16. 对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k(k＞0)，使得∠M + k∠N = 360°，则称∠N为∠M的k系补周角. 如若∠M=90°，∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角. 如图，在平面内AB//CD，E是AB，CD之间的一点，连接BE，DE，若∠D=60°，∠B是∠E的5系补周角，则∠E=
110
.答案：16. 110
解析：
【分析】
解题首先要先理解“k系补周角”的新定义，写出∠B和∠E的数量关系；再处理平行线间的拐点问题，过拐点E作AB的平行线，利用平行线的性质推导∠E、∠B、∠D三者的关系，最后联立两个关系式解方程即可求出∠E的度数。
【解析】
1. 根据“k系补周角”的定义，已知∠B是∠E的5系补周角，可得：
$∠ E + 5∠ B = 360°$ ①
2. 过点E作$EF// AB$，
∵ $AB// CD$，
∴ $EF// CD$，
根据平行线内错角相等的性质：
$∠ B = ∠ BEF$，$∠ D = ∠ DEF$，
∴ $∠ BED = ∠ BEF + ∠ DEF = ∠ B + ∠ D$，
已知$∠ D=60°$，即$∠ E = ∠ B + 60°$，变形得$∠ B = ∠ E - 60°$ ②
3. 将②代入①：
$∠ E + 5(∠ E - 60°) = 360°$
展开得：$∠ E + 5∠ E - 300° = 360°$
整理得：$6∠ E = 660°$
解得：$∠ E = 110°$
【答案】
110
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 新定义理解
3. 角度计算
【点评】
本题将新定义概念和平行线拐点问题结合，既考查对陌生定义的转化应用能力，也考查平行线性质的常规用法，解题的关键是掌握拐点类问题的辅助线构造方法。
【难度系数】
0.7
解题首先要先理解“k系补周角”的新定义，写出∠B和∠E的数量关系；再处理平行线间的拐点问题，过拐点E作AB的平行线，利用平行线的性质推导∠E、∠B、∠D三者的关系，最后联立两个关系式解方程即可求出∠E的度数。
【解析】
1. 根据“k系补周角”的定义，已知∠B是∠E的5系补周角，可得：
$∠ E + 5∠ B = 360°$ ①
2. 过点E作$EF// AB$，
∵ $AB// CD$，
∴ $EF// CD$，
根据平行线内错角相等的性质：
$∠ B = ∠ BEF$，$∠ D = ∠ DEF$，
∴ $∠ BED = ∠ BEF + ∠ DEF = ∠ B + ∠ D$，
已知$∠ D=60°$，即$∠ E = ∠ B + 60°$，变形得$∠ B = ∠ E - 60°$ ②
3. 将②代入①：
$∠ E + 5(∠ E - 60°) = 360°$
展开得：$∠ E + 5∠ E - 300° = 360°$
整理得：$6∠ E = 660°$
解得：$∠ E = 110°$
【答案】
110
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 新定义理解
3. 角度计算
【点评】
本题将新定义概念和平行线拐点问题结合，既考查对陌生定义的转化应用能力，也考查平行线性质的常规用法，解题的关键是掌握拐点类问题的辅助线构造方法。
【难度系数】
0.7
三、解答题
17. 如图，已知∠α，∠β，利用直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB的大小为∠α+∠β.（不写作法，保留作图痕迹）
17. 如图，已知∠α，∠β，利用直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB的大小为∠α+∠β.（不写作法，保留作图痕迹）
答案：
17. 如图，∠AOB即为所求
17. 如图，∠AOB即为所求
解析：
【分析】
要作出大小为∠α+∠β的角，需结合尺规作一个角等于已知角的方法分步操作：首先先作一个角等于∠α，再在这个已作角的外侧，以该角的非公共边为边，作一个等于∠β的角，两个角拼接后得到的大角就是所求的∠α+∠β。作图时要注意保留所有尺规作图的痕迹，第二个角需作在第一个角的外部，避免作出两角的差。
【解析】
作图思路如下：
1. 先画射线OA；
2. 用尺规作图的方法，以O为顶点，OA为一边，作∠AOC=∠α；
3. 以OC为一边，在∠AOC的外侧作∠COB=∠β；
此时所得的∠AOB=∠AOC+∠COB=∠α+∠β，即为所求角，按要求保留作图痕迹即可。
【答案】
17. 如图，∠AOB即为所求
【知识点】
尺规作角；角的和差运算
【点评】
本题是基础的尺规作图类题目，核心考查作一个角等于已知角的操作技能，以及对角的和的概念的理解，作图时注意第二个角的位置要在第一个角的外部，熟练掌握基础作图方法即可快速完成。
【难度系数】
0.8
要作出大小为∠α+∠β的角，需结合尺规作一个角等于已知角的方法分步操作：首先先作一个角等于∠α，再在这个已作角的外侧，以该角的非公共边为边，作一个等于∠β的角，两个角拼接后得到的大角就是所求的∠α+∠β。作图时要注意保留所有尺规作图的痕迹，第二个角需作在第一个角的外部，避免作出两角的差。
【解析】
作图思路如下：
1. 先画射线OA；
2. 用尺规作图的方法，以O为顶点，OA为一边，作∠AOC=∠α；
3. 以OC为一边，在∠AOC的外侧作∠COB=∠β；
此时所得的∠AOB=∠AOC+∠COB=∠α+∠β，即为所求角，按要求保留作图痕迹即可。
【答案】
17. 如图，∠AOB即为所求
【知识点】
尺规作角；角的和差运算
【点评】
本题是基础的尺规作图类题目，核心考查作一个角等于已知角的操作技能，以及对角的和的概念的理解，作图时注意第二个角的位置要在第一个角的外部，熟练掌握基础作图方法即可快速完成。
【难度系数】
0.8
18.（1）如图①，点C，D在线段AB上，D是线段AB的中点，$AC=\frac{1}{3}AD$，$CD=4$，求线段AB的长；
（2）如图②，O是直线AB上的一点，OD是$∠ AOC$的平分线，OE是$∠ COB$的平分线，若$∠ AOD=14°$，求$∠ DOE$，$∠ BOE$的大小.
（2）如图②，O是直线AB上的一点，OD是$∠ AOC$的平分线，OE是$∠ COB$的平分线，若$∠ AOD=14°$，求$∠ DOE$，$∠ BOE$的大小.
答案：18. (1) 因为$AC=\frac{1}{3}AD$,所以$CD=\frac{2}{3}AD$,因为$CD=4$,所以$\frac{2}{3}AD=4$,解得$AD=6$,因为D是线段AB的中点,所以$AB=2AD=12$
(2) 因为OD是$∠AOC$的平分线,所以$∠AOD=∠COD=14°$,$∠AOC=2∠AOD=28°$,所以$∠BOC=180°-∠AOC=152°$,因为OE是$∠COB$的平分线,所以$∠BOE=∠COE=\frac{1}{2}∠BOC=76°$,所以$∠DOE=∠COD+∠COE=14°+76°=90°$
(2) 因为OD是$∠AOC$的平分线,所以$∠AOD=∠COD=14°$,$∠AOC=2∠AOD=28°$,所以$∠BOC=180°-∠AOC=152°$,因为OE是$∠COB$的平分线,所以$∠BOE=∠COE=\frac{1}{2}∠BOC=76°$,所以$∠DOE=∠COD+∠COE=14°+76°=90°$
解析：
【分析】
（1）解决线段计算问题时，先根据已知的线段比例关系$AC=\frac{1}{3}AD$，推导出$CD$和$AD$的数量关系，结合$CD$的长度先求出$AD$的长，再利用$D$是$AB$中点的性质，即可求出$AB$的总长度。
（2）解决角度计算问题时，先根据角平分线的定义，由$OD$平分$∠ AOC$和已知的$∠ AOD$度数，求出$∠ COD$和$∠ AOC$的度数；再结合平角为$180°$的性质求出$∠ COB$的度数，然后根据$OE$平分$∠ COB$求出$∠ BOE$和$∠ COE$的度数，最后通过角的和差关系求出$∠ DOE$的度数即可。
【解析】
（1）$\because AC=\frac{1}{3}AD$，
$\therefore CD=AD-AC=\frac{2}{3}AD$，
又$\because CD=4$，
$\therefore \frac{2}{3}AD=4$，解得$AD=6$，
$\because D$是线段$AB$的中点，
$\therefore AB=2AD=2×6=12$。
（2）$\because OD$是$∠ AOC$的平分线，$∠ AOD=14°$，
$\therefore ∠ COD=∠ AOD=14°$，$∠ AOC=2∠ AOD=2×14°=28°$，
$\because O$在直线$AB$上，$∠ AOB$为平角，
$\therefore ∠ BOC=180°-∠ AOC=180°-28°=152°$，
$\because OE$是$∠ COB$的平分线，
$\therefore ∠ BOE=∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×152°=76°$，
$\therefore ∠ DOE=∠ COD+∠ COE=14°+76°=90°$。
【答案】
（1）线段$AB$的长为$\boldsymbol{12}$；
（2）$∠ DOE=\boldsymbol{90°}$，$∠ BOE=\boldsymbol{76°}$。
【知识点】
线段中点的性质、角平分线的性质、线段与角的和差计算
【点评】
本题是几何入门阶段的基础计算题型，分别考察了线段和角度的和差倍分运算，解题核心是熟练掌握中点、角平分线的定义，准确梳理各线段、角之间的数量关系，是几何计算的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
（1）解决线段计算问题时，先根据已知的线段比例关系$AC=\frac{1}{3}AD$，推导出$CD$和$AD$的数量关系，结合$CD$的长度先求出$AD$的长，再利用$D$是$AB$中点的性质，即可求出$AB$的总长度。
（2）解决角度计算问题时，先根据角平分线的定义，由$OD$平分$∠ AOC$和已知的$∠ AOD$度数，求出$∠ COD$和$∠ AOC$的度数；再结合平角为$180°$的性质求出$∠ COB$的度数，然后根据$OE$平分$∠ COB$求出$∠ BOE$和$∠ COE$的度数，最后通过角的和差关系求出$∠ DOE$的度数即可。
【解析】
（1）$\because AC=\frac{1}{3}AD$，
$\therefore CD=AD-AC=\frac{2}{3}AD$，
又$\because CD=4$，
$\therefore \frac{2}{3}AD=4$，解得$AD=6$，
$\because D$是线段$AB$的中点，
$\therefore AB=2AD=2×6=12$。
（2）$\because OD$是$∠ AOC$的平分线，$∠ AOD=14°$，
$\therefore ∠ COD=∠ AOD=14°$，$∠ AOC=2∠ AOD=2×14°=28°$，
$\because O$在直线$AB$上，$∠ AOB$为平角，
$\therefore ∠ BOC=180°-∠ AOC=180°-28°=152°$，
$\because OE$是$∠ COB$的平分线，
$\therefore ∠ BOE=∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×152°=76°$，
$\therefore ∠ DOE=∠ COD+∠ COE=14°+76°=90°$。
【答案】
（1）线段$AB$的长为$\boldsymbol{12}$；
（2）$∠ DOE=\boldsymbol{90°}$，$∠ BOE=\boldsymbol{76°}$。
【知识点】
线段中点的性质、角平分线的性质、线段与角的和差计算
【点评】
本题是几何入门阶段的基础计算题型，分别考察了线段和角度的和差倍分运算，解题核心是熟练掌握中点、角平分线的定义，准确梳理各线段、角之间的数量关系，是几何计算的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
19. 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B，P都是格点.
（1）画线段$PM// AB$，且$PM=\dfrac{1}{2}AB$；
（2）连接$AP$和$BM$，则四边形$ABMP$的面积是________；
（3）在$AB$上找一点$N$，使线段$PN$的长度最短.
（1）画线段$PM// AB$，且$PM=\dfrac{1}{2}AB$；
（2）连接$AP$和$BM$，则四边形$ABMP$的面积是________；
（3）在$AB$上找一点$N$，使线段$PN$的长度最短.
答案：
19. (1) 如图,点M即为所求
(2) $S_{四边形ABPM}=6×6-\frac{1}{2}×6×2-\frac{1}{2}×4×3-\frac{1}{2}×1×3=\frac{45}{2}$
(3) 如图,点N即为所求
19. (1) 如图,点M即为所求
(2) $S_{四边形ABPM}=6×6-\frac{1}{2}×6×2-\frac{1}{2}×4×3-\frac{1}{2}×1×3=\frac{45}{2}$
(3) 如图,点N即为所求
解析：
【分析】
1. 第(1)问：先观察AB的平移规律，AB从A到B，水平向右移动2格、竖直向下移动6格，要作$PM// AB$且$PM=\frac{1}{2}AB$，只需让PM的平移距离是AB的一半，即从P出发水平右移1格、竖直下移3格找到格点M，连接PM即可满足要求。
2. 第(2)问：四边形ABMP是不规则四边形，用割补法计算面积最简便，将四边形补进边长为6的正方形中，用正方形面积减去周围3个直角三角形的面积，就能得到四边形的面积。
3. 第(3)问：根据点到直线的距离性质，垂线段最短，所以只需过P作AB的垂线，垂足就是要找的N点，此时PN长度最短。
【解析】
(1) 观察AB的走向：A到B横向差2格，纵向差6格，因此要作长度为AB一半且平行于AB的线段，从P点出发，横向右移1格、纵向下移3格找到格点M，连接PM，即为所求线段。
(2) 用补形法计算面积：将四边形ABMP置于边长为6的正方形中，周围空白部分为3个直角三角形：
$\begin{aligned}S_{正方形}&=6×6=36\\S_{三角形1}&=\frac{1}{2}×6×2=6\\S_{三角形2}&=\frac{1}{2}×4×3=6\\S_{三角形3}&=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}\\S_{四边形ABMP}&=36-6-6-\frac{3}{2}=\frac{45}{2}\end{aligned}$
(3) 根据垂线段最短的性质，过点P作AB的垂线，垂线与AB的交点即为点N，此时PN长度最短。
【答案】
(1) 如图,点M即为所求
(2) $\dfrac{45}{2}$
(3) 如图,点N即为所求
【知识点】
平行线的判定，割补法求面积，垂线段最短
【点评】
本题结合格点图形考查基础作图和面积计算，解题时要充分利用格点的边长特点，掌握不规则图形面积的计算方法，牢记垂线段最短的性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：先观察AB的平移规律，AB从A到B，水平向右移动2格、竖直向下移动6格，要作$PM// AB$且$PM=\frac{1}{2}AB$，只需让PM的平移距离是AB的一半，即从P出发水平右移1格、竖直下移3格找到格点M，连接PM即可满足要求。
2. 第(2)问：四边形ABMP是不规则四边形，用割补法计算面积最简便，将四边形补进边长为6的正方形中，用正方形面积减去周围3个直角三角形的面积，就能得到四边形的面积。
3. 第(3)问：根据点到直线的距离性质，垂线段最短，所以只需过P作AB的垂线，垂足就是要找的N点，此时PN长度最短。
【解析】
(1) 观察AB的走向：A到B横向差2格，纵向差6格，因此要作长度为AB一半且平行于AB的线段，从P点出发，横向右移1格、纵向下移3格找到格点M，连接PM，即为所求线段。
(2) 用补形法计算面积：将四边形ABMP置于边长为6的正方形中，周围空白部分为3个直角三角形：
$\begin{aligned}S_{正方形}&=6×6=36\\S_{三角形1}&=\frac{1}{2}×6×2=6\\S_{三角形2}&=\frac{1}{2}×4×3=6\\S_{三角形3}&=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}\\S_{四边形ABMP}&=36-6-6-\frac{3}{2}=\frac{45}{2}\end{aligned}$
(3) 根据垂线段最短的性质，过点P作AB的垂线，垂线与AB的交点即为点N，此时PN长度最短。
【答案】
(1) 如图,点M即为所求
(2) $\dfrac{45}{2}$
(3) 如图,点N即为所求
【知识点】
平行线的判定，割补法求面积，垂线段最短
【点评】
本题结合格点图形考查基础作图和面积计算，解题时要充分利用格点的边长特点，掌握不规则图形面积的计算方法，牢记垂线段最短的性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.6