求匹配即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 平均数反映的是全班成绩的平均水平，无法体现数据的中等位置，不符合要求；
B. 中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，位于最中间的数值（若数据个数为偶数则是中间两个数的平均数），恰好代表了数据的中等水平，将自己的成绩和中位数对比，就可以知道自己是否处于中等水平，符合要求；
C. 众数是一组数据中出现次数最多的数值，反映的是大多数人的成绩情况，不能代表中等水平，不符合要求；
D. 最低分数仅能反映全班最低的成绩，和中等水平无关，不符合要求。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
中位数的意义；统计量的选择；平均数与众数的概念
【点评】
这是统计板块的基础应用题，主要考查不同统计量的实际应用场景，只要准确区分各统计量的含义即可顺利解答，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 某班体育委员对本班学生一周锻炼时间进行统计，绘制了如图所示的折线统计图.该班学生一周锻炼时间的中位数是
11
h.答案：
11
11
解析：
【分析】
要求该班学生一周锻炼时间的中位数，首先回忆中位数的定义：将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据总个数为奇数，中位数是中间位置的数；若总个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数。解题步骤如下：第一步，先根据折线统计图统计每个锻炼时长对应的人数，计算总人数，确定中位数对应的位置；第二步，从小到大累计各时长的人数，找到对应位置的数据，即可求出中位数。
【解析】
首先根据折线统计图获取各锻炼时长的人数：
锻炼9h的有6人，锻炼10h的有9人，锻炼11h的有10人，锻炼12h的有8人，锻炼13h的有7人。
总人数为：$6+9+10+8+7=40$人，总个数为偶数，因此中位数是将数据从小到大排列后第20个、第21个数据的平均数。
累计人数：锻炼时长≤9h的共6人，锻炼时长≤10h的共$6+9=15$人，锻炼时长≤11h的共$15+10=25$人。
由此可知第16~25个数据都是11h，因此第20、21个数据均为11h，中位数为$\frac{11+11}{2}=11(\mathrm{h})$。
【答案】
11
【知识点】
中位数的计算、折线统计图的应用
【点评】
本题结合折线统计图考查中位数的计算，解题核心是准确定位中位数对应的位置，再通过累计人数确定中位数的数值，是统计部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
要求该班学生一周锻炼时间的中位数，首先回忆中位数的定义：将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据总个数为奇数，中位数是中间位置的数；若总个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数。解题步骤如下：第一步，先根据折线统计图统计每个锻炼时长对应的人数，计算总人数，确定中位数对应的位置；第二步，从小到大累计各时长的人数，找到对应位置的数据，即可求出中位数。
【解析】
首先根据折线统计图获取各锻炼时长的人数：
锻炼9h的有6人，锻炼10h的有9人，锻炼11h的有10人，锻炼12h的有8人，锻炼13h的有7人。
总人数为：$6+9+10+8+7=40$人，总个数为偶数，因此中位数是将数据从小到大排列后第20个、第21个数据的平均数。
累计人数：锻炼时长≤9h的共6人，锻炼时长≤10h的共$6+9=15$人，锻炼时长≤11h的共$15+10=25$人。
由此可知第16~25个数据都是11h，因此第20、21个数据均为11h，中位数为$\frac{11+11}{2}=11(\mathrm{h})$。
【答案】
11
【知识点】
中位数的计算、折线统计图的应用
【点评】
本题结合折线统计图考查中位数的计算，解题核心是准确定位中位数对应的位置，再通过累计人数确定中位数的数值，是统计部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.8