8. 如图，直线AB，CD分别与EF相交于点G，H，已知∠1=70°，∠2=70°，判断AB与CD是否平行，并说明理由。
答案：8. $AB// CD$. 因为$∠ 1=∠ AGH$,$∠ 1=∠ 2=70°$,所以$∠ 2=∠ AGH$,所以$AB// CD$
解析：
【分析】
要判断AB与CD是否平行，可借助平行线的判定定理分析：首先观察角的位置关系，∠1和∠AGH是对顶角，根据对顶角相等可得到∠1=∠AGH，再结合已知∠1和∠2均为70°，可推出∠AGH和∠2相等，而∠AGH与∠2是直线AB、CD被EF所截形成的同位角，根据同位角相等两直线平行，即可得出AB与CD的位置关系。
【解析】
解：AB//CD，理由如下：
∵ ∠1与∠AGH是对顶角，
∴ ∠1=∠AGH（对顶角相等），
已知∠1=70°，∠2=70°，
∴ ∠AGH=∠2=70°，
∴ AB//CD（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
$AB// CD$. 因为$∠ 1=∠ AGH$,$∠ 1=∠ 2=70°$,所以$∠ 2=∠ AGH$,所以$AB// CD$
【知识点】
对顶角相等；平行线的判定
【点评】
本题是基础类题目，结合对顶角的性质考查平行线的判定方法，熟练掌握相关几何性质和判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断AB与CD是否平行，可借助平行线的判定定理分析：首先观察角的位置关系，∠1和∠AGH是对顶角，根据对顶角相等可得到∠1=∠AGH，再结合已知∠1和∠2均为70°，可推出∠AGH和∠2相等，而∠AGH与∠2是直线AB、CD被EF所截形成的同位角，根据同位角相等两直线平行，即可得出AB与CD的位置关系。
【解析】
解：AB//CD，理由如下：
∵ ∠1与∠AGH是对顶角，
∴ ∠1=∠AGH（对顶角相等），
已知∠1=70°，∠2=70°，
∴ ∠AGH=∠2=70°，
∴ AB//CD（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
$AB// CD$. 因为$∠ 1=∠ AGH$,$∠ 1=∠ 2=70°$,所以$∠ 2=∠ AGH$,所以$AB// CD$
【知识点】
对顶角相等；平行线的判定
【点评】
本题是基础类题目，结合对顶角的性质考查平行线的判定方法，熟练掌握相关几何性质和判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9. 如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连接OF.
（1）判断OC与OD是否垂直，并说明理由；
（2）若∠D与∠1互余，判断ED与AB是否平行，并说明理由.
（1）判断OC与OD是否垂直，并说明理由；
（2）若∠D与∠1互余，判断ED与AB是否平行，并说明理由.
答案：9. (1) $OC⊥ OD$. 因为OC平分$∠ AOF$,OD平分$∠ BOF$,所以$∠ COF=\frac{1}{2}∠ AOF$,$∠ DOF=\frac{1}{2}∠ BOF$,因为$∠ AOF+∠ BOF=180°$,所以$∠ COF+∠ DOF=\frac{1}{2}(∠ AOF+∠ BOF)=90°$,所以$OC⊥ OD$ (2) $ED// AB$. 由(1)知,$OC⊥ OD$,所以$∠ COD=90°$,所以$∠ 1+∠ DOB=90°$,因为$∠ D+∠ 1=90°$,所以$∠ D=∠ DOB$,所以$ED// AB$
解析：
【分析】
（1）判断两条直线是否垂直，只需证明两直线的夹角为90°。已知OC、OD分别平分∠AOF和∠BOF，结合AB是直线，∠AOB为平角等于180°，可通过角平分线的定义将∠COD转化为∠AOF与∠BOF和的一半，计算得到∠COD的度数即可判断是否垂直。
（2）判断两条直线是否平行，可通过平行线判定定理寻找角的等量关系。已知∠D与∠1互余，结合（1）中得到的∠COD=90°，可推出∠1与∠DOB互余，利用同角的余角相等得到∠D和∠DOB相等，这两个角是内错角，根据内错角相等两直线平行即可判断ED与AB的位置关系。
【解析】
（1）$OC⊥ OD$，理由如下：
∵ OC平分$∠ AOF$，OD平分$∠ BOF$
∴ $∠ COF=\frac{1}{2}∠ AOF$，$∠ DOF=\frac{1}{2}∠ BOF$
∵ 点O在直线AB上，$∠ AOF+∠ BOF=∠ AOB=180°$
∴ $∠ COF+∠ DOF=\frac{1}{2}(∠ AOF+∠ BOF)=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$∠ COD=90°$
∴ $OC⊥ OD$
（2）$ED// AB$，理由如下：
由（1）可知$∠ COD=90°$
∴ $∠ 1+∠ DOB=180°-∠ COD=90°$
∵ $∠ D$与$∠ 1$互余
∴ $∠ D+∠ 1=90°$
∴ $∠ D=∠ DOB$（同角的余角相等）
∴ $ED// AB$（内错角相等，两直线平行）
【答案】
(1) $OC⊥ OD$，理由见解析；
(2) $ED// AB$，理由见解析。
【知识点】
角平分线的定义；垂直的判定；平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是熟练掌握角的数量关系转化，灵活运用角平分线性质、垂直判定和平行线判定定理，是巩固几何基础的典型练习题。
【难度系数】
0.8
（1）判断两条直线是否垂直，只需证明两直线的夹角为90°。已知OC、OD分别平分∠AOF和∠BOF，结合AB是直线，∠AOB为平角等于180°，可通过角平分线的定义将∠COD转化为∠AOF与∠BOF和的一半，计算得到∠COD的度数即可判断是否垂直。
（2）判断两条直线是否平行，可通过平行线判定定理寻找角的等量关系。已知∠D与∠1互余，结合（1）中得到的∠COD=90°，可推出∠1与∠DOB互余，利用同角的余角相等得到∠D和∠DOB相等，这两个角是内错角，根据内错角相等两直线平行即可判断ED与AB的位置关系。
【解析】
（1）$OC⊥ OD$，理由如下：
∵ OC平分$∠ AOF$，OD平分$∠ BOF$
∴ $∠ COF=\frac{1}{2}∠ AOF$，$∠ DOF=\frac{1}{2}∠ BOF$
∵ 点O在直线AB上，$∠ AOF+∠ BOF=∠ AOB=180°$
∴ $∠ COF+∠ DOF=\frac{1}{2}(∠ AOF+∠ BOF)=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$∠ COD=90°$
∴ $OC⊥ OD$
（2）$ED// AB$，理由如下：
由（1）可知$∠ COD=90°$
∴ $∠ 1+∠ DOB=180°-∠ COD=90°$
∵ $∠ D$与$∠ 1$互余
∴ $∠ D+∠ 1=90°$
∴ $∠ D=∠ DOB$（同角的余角相等）
∴ $ED// AB$（内错角相等，两直线平行）
【答案】
(1) $OC⊥ OD$，理由见解析；
(2) $ED// AB$，理由见解析。
【知识点】
角平分线的定义；垂直的判定；平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是熟练掌握角的数量关系转化，灵活运用角平分线性质、垂直判定和平行线判定定理，是巩固几何基础的典型练习题。
【难度系数】
0.8
10.（1）如图，点G在CD上，$∠ BAG=60°$，$∠ AGD=120°$，AB与DG平行吗？说明理由.
（2）在（1）的条件下，AE平分$∠ BAG$，GF平分$∠ AGC$，判断AE与GF的位置关系，并说明理由.
（2）在（1）的条件下，AE平分$∠ BAG$，GF平分$∠ AGC$，判断AE与GF的位置关系，并说明理由.
答案：10. (1) 平行. 因为$∠ BAG+∠ AGD=180°$,所以$AB// DG$ (2) 平行. 因为$AB// DG$,所以$∠ BAG=∠ AGC$. 因为AE平分$∠ BAG$,所以$∠ 1=\frac{1}{2}∠ BAG$. 因为GF平分$∠ AGC$,所以$∠ 2=\frac{1}{2}∠ AGC$,得$∠ 1=∠ 2$,所以$AE// GF$
解析：
【分析】
（1）判断AB与DG是否平行，可根据平行线的判定定理分析：∠BAG和∠AGD是直线AB、DG被直线AG所截形成的同旁内角，若二者之和为180°，即可判定两直线平行，结合已知角度计算即可验证。
（2）判断AE与GF的位置关系，先利用（1）的平行结论，由平行线的性质得到∠BAG与∠AGC相等，再结合角平分线的定义推导∠1和∠2的数量关系，∠1和∠2是直线AE、GF被AG所截的内错角，若二者相等即可判定两直线平行。
【解析】
(1) $AB// DG$，理由如下：
已知$∠ BAG=60°$，$∠ AGD=120°$，
因此$∠ BAG + ∠ AGD = 60° + 120° = 180°$，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$AB// DG$。
(2) $AE// GF$，理由如下：
由(1)可知$AB// DG$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠ BAG = ∠ AGC$。
因为AE平分$∠ BAG$，根据角平分线的定义，得$∠ 1=\frac{1}{2}∠ BAG$；
因为GF平分$∠ AGC$，根据角平分线的定义，得$∠ 2=\frac{1}{2}∠ AGC$，
因此$∠ 1 = ∠ 2$，
根据“内错角相等，两直线平行”，可得$AE// GF$。
【答案】
(1) 平行. 因为$∠ BAG+∠ AGD=180°$,所以$AB// DG$
(2) 平行. 因为$AB// DG$,所以$∠ BAG=∠ AGC$. 因为AE平分$∠ BAG$,所以$∠ 1=\frac{1}{2}∠ BAG$. 因为GF平分$∠ AGC$,所以$∠ 2=\frac{1}{2}∠ AGC$,得$∠ 1=∠ 2$,所以$AE// GF$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于平行线相关的基础题型，核心考查平行线判定定理和性质的综合应用，解题时需结合图形理清角的位置关系，熟练运用角平分线完成角度的等量转化即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）判断AB与DG是否平行，可根据平行线的判定定理分析：∠BAG和∠AGD是直线AB、DG被直线AG所截形成的同旁内角，若二者之和为180°，即可判定两直线平行，结合已知角度计算即可验证。
（2）判断AE与GF的位置关系，先利用（1）的平行结论，由平行线的性质得到∠BAG与∠AGC相等，再结合角平分线的定义推导∠1和∠2的数量关系，∠1和∠2是直线AE、GF被AG所截的内错角，若二者相等即可判定两直线平行。
【解析】
(1) $AB// DG$，理由如下：
已知$∠ BAG=60°$，$∠ AGD=120°$，
因此$∠ BAG + ∠ AGD = 60° + 120° = 180°$，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$AB// DG$。
(2) $AE// GF$，理由如下：
由(1)可知$AB// DG$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠ BAG = ∠ AGC$。
因为AE平分$∠ BAG$，根据角平分线的定义，得$∠ 1=\frac{1}{2}∠ BAG$；
因为GF平分$∠ AGC$，根据角平分线的定义，得$∠ 2=\frac{1}{2}∠ AGC$，
因此$∠ 1 = ∠ 2$，
根据“内错角相等，两直线平行”，可得$AE// GF$。
【答案】
(1) 平行. 因为$∠ BAG+∠ AGD=180°$,所以$AB// DG$
(2) 平行. 因为$AB// DG$,所以$∠ BAG=∠ AGC$. 因为AE平分$∠ BAG$,所以$∠ 1=\frac{1}{2}∠ BAG$. 因为GF平分$∠ AGC$,所以$∠ 2=\frac{1}{2}∠ AGC$,得$∠ 1=∠ 2$,所以$AE// GF$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于平行线相关的基础题型，核心考查平行线判定定理和性质的综合应用，解题时需结合图形理清角的位置关系，熟练运用角平分线完成角度的等量转化即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
11. 一副三角板按图①的方式叠放，现将含$45°$角的三角板$ADE$固定不动，将含$30°$角的三角板$ABC$绕顶点$A$按顺时针方向转动至图②位置，在这个过程中，当$∠ CAE=15°$时，$BC// DE$（图③），除此之外，要使两个三角板至少有一组边互相平行，$∠ CAE$的大小还可能为
60°或105°或135°
。答案：11. $60°$或$105°$或$135°$
解析：
【分析】
首先明确两块三角板的固定角度：等腰直角三角板ADE中，∠DAE=∠DEA=45°，∠D=90°；含30°角的直角三角板ABC中，∠BAC=30°，∠B=90°，∠C=60°。要求除∠CAE=15°外的其他符合条件的角度，需分情况讨论两块三角板不同边互相平行的情形，结合平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），代入已知角度计算∠CAE的度数即可，注意不要漏解。
【解析】
解：根据三角板的角度特征，得：∠DAE=45°，∠DEA=45°，∠BAC=30°，∠B=90°，∠C=60°，分情况讨论：
1. 当$BC// AE$时：
BC与AE平行，∠B和∠BAE是同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得$∠ B + ∠ BAE = 180°$，
代入∠B=90°，得$∠ BAE = 180° - 90° = 90°$，
因此$∠ CAE = ∠ BAE - ∠ BAC = 90° - 30° = 60°$；
2. 当$AD// BC$时：
AD与BC平行，∠C和∠CAD是内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠ CAD = ∠ C = 60°$，
因此$∠ CAE = ∠ CAD + ∠ DAE = 60° + 45° = 105°$；
3. 当$AC// DE$时：
AC与DE平行，∠CAE和∠DEA是同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得$∠ CAE + ∠ DEA = 180°$，
代入∠DEA=45°，得$∠ CAE = 180° - 45° = 135°$。
综上，符合条件的∠CAE的大小为60°或105°或135°。
【答案】
$60°$或$105°$或$135°$
【知识点】
平行线的性质，三角板角度特征，分类讨论思想
【点评】
本题结合三角板转动的情境考查平行线的性质应用，解题的关键是全面考虑不同边平行的所有情况，避免漏解，能很好地锻炼学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
首先明确两块三角板的固定角度：等腰直角三角板ADE中，∠DAE=∠DEA=45°，∠D=90°；含30°角的直角三角板ABC中，∠BAC=30°，∠B=90°，∠C=60°。要求除∠CAE=15°外的其他符合条件的角度，需分情况讨论两块三角板不同边互相平行的情形，结合平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），代入已知角度计算∠CAE的度数即可，注意不要漏解。
【解析】
解：根据三角板的角度特征，得：∠DAE=45°，∠DEA=45°，∠BAC=30°，∠B=90°，∠C=60°，分情况讨论：
1. 当$BC// AE$时：
BC与AE平行，∠B和∠BAE是同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得$∠ B + ∠ BAE = 180°$，
代入∠B=90°，得$∠ BAE = 180° - 90° = 90°$，
因此$∠ CAE = ∠ BAE - ∠ BAC = 90° - 30° = 60°$；
2. 当$AD// BC$时：
AD与BC平行，∠C和∠CAD是内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠ CAD = ∠ C = 60°$，
因此$∠ CAE = ∠ CAD + ∠ DAE = 60° + 45° = 105°$；
3. 当$AC// DE$时：
AC与DE平行，∠CAE和∠DEA是同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得$∠ CAE + ∠ DEA = 180°$，
代入∠DEA=45°，得$∠ CAE = 180° - 45° = 135°$。
综上，符合条件的∠CAE的大小为60°或105°或135°。
【答案】
$60°$或$105°$或$135°$
【知识点】
平行线的性质，三角板角度特征，分类讨论思想
【点评】
本题结合三角板转动的情境考查平行线的性质应用，解题的关键是全面考虑不同边平行的所有情况，避免漏解，能很好地锻炼学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6