8. 任意拿一张四边形纸片ABCD（如图），按如下方式折叠：先过顶点A随意折出一道折痕AE，再分别把过顶点A的两条边AB，AD都折叠到与AE重叠的位置，折痕分别为AF和AG. 此时∠FAG与∠BAD有怎样的数量关系？为什么？如果是五边形纸片呢？
答案：8. $∠ FAG=\frac{1}{2}∠ BAD$. 理由如下:因为$∠ BAE+∠ DAE=∠ BAD$，$∠ FAE=\frac{1}{2}∠ BAE$，$∠ GAE=\frac{1}{2}∠ DAE$，所以$∠ FAG=∠ FAE+∠ GAE=\frac{1}{2}∠ BAE+\frac{1}{2}∠ DAE=\frac{1}{2}(∠ BAE+∠ DAE)=\frac{1}{2}∠ BAD$. 对任意的多边形都成立
解析：
【分析】
解决本题的核心是利用折叠的性质：折叠前后重合的角相等，可知折痕AF、AG分别是∠BAE、∠DAE的角平分线。接下来将∠FAG拆分为∠FAE与∠GAE的和，再结合角平分线的性质把这两个角转化为对应原角的一半，最后通过角的和差运算即可推导∠FAG与∠BAD的数量关系，五边形的推理逻辑和四边形完全一致。
【解析】
解：四边形中$∠ FAG=\frac{1}{2}∠ BAD$，理由如下：
由折叠的性质可知，AF平分$∠ BAE$，AG平分$∠ DAE$，
∴$∠ FAE=\frac{1}{2}∠ BAE$，$∠ GAE=\frac{1}{2}∠ DAE$，
又
∵$∠ BAE + ∠ DAE = ∠ BAD$，
∴$∠ FAG = ∠ FAE + ∠ GAE = \frac{1}{2}∠ BAE + \frac{1}{2}∠ DAE = \frac{1}{2}(∠ BAE + ∠ DAE) = \frac{1}{2}∠ BAD$。
五边形纸片进行相同操作时，推理过程和四边形一致，该结论仍然成立，且此结论对任意多边形的同类折叠都成立。
【答案】
四边形中$∠ FAG=\frac{1}{2}∠ BAD$，五边形中该结论同样成立，对任意多边形的同类折叠都成立。
【知识点】
折叠的性质；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于角度运算的基础题，解题关键是抓住折叠前后对应角相等的性质，将待求角拆分为已知角的和差形式，通过角平分线的定义完成角度转化，所得结论具有通用性，可推广到更多同类折叠场景。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是利用折叠的性质：折叠前后重合的角相等，可知折痕AF、AG分别是∠BAE、∠DAE的角平分线。接下来将∠FAG拆分为∠FAE与∠GAE的和，再结合角平分线的性质把这两个角转化为对应原角的一半，最后通过角的和差运算即可推导∠FAG与∠BAD的数量关系，五边形的推理逻辑和四边形完全一致。
【解析】
解：四边形中$∠ FAG=\frac{1}{2}∠ BAD$，理由如下：
由折叠的性质可知，AF平分$∠ BAE$，AG平分$∠ DAE$，
∴$∠ FAE=\frac{1}{2}∠ BAE$，$∠ GAE=\frac{1}{2}∠ DAE$，
又
∵$∠ BAE + ∠ DAE = ∠ BAD$，
∴$∠ FAG = ∠ FAE + ∠ GAE = \frac{1}{2}∠ BAE + \frac{1}{2}∠ DAE = \frac{1}{2}(∠ BAE + ∠ DAE) = \frac{1}{2}∠ BAD$。
五边形纸片进行相同操作时，推理过程和四边形一致，该结论仍然成立，且此结论对任意多边形的同类折叠都成立。
【答案】
四边形中$∠ FAG=\frac{1}{2}∠ BAD$，五边形中该结论同样成立，对任意多边形的同类折叠都成立。
【知识点】
折叠的性质；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于角度运算的基础题，解题关键是抓住折叠前后对应角相等的性质，将待求角拆分为已知角的和差形式，通过角平分线的定义完成角度转化，所得结论具有通用性，可推广到更多同类折叠场景。
【难度系数】
0.8
9. 探究归纳：
（1）实验分析：如图①，过点A可以作1条对角线；同样，过点B可以作
（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得图②共有
（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有
（4）特例验证：十边形有
（1）实验分析：如图①，过点A可以作1条对角线；同样，过点B可以作
1
条对角线；过点C可以作1
条对角线；过点D可以作1
条对角线.图①共有2
条对角线.（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得图②共有
5
条对角线，图③共有9
条对角线.（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有
$\frac{n(n-3)}{2}$
（用含n的式子表示）条对角线.（4）特例验证：十边形有
35
对角线.答案：9. (1) 1,1,1,2 (2) 5,9 (3) $\frac{n(n-3)}{2}$ (4) 35
解析：
【分析】
首先明确多边形对角线的定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做对角线。解题时先分析单个顶点可作的对角线数量：一个顶点除了自身和两个相邻顶点外，其余顶点都能和它连成对角线，因此单个顶点的对角线数量=总顶点数-3。要注意每条对角线会被它的两个端点各计算1次，因此计算总对角线条数时要除以2，按照这个逻辑逐步求解各小问即可。
【解析】
（1）图①是四边形，共4个顶点。过顶点B，相邻顶点为A、C，仅和D不相邻，可作1条对角线；过顶点C，相邻顶点为B、D，仅和A不相邻，可作1条对角线；过顶点D，相邻顶点为A、C，仅和B不相邻，可作1条对角线。4个顶点共计算出$4×1=4$条，每条对角线被重复统计2次，因此总对角线数为$4÷2=2$条。
（2）图②是五边形，共5个顶点，每个顶点可作$5-3=2$条对角线，总对角线条数为$\frac{5×2}{2}=5$条；图③是六边形，共6个顶点，每个顶点可作$6-3=3$条对角线，总对角线条数为$\frac{6×3}{2}=9$条。
（3）对于n边形（$n＞3$），每个顶点可作$(n-3)$条对角线，n个顶点共统计出$n(n-3)$条，每条对角线重复计算1次，因此总对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$。
（4）十边形即$n=10$，代入公式得：$\frac{10×(10-3)}{2}=35$条。
【答案】
(1) 1，1，1，2；(2) 5，9；(3) $\frac{n(n-3)}{2}$；(4) 35
【知识点】
多边形对角线定义，规律归纳，代数式求值
【点评】
本题从四边形、五边形等特殊多边形的对角线计数出发，引导学生从特殊到一般推导n边形对角线条数公式，既考察了对对角线概念的理解，也锻炼了归纳总结的能力，掌握公式后可快速求解任意边数多边形的对角线条数。
【难度系数】
0.7
首先明确多边形对角线的定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做对角线。解题时先分析单个顶点可作的对角线数量：一个顶点除了自身和两个相邻顶点外，其余顶点都能和它连成对角线，因此单个顶点的对角线数量=总顶点数-3。要注意每条对角线会被它的两个端点各计算1次，因此计算总对角线条数时要除以2，按照这个逻辑逐步求解各小问即可。
【解析】
（1）图①是四边形，共4个顶点。过顶点B，相邻顶点为A、C，仅和D不相邻，可作1条对角线；过顶点C，相邻顶点为B、D，仅和A不相邻，可作1条对角线；过顶点D，相邻顶点为A、C，仅和B不相邻，可作1条对角线。4个顶点共计算出$4×1=4$条，每条对角线被重复统计2次，因此总对角线数为$4÷2=2$条。
（2）图②是五边形，共5个顶点，每个顶点可作$5-3=2$条对角线，总对角线条数为$\frac{5×2}{2}=5$条；图③是六边形，共6个顶点，每个顶点可作$6-3=3$条对角线，总对角线条数为$\frac{6×3}{2}=9$条。
（3）对于n边形（$n＞3$），每个顶点可作$(n-3)$条对角线，n个顶点共统计出$n(n-3)$条，每条对角线重复计算1次，因此总对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$。
（4）十边形即$n=10$，代入公式得：$\frac{10×(10-3)}{2}=35$条。
【答案】
(1) 1，1，1，2；(2) 5，9；(3) $\frac{n(n-3)}{2}$；(4) 35
【知识点】
多边形对角线定义，规律归纳，代数式求值
【点评】
本题从四边形、五边形等特殊多边形的对角线计数出发，引导学生从特殊到一般推导n边形对角线条数公式，既考察了对对角线概念的理解，也锻炼了归纳总结的能力，掌握公式后可快速求解任意边数多边形的对角线条数。
【难度系数】
0.7
10. 我们把正$n$边形（$n≥3$）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正$n$边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形，叫作正$n$边形的“扩展图形”，并将它的边数记为$a_n$. 如图①，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且$a_3=12$. 图③、图④分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”.
（1）如图②，在$5×5$的正方形网格中有一个用粗虚线画的正方形，请在图②中用实线画出此正方形的“扩展图形”；
（2）已知$a_3=12$，$a_4=20$，$a_5=30$，则图④中$a_6=$
（3）已知$\frac{1}{a_3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{a_4}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，$\frac{1}{a_5}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$，…，且$\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_5}+…+\frac{1}{a_n}=\frac{97}{300}$，则$n=$
（1）如图②，在$5×5$的正方形网格中有一个用粗虚线画的正方形，请在图②中用实线画出此正方形的“扩展图形”；
（2）已知$a_3=12$，$a_4=20$，$a_5=30$，则图④中$a_6=$
42
，根据以上规律，正$n$边形的“扩展图形”中$a_n=$$n(n+1)$
（用含$n$的式子表示）；（3）已知$\frac{1}{a_3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{a_4}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，$\frac{1}{a_5}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$，…，且$\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_5}+…+\frac{1}{a_n}=\frac{97}{300}$，则$n=$
99
.答案：
10. (1) 如图所示
(2) 42,$n(n+1)$. 提示:图④中$a_6=6×7=42$,根据以上规律,正$n$边形的“扩展图形”中$a_n=n(n+1)$
(3) 因为$\frac{1}{a_3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$,$\frac{1}{a_4}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$,$\frac{1}{a_5}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$,…,且$\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_5}+…+\frac{1}{a_n}=\frac{97}{300}$,所以$\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}=\frac{97}{300}$,解得$n=99$
10. (1) 如图所示
(2) 42,$n(n+1)$. 提示:图④中$a_6=6×7=42$,根据以上规律,正$n$边形的“扩展图形”中$a_n=n(n+1)$
(3) 因为$\frac{1}{a_3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$,$\frac{1}{a_4}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$,$\frac{1}{a_5}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$,…,且$\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_5}+…+\frac{1}{a_n}=\frac{97}{300}$,所以$\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}=\frac{97}{300}$,解得$n=99$
解析：
【分析】
（1）要画正方形的“扩展图形”，先明确操作规则：先将正方形每条边三等分，取每条边居中的线段为边向外作正方形，再去掉原来居中的线段，按该步骤在网格中作图即可。
（2）探究边数规律时，观察已知的$a_3=12=3×4$，$a_4=20=4×5$，$a_5=30=5×6$，可发现扩展图形的边数等于原正$n$边形的边数$n$乘$n+1$，据此可求出$a_6$和通用公式$a_n$。
（3）求解求和问题时，根据题目给出的裂项示例，每个$\frac{1}{a_k}$都可拆成两个分数的差，累加时中间的分数会相互抵消，仅剩首项和末项，得到简易方程后求解即可得到$n$的值。
【解析】
（1）作图步骤：将粗虚线正方形的每条边三等分，以每条边居中的线段为边向外作正方形，再擦除每条边上居中的线段，最终得到的实线图形即为所求。
（2）观察已知数据：
$a_3=3×4=12$，$a_4=4×5=20$，$a_5=5×6=30$，
按规律可得$a_6=6×7=42$，
因此正$n$边形的“扩展图形”边数$a_n=n(n+1)$。
（3）根据裂项规律展开求和：
$\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_5}+…+\frac{1}{a_n}$
$=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+…+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$
中间项相互抵消后，原式$=\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}$，
由题意得$\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}=\frac{97}{300}$，
计算得$\frac{1}{n+1}=\frac{100}{300}-\frac{97}{300}=\frac{3}{300}=\frac{1}{100}$，
因此$n+1=100$，解得$n=99$。
【答案】
(1) 如图所示
(2) $42$，$n(n+1)$
(3) $99$
【知识点】
图形规律探究，裂项求和，代数式运算
【点评】
本题以新定义“扩展图形”为载体，融合了作图、规律探究、分数运算三类考点，需要先准确理解新定义的操作规则，再通过观察归纳得到边数的通项公式，最后利用裂项相消简化运算，能有效锻炼观察、归纳和运算能力。
【难度系数】
0.65
（1）要画正方形的“扩展图形”，先明确操作规则：先将正方形每条边三等分，取每条边居中的线段为边向外作正方形，再去掉原来居中的线段，按该步骤在网格中作图即可。
（2）探究边数规律时，观察已知的$a_3=12=3×4$，$a_4=20=4×5$，$a_5=30=5×6$，可发现扩展图形的边数等于原正$n$边形的边数$n$乘$n+1$，据此可求出$a_6$和通用公式$a_n$。
（3）求解求和问题时，根据题目给出的裂项示例，每个$\frac{1}{a_k}$都可拆成两个分数的差，累加时中间的分数会相互抵消，仅剩首项和末项，得到简易方程后求解即可得到$n$的值。
【解析】
（1）作图步骤：将粗虚线正方形的每条边三等分，以每条边居中的线段为边向外作正方形，再擦除每条边上居中的线段，最终得到的实线图形即为所求。
（2）观察已知数据：
$a_3=3×4=12$，$a_4=4×5=20$，$a_5=5×6=30$，
按规律可得$a_6=6×7=42$，
因此正$n$边形的“扩展图形”边数$a_n=n(n+1)$。
（3）根据裂项规律展开求和：
$\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_5}+…+\frac{1}{a_n}$
$=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+…+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$
中间项相互抵消后，原式$=\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}$，
由题意得$\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}=\frac{97}{300}$，
计算得$\frac{1}{n+1}=\frac{100}{300}-\frac{97}{300}=\frac{3}{300}=\frac{1}{100}$，
因此$n+1=100$，解得$n=99$。
【答案】
(1) 如图所示
(2) $42$，$n(n+1)$
(3) $99$
【知识点】
图形规律探究，裂项求和，代数式运算
【点评】
本题以新定义“扩展图形”为载体，融合了作图、规律探究、分数运算三类考点，需要先准确理解新定义的操作规则，再通过观察归纳得到边数的通项公式，最后利用裂项相消简化运算，能有效锻炼观察、归纳和运算能力。
【难度系数】
0.65