3. 甲、乙、丙3家工厂在广告中都宣称，自己的某种电子产品的使用寿命是8年，质量检测部门从这3家工厂销售的产品中各抽查了10件，统计实际使用寿命如下(单位:年):
甲厂:4,5,5,5,5,7,9,12,13,15;乙厂:3,3,4,5,6,8,8,8,10,11;丙厂:3,4,4,4,7,9,10,11,11,12.
根据上述统计结果，请回答下列问题:
(1) 分别求出三组数据的平均数、中位数、众数.
(2) 这3家工厂的广告分别利用了哪一种表示“集中趋势”的特征数据?
(3) 如果你是顾客,会选购哪家工厂的产品?为什么?
甲厂:4,5,5,5,5,7,9,12,13,15;乙厂:3,3,4,5,6,8,8,8,10,11;丙厂:3,4,4,4,7,9,10,11,11,12.
根据上述统计结果，请回答下列问题:
(1) 分别求出三组数据的平均数、中位数、众数.
(2) 这3家工厂的广告分别利用了哪一种表示“集中趋势”的特征数据?
(3) 如果你是顾客,会选购哪家工厂的产品?为什么?
答案：(1) 甲厂产品寿命的平均数是8年，中位数是6年，众数是5年；乙厂产品寿命的平均数是6.6年，中位数是7年，众数是8年；丙厂产品寿命的平均数是7.5年，中位数是8年，众数是4年 (2) 甲厂用的是平均数，乙厂用的是众数，丙厂用的是中位数 (3) 因为甲厂的产品平均寿命最大，所以应选甲厂的产品(说得合理即可)
解析：
【分析】
解题思路如下：1. 求解第一问时，先明确平均数、中位数、众数的定义：平均数是所有数据之和除以数据总个数；中位数是将数据从小到大排序后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均值，若为奇数取中间的数；众数是一组数据中出现次数最多的数，分别代入三个厂的数据计算即可。2. 第二问将三个厂宣称的8年使用寿命，和各自计算出的三个统计量对比，找到匹配的特征数据即可。3. 第三问结合三个统计量代表的集中趋势含义，选择更具优势的厂家即可，理由合理即可。
【解析】
(1) 分别计算三组数据的统计量：
① 甲厂：
平均数：$\bar{x}_甲=\frac{4+5+5+5+5+7+9+12+13+15}{10}=\frac{80}{10}=8$（年）
数据已按从小到大排序，共10个数据，中间两个为第5个5和第6个7，中位数：$\frac{5+7}{2}=6$（年）
数据中5出现次数最多（共4次），众数为5年。
② 乙厂：
平均数：$\bar{x}_乙=\frac{3+3+4+5+6+8+8+8+10+11}{10}=\frac{66}{10}=6.6$（年）
数据已按从小到大排序，中间两个为第5个6和第6个8，中位数：$\frac{6+8}{2}=7$（年）
数据中8出现次数最多（共3次），众数为8年。
③ 丙厂：
平均数：$\bar{x}_丙=\frac{3+4+4+4+7+9+10+11+11+12}{10}=\frac{75}{10}=7.5$（年）
数据已按从小到大排序，中间两个为第5个7和第6个9，中位数：$\frac{7+9}{2}=8$（年）
数据中4出现次数最多（共3次），众数为4年。
(2) 对比三个厂宣称的8年使用寿命和各自的统计量：
甲厂的平均数为8年，因此甲厂利用了平均数；
乙厂的众数为8年，因此乙厂利用了众数；
丙厂的中位数为8年，因此丙厂利用了中位数。
(3) 选购甲厂的产品，因为甲厂产品的平均使用寿命最高，说明整体寿命水平优于另外两个厂，产品质量更稳定可靠。（理由合理即可）
【答案】
(1) 甲厂产品寿命的平均数是8年，中位数是6年，众数是5年；乙厂产品寿命的平均数是6.6年，中位数是7年，众数是8年；丙厂产品寿命的平均数是7.5年，中位数是8年，众数是4年
(2) 甲厂用的是平均数，乙厂用的是众数，丙厂用的是中位数
(3) 选购甲厂的产品，因为甲厂的产品平均寿命最大（说得合理即可）
【知识点】
平均数；中位数；众数
【点评】
本题结合生活实际考查数据集中趋势三类统计量的计算与应用，需要准确掌握三个统计量的定义，学会结合统计量的含义分析实际问题，做出合理判断。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 求解第一问时，先明确平均数、中位数、众数的定义：平均数是所有数据之和除以数据总个数；中位数是将数据从小到大排序后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均值，若为奇数取中间的数；众数是一组数据中出现次数最多的数，分别代入三个厂的数据计算即可。2. 第二问将三个厂宣称的8年使用寿命，和各自计算出的三个统计量对比，找到匹配的特征数据即可。3. 第三问结合三个统计量代表的集中趋势含义，选择更具优势的厂家即可，理由合理即可。
【解析】
(1) 分别计算三组数据的统计量：
① 甲厂：
平均数：$\bar{x}_甲=\frac{4+5+5+5+5+7+9+12+13+15}{10}=\frac{80}{10}=8$（年）
数据已按从小到大排序，共10个数据，中间两个为第5个5和第6个7，中位数：$\frac{5+7}{2}=6$（年）
数据中5出现次数最多（共4次），众数为5年。
② 乙厂：
平均数：$\bar{x}_乙=\frac{3+3+4+5+6+8+8+8+10+11}{10}=\frac{66}{10}=6.6$（年）
数据已按从小到大排序，中间两个为第5个6和第6个8，中位数：$\frac{6+8}{2}=7$（年）
数据中8出现次数最多（共3次），众数为8年。
③ 丙厂：
平均数：$\bar{x}_丙=\frac{3+4+4+4+7+9+10+11+11+12}{10}=\frac{75}{10}=7.5$（年）
数据已按从小到大排序，中间两个为第5个7和第6个9，中位数：$\frac{7+9}{2}=8$（年）
数据中4出现次数最多（共3次），众数为4年。
(2) 对比三个厂宣称的8年使用寿命和各自的统计量：
甲厂的平均数为8年，因此甲厂利用了平均数；
乙厂的众数为8年，因此乙厂利用了众数；
丙厂的中位数为8年，因此丙厂利用了中位数。
(3) 选购甲厂的产品，因为甲厂产品的平均使用寿命最高，说明整体寿命水平优于另外两个厂，产品质量更稳定可靠。（理由合理即可）
【答案】
(1) 甲厂产品寿命的平均数是8年，中位数是6年，众数是5年；乙厂产品寿命的平均数是6.6年，中位数是7年，众数是8年；丙厂产品寿命的平均数是7.5年，中位数是8年，众数是4年
(2) 甲厂用的是平均数，乙厂用的是众数，丙厂用的是中位数
(3) 选购甲厂的产品，因为甲厂的产品平均寿命最大（说得合理即可）
【知识点】
平均数；中位数；众数
【点评】
本题结合生活实际考查数据集中趋势三类统计量的计算与应用，需要准确掌握三个统计量的定义，学会结合统计量的含义分析实际问题，做出合理判断。
【难度系数】
0.7
1.一组数据由5个正整数组成，中位数是3，众数是7且唯一，则这5个正整数的平均数
答案：4
解析：
【分析】
解题时需结合中位数、众数的定义逐步推导数据：第一步，5个正整数按从小到大排序后，中位数是第3个数，可直接确定第3个数为3；第二步，众数是7且唯一，说明7的出现次数最多，且没有其他数的出现次数与7相同，由于第3个数是3，7只能出现在第4、5位，要保证7的出现次数最多，第4、5位都需是7，即7出现2次；第三步，限制前两个数的取值：前两个数需为小于3的正整数，且不能相等、不能等于3（否则会出现另一个出现2次的数，导致众数不唯一），小于3的正整数只有1和2，因此可确定全部5个数据，最后计算平均数即可。
【解析】
设这5个正整数按从小到大的顺序排列为$a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e$：
1. 根据中位数的定义，5个数据的中位数是第3个数据，可得$c=3$；
2. 已知众数是7且唯一，说明7的出现次数最多，由于$c=3$，7只能位于$d、e$的位置，要让7的出现次数最多，则$d=e=7$，此时7共出现2次；
3. 要保证众数唯一，其余数字的出现次数都需小于2，即$a ≠ b$，且$a、b$都不能等于3（否则3也会出现2次，与众数唯一矛盾），又因为$a、b$是小于3的正整数，因此$a=1，b=2$；
4. 这组数据为1、2、3、7、7，计算平均数：
$\bar{x}=\frac{1+2+3+7+7}{5}=\frac{20}{5}=4$
【答案】
4
【知识点】
中位数的定义；众数的定义；平均数的计算
【点评】
本题核心考查对中位数、众数概念的灵活运用，解题的关键是抓住“众数唯一”的限制条件推导所有符合要求的数据，避免因忽略限制导致数据推导错误。
【难度系数】
0.7
解题时需结合中位数、众数的定义逐步推导数据：第一步，5个正整数按从小到大排序后，中位数是第3个数，可直接确定第3个数为3；第二步，众数是7且唯一，说明7的出现次数最多，且没有其他数的出现次数与7相同，由于第3个数是3，7只能出现在第4、5位，要保证7的出现次数最多，第4、5位都需是7，即7出现2次；第三步，限制前两个数的取值：前两个数需为小于3的正整数，且不能相等、不能等于3（否则会出现另一个出现2次的数，导致众数不唯一），小于3的正整数只有1和2，因此可确定全部5个数据，最后计算平均数即可。
【解析】
设这5个正整数按从小到大的顺序排列为$a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e$：
1. 根据中位数的定义，5个数据的中位数是第3个数据，可得$c=3$；
2. 已知众数是7且唯一，说明7的出现次数最多，由于$c=3$，7只能位于$d、e$的位置，要让7的出现次数最多，则$d=e=7$，此时7共出现2次；
3. 要保证众数唯一，其余数字的出现次数都需小于2，即$a ≠ b$，且$a、b$都不能等于3（否则3也会出现2次，与众数唯一矛盾），又因为$a、b$是小于3的正整数，因此$a=1，b=2$；
4. 这组数据为1、2、3、7、7，计算平均数：
$\bar{x}=\frac{1+2+3+7+7}{5}=\frac{20}{5}=4$
【答案】
4
【知识点】
中位数的定义；众数的定义；平均数的计算
【点评】
本题核心考查对中位数、众数概念的灵活运用，解题的关键是抓住“众数唯一”的限制条件推导所有符合要求的数据，避免因忽略限制导致数据推导错误。
【难度系数】
0.7
2. 为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了诗词大赛，本次比赛随机抽取了30名学生参加了诗词积累和诗词运用比赛，该校对他们的这两项成绩（百分制）分别进行了整理和分析（A组：$60≤ x＜70$，B组：$70≤ x＜80$，C组：$80≤ x＜90$，D组：$90≤ x≤100$），部分信息如下：
① 诗词积累成绩频数分布直方图和诗词积累成绩扇形统计图分别如图①和图②所示.
② 诗词积累成绩中C组的分数由低到高依次为81,81,82,83,83,84,84,85,86,88,88,88,89.
③ 诗词积累、诗词运用成绩的平均数、中位数、众数、最高分分别如下表所示：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中$m=$
（2）小明同学参加了本次诗词大赛，他的诗词积累、诗词运用都是83分，那么他成绩排名靠前的是
（3）请你选两个角度分析该校学生诗词积累和诗词运用的情况，并提出合理建议.
① 诗词积累成绩频数分布直方图和诗词积累成绩扇形统计图分别如图①和图②所示.
② 诗词积累成绩中C组的分数由低到高依次为81,81,82,83,83,84,84,85,86,88,88,88,89.
③ 诗词积累、诗词运用成绩的平均数、中位数、众数、最高分分别如下表所示：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中$m=$
82.5
分，扇形统计图中，C组所对的角心角为156°
；（2）小明同学参加了本次诗词大赛，他的诗词积累、诗词运用都是83分，那么他成绩排名靠前的是
诗词积累
（填“诗词积累”或“诗词运用”），理由是诗词积累成绩83大于其中位数，说明成绩在中等水平之上；诗词运用成绩小于其中位数，说明成绩在中等水平之下
；（3）请你选两个角度分析该校学生诗词积累和诗词运用的情况，并提出合理建议.
答案：(1) 82.5，156° (2) 诗词积累，诗词积累成绩83大于其中位数，说明成绩在中等水平之上；诗词运用成绩小于其中位数，说明成绩在中等水平之下 (3) 从平均数看，诗词积累略好于诗词运用；从中位数看诗词运用处于中间的人数的成绩略好于诗词积累；建议学校活动策划侧重于诗词运用的学习
解析：
【分析】
（1）求中位数m时，首先明确30个样本的中位数是排序后第15、16个数据的平均数，先通过扇形统计图计算A、B组人数，确定第15、16个数据落在C组，再结合C组的排序数据计算平均数即可；求C组对应圆心角，先算出C组人数占总人数的比例，再乘360°即可。
（2）判断排名可对比成绩和中位数的大小：成绩大于中位数说明排名在总人数前50%，小于中位数说明排名在总人数后50%，将83分分别和两项成绩的中位数对比即可得出结论。
（3）可结合给出的平均数、中位数等统计量，从两个不同维度对比两项成绩的整体情况，再针对性提出合理建议。
【解析】
（1）①总人数为30人，诗词积累成绩的中位数是从小到大排序后第15、16个成绩的平均数。由扇形统计图得：A组人数为$30×10\%=3$人，B组人数为$30×20\%=6$人，A、B组共$3+6=9$人，因此第15、16个成绩均在C组。结合C组的排序数据可得第15个成绩为82，第16个成绩为83，因此$m=\frac{82+83}{2}=82.5$。
②由题可知C组共13人，占总人数的比例为$\frac{13}{30}$，对应圆心角为$360°×\frac{13}{30}=156°$。
（2）小明两项成绩均为83分，诗词积累的中位数为82.5，$83＞82.5$，说明小明诗词积累成绩排在前50%，属于中等偏上水平；诗词运用成绩83小于其中位数，说明诗词运用成绩排在后50%，属于中等偏下水平，因此他成绩排名靠前的是诗词积累。
（3）分析角度示例：①从平均数看，诗词积累的平均数高于诗词运用，说明学生整体诗词积累水平略好于诗词运用；②从中位数看，诗词运用的中位数高于诗词积累，说明诗词运用中等水平学生的成绩优于诗词积累中等水平学生的成绩。建议：学校可多开展诗词情景运用、诗词创作类活动，侧重提升学生的诗词运用能力。
【答案】
(1) 82.5，$156°$
(2) 诗词积累，诗词积累成绩83大于其中位数，说明成绩在中等水平之上；诗词运用成绩小于其中位数，说明成绩在中等水平之下
(3) 从平均数看，诗词积累略好于诗词运用；从中位数看诗词运用处于中间的人数的成绩略好于诗词积累；建议学校活动策划侧重于诗词运用的学习
【知识点】
中位数，扇形统计图，统计量分析
【点评】
本题结合传统文化热点场景，考查统计知识的实际应用，需要学生掌握中位数计算、扇形图圆心角计算方法，能灵活运用统计量分析数据特征，解决实际问题。
【难度系数】
0.7
（1）求中位数m时，首先明确30个样本的中位数是排序后第15、16个数据的平均数，先通过扇形统计图计算A、B组人数，确定第15、16个数据落在C组，再结合C组的排序数据计算平均数即可；求C组对应圆心角，先算出C组人数占总人数的比例，再乘360°即可。
（2）判断排名可对比成绩和中位数的大小：成绩大于中位数说明排名在总人数前50%，小于中位数说明排名在总人数后50%，将83分分别和两项成绩的中位数对比即可得出结论。
（3）可结合给出的平均数、中位数等统计量，从两个不同维度对比两项成绩的整体情况，再针对性提出合理建议。
【解析】
（1）①总人数为30人，诗词积累成绩的中位数是从小到大排序后第15、16个成绩的平均数。由扇形统计图得：A组人数为$30×10\%=3$人，B组人数为$30×20\%=6$人，A、B组共$3+6=9$人，因此第15、16个成绩均在C组。结合C组的排序数据可得第15个成绩为82，第16个成绩为83，因此$m=\frac{82+83}{2}=82.5$。
②由题可知C组共13人，占总人数的比例为$\frac{13}{30}$，对应圆心角为$360°×\frac{13}{30}=156°$。
（2）小明两项成绩均为83分，诗词积累的中位数为82.5，$83＞82.5$，说明小明诗词积累成绩排在前50%，属于中等偏上水平；诗词运用成绩83小于其中位数，说明诗词运用成绩排在后50%，属于中等偏下水平，因此他成绩排名靠前的是诗词积累。
（3）分析角度示例：①从平均数看，诗词积累的平均数高于诗词运用，说明学生整体诗词积累水平略好于诗词运用；②从中位数看，诗词运用的中位数高于诗词积累，说明诗词运用中等水平学生的成绩优于诗词积累中等水平学生的成绩。建议：学校可多开展诗词情景运用、诗词创作类活动，侧重提升学生的诗词运用能力。
【答案】
(1) 82.5，$156°$
(2) 诗词积累，诗词积累成绩83大于其中位数，说明成绩在中等水平之上；诗词运用成绩小于其中位数，说明成绩在中等水平之下
(3) 从平均数看，诗词积累略好于诗词运用；从中位数看诗词运用处于中间的人数的成绩略好于诗词积累；建议学校活动策划侧重于诗词运用的学习
【知识点】
中位数，扇形统计图，统计量分析
【点评】
本题结合传统文化热点场景，考查统计知识的实际应用，需要学生掌握中位数计算、扇形图圆心角计算方法，能灵活运用统计量分析数据特征，解决实际问题。
【难度系数】
0.7