15. 有一个一元一次方程：$2y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}y - \blacksquare$，其中“$\blacksquare$”表示一个被污染的常数. 答案注明方程的解是 $y=-\frac{5}{3}$，这个被污染的常数应是
3
.答案：15. 3
解析：
【分析】
本题已知一元一次方程的解，求被污染的常数，解题思路是利用“方程的解能使方程左右两边相等”的性质，将已知的解$y=-\frac{5}{3}$代入原方程，此时被污染的常数就成为新的未知数，通过解一元一次方程即可求出这个常数的值。
【解析】
设被污染的常数为$a$。
因为$y=-\frac{5}{3}$是方程$2y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}y - a$的解，所以将$y=-\frac{5}{3}$代入方程得：
$2×(-\frac{5}{3}) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}×(-\frac{5}{3}) - a$
分别计算两边的算式：
左边：$-\frac{10}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{20}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{23}{6}$
右边：$-\frac{5}{6}-a$
可得等式：
$-\frac{23}{6}=-\frac{5}{6}-a$
移项计算：
$a=-\frac{5}{6}+\frac{23}{6}=\frac{18}{6}=3$
【答案】
3
【知识点】
一元一次方程的解、解一元一次方程
【点评】
本题是已知方程解求未知参数的基础题型，核心是理解方程的解的含义，熟练运用代入法和一元一次方程的解法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题已知一元一次方程的解，求被污染的常数，解题思路是利用“方程的解能使方程左右两边相等”的性质，将已知的解$y=-\frac{5}{3}$代入原方程，此时被污染的常数就成为新的未知数，通过解一元一次方程即可求出这个常数的值。
【解析】
设被污染的常数为$a$。
因为$y=-\frac{5}{3}$是方程$2y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}y - a$的解，所以将$y=-\frac{5}{3}$代入方程得：
$2×(-\frac{5}{3}) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}×(-\frac{5}{3}) - a$
分别计算两边的算式：
左边：$-\frac{10}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{20}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{23}{6}$
右边：$-\frac{5}{6}-a$
可得等式：
$-\frac{23}{6}=-\frac{5}{6}-a$
移项计算：
$a=-\frac{5}{6}+\frac{23}{6}=\frac{18}{6}=3$
【答案】
3
【知识点】
一元一次方程的解、解一元一次方程
【点评】
本题是已知方程解求未知参数的基础题型，核心是理解方程的解的含义，熟练运用代入法和一元一次方程的解法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
16. 有一个正六面体骰子放在桌面上，将骰子沿如图所示顺时针方向滚动，每滚动$90°$算一次，则滚动第2022次后，骰子朝下一面的数字是
3
。答案：16. 3
解析：
【分析】解题时先观察骰子滚动特征：正面数字始终为1，说明每次滚动仅上下左右四个面循环变换，每滚动4次就回到初始状态，即周期为4。再确定各相对面的数字对应关系，最后用总次数除以周期得到余数，对应周期内的位置就能求出朝下的数字。
【解析】
1. 找循环周期：观察滚动后朝上的数字规律：滚动1次朝上为5，滚动2次朝上为4，滚动3次朝上为2，滚动4次朝上为3，滚动5次朝上为5，可得每4次滚动为一个循环周期。
2. 确定相对面：由相邻面关系可知，1的对面是6；2的对面是5，3的对面是4，因此朝上数字对应的朝下数字为：朝上5→朝下2，朝上4→朝下3，朝上2→朝下5，朝上3→朝下4。
3. 计算余数：$2022÷4=505······2$，即滚动2022次的状态和滚动2次的状态相同。
4. 得出结果：滚动2次时朝上数字为4，对应朝下数字为3。
【答案】3
【知识点】正方体相对面；周期规律；有理数除法
【点评】本题结合实物滚动考查规律探究，需要学生具备一定的观察推理能力，核心是找到滚动的循环周期，再结合余数判断最终状态。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 找循环周期：观察滚动后朝上的数字规律：滚动1次朝上为5，滚动2次朝上为4，滚动3次朝上为2，滚动4次朝上为3，滚动5次朝上为5，可得每4次滚动为一个循环周期。
2. 确定相对面：由相邻面关系可知，1的对面是6；2的对面是5，3的对面是4，因此朝上数字对应的朝下数字为：朝上5→朝下2，朝上4→朝下3，朝上2→朝下5，朝上3→朝下4。
3. 计算余数：$2022÷4=505······2$，即滚动2022次的状态和滚动2次的状态相同。
4. 得出结果：滚动2次时朝上数字为4，对应朝下数字为3。
【答案】3
【知识点】正方体相对面；周期规律；有理数除法
【点评】本题结合实物滚动考查规律探究，需要学生具备一定的观察推理能力，核心是找到滚动的循环周期，再结合余数判断最终状态。
【难度系数】0.6
17. 将一张长方形纸片按如图所示折叠. 如果$∠ 1=56°$，那么$∠ 2=$
68
°.答案：17. 68
解析：
【分析】
解题思路：首先回忆折叠的性质，折叠前后重合的角大小相等，因此与∠1重叠的角也等于∠1。再观察图形可知，两个等于∠1的角和∠2共同组成一个平角，和为180°，据此列出角度和的关系式，代入已知∠1的度数即可求出∠2的数值。
【解析】
解：根据折叠的性质，折叠后与∠1重合的角和∠1度数相等，即该角也为56°。
因为∠1、与∠1重合的角和∠2组成平角，平角为180°，所以可得：
$∠ 1 + ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$
将$∠ 1=56°$代入得：
$2×56° + ∠ 2 = 180°$
$112° + ∠ 2 = 180°$
$∠ 2 = 180° - 112° = 68°$
【答案】
68
【知识点】
折叠的性质、平角的定义、角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的常见基础题型，核心考查折叠前后对应角相等的性质，结合平角的角度特征即可求解，掌握折叠类问题的角的等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.75
解题思路：首先回忆折叠的性质，折叠前后重合的角大小相等，因此与∠1重叠的角也等于∠1。再观察图形可知，两个等于∠1的角和∠2共同组成一个平角，和为180°，据此列出角度和的关系式，代入已知∠1的度数即可求出∠2的数值。
【解析】
解：根据折叠的性质，折叠后与∠1重合的角和∠1度数相等，即该角也为56°。
因为∠1、与∠1重合的角和∠2组成平角，平角为180°，所以可得：
$∠ 1 + ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$
将$∠ 1=56°$代入得：
$2×56° + ∠ 2 = 180°$
$112° + ∠ 2 = 180°$
$∠ 2 = 180° - 112° = 68°$
【答案】
68
【知识点】
折叠的性质、平角的定义、角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的常见基础题型，核心考查折叠前后对应角相等的性质，结合平角的角度特征即可求解，掌握折叠类问题的角的等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.75
18. 如图①，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC=120°，三角板的顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方。若三角板绕点O按10°/s的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第
6或24
s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC（图②）。答案：18. 6或24
解析：
【分析】
解题先从已知条件出发，首先根据平角的定义算出∠AOC的度数，再结合角平分线的性质得到直线ON平分∠AOC时的角的数量关系。由于是“直线ON平分角”，存在两种位置情况：一是ON在AB下方，其反向延长线平分∠AOC；二是ON旋转到AB上方，射线ON直接平分∠AOC。再结合三角板的初始位置和旋转速度，分别计算两种情况对应的旋转角度，除以速度即可得到对应的时间，注意旋转一周的时间限制，排除不符合的解。
【解析】
解：
∵点O在直线AB上，∠BOC=120°
∴∠AOC=180°-∠BOC=60°
直线ON平分锐角∠AOC时，分两种情况讨论：
1. 当ON在直线AB下方时：
直线ON的反向延长线平分∠AOC，此时∠AON=30°。
初始状态下OM与OB重合，∠MON=90°，因此初始∠AON=180°-90°=90°。
三角板需要逆时针旋转的角度为90°-30°=60°，
对应时间$t_1=60°÷10°/s=6s$。
2. 当ON旋转到直线AB上方时：
射线ON直接平分∠AOC，此时ON相对于初始位置总共旋转的角度为90°+180°-30°=240°，
对应时间$t_2=240°÷10°/s=24s$。
三角板旋转一周的总时长为$360°÷10°/s=36s$，6s和24s均小于36s，符合旋转要求。
【答案】
6或24
【知识点】
角平分线的定义；旋转的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于动态几何中的角度计算问题，易错点是容易忽略“直线平分角”存在两种位置情况，导致漏解。解题时需要结合图形分情况讨论，根据角的和差关系计算旋转角度即可求解。
【难度系数】
0.6
解题先从已知条件出发，首先根据平角的定义算出∠AOC的度数，再结合角平分线的性质得到直线ON平分∠AOC时的角的数量关系。由于是“直线ON平分角”，存在两种位置情况：一是ON在AB下方，其反向延长线平分∠AOC；二是ON旋转到AB上方，射线ON直接平分∠AOC。再结合三角板的初始位置和旋转速度，分别计算两种情况对应的旋转角度，除以速度即可得到对应的时间，注意旋转一周的时间限制，排除不符合的解。
【解析】
解：
∵点O在直线AB上，∠BOC=120°
∴∠AOC=180°-∠BOC=60°
直线ON平分锐角∠AOC时，分两种情况讨论：
1. 当ON在直线AB下方时：
直线ON的反向延长线平分∠AOC，此时∠AON=30°。
初始状态下OM与OB重合，∠MON=90°，因此初始∠AON=180°-90°=90°。
三角板需要逆时针旋转的角度为90°-30°=60°，
对应时间$t_1=60°÷10°/s=6s$。
2. 当ON旋转到直线AB上方时：
射线ON直接平分∠AOC，此时ON相对于初始位置总共旋转的角度为90°+180°-30°=240°，
对应时间$t_2=240°÷10°/s=24s$。
三角板旋转一周的总时长为$360°÷10°/s=36s$，6s和24s均小于36s，符合旋转要求。
【答案】
6或24
【知识点】
角平分线的定义；旋转的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于动态几何中的角度计算问题，易错点是容易忽略“直线平分角”存在两种位置情况，导致漏解。解题时需要结合图形分情况讨论，根据角的和差关系计算旋转角度即可求解。
【难度系数】
0.6
三、解答题
19. (1) 计算：$-3.75 ÷ 1\dfrac{1}{2} × [\dfrac{3}{5} - (-1)^4]$。
(2) 解方程：$2(3x+4)-5(x+1)=3$。
19. (1) 计算：$-3.75 ÷ 1\dfrac{1}{2} × [\dfrac{3}{5} - (-1)^4]$。
(2) 解方程：$2(3x+4)-5(x+1)=3$。
答案：19. (1) 1 (2) $x=0$
解析：
【分析】
(1) 本题考查有理数的混合运算，解题思路：先明确运算顺序，先算乘方，再计算括号内的减法，再将小数、带分数统一化为分数形式，同级运算从左到右依次计算，注意负号的运算规则。
(2) 本题考查一元一次方程的求解，解题思路：按照解一元一次方程的常规步骤，先去括号，注意括号前系数要乘括号内每一项、负号要变号，再合并同类项，移项变号后即可求出解。
【解析】
(1) 解：
原式$=-3.75÷1\frac{1}{2}×(\frac{3}{5}-(-1)^4)$
先计算乘方和括号内的运算：$(-1)^4=1$，$\frac{3}{5}-1=-\frac{2}{5}$，再统一数的形式：$-3.75=-\frac{15}{4}$，$1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，代入得：
原式$=-\frac{15}{4}÷\frac{3}{2}×(-\frac{2}{5})$
将除法转化为乘法：
$=-\frac{15}{4}×\frac{2}{3}×(-\frac{2}{5})$
从左到右依次计算：
$=-\frac{5}{2}×(-\frac{2}{5})$
$=1$
(2) 解：
去括号，得：
$6x + 8 - 5x - 5 = 3$
合并同类项，得：
$x + 3 = 3$
移项计算，得：
$x = 3 - 3$
$x=0$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{x=0}$
【知识点】
有理数混合运算；解一元一次方程；去括号法则
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考查基础运算的步骤规范性和符号处理能力，计算时需严格遵循运算规则，避免因符号错误失分，熟练掌握这类基础题是后续复杂代数学习的前提。
【难度系数】
0.8
(1) 本题考查有理数的混合运算，解题思路：先明确运算顺序，先算乘方，再计算括号内的减法，再将小数、带分数统一化为分数形式，同级运算从左到右依次计算，注意负号的运算规则。
(2) 本题考查一元一次方程的求解，解题思路：按照解一元一次方程的常规步骤，先去括号，注意括号前系数要乘括号内每一项、负号要变号，再合并同类项，移项变号后即可求出解。
【解析】
(1) 解：
原式$=-3.75÷1\frac{1}{2}×(\frac{3}{5}-(-1)^4)$
先计算乘方和括号内的运算：$(-1)^4=1$，$\frac{3}{5}-1=-\frac{2}{5}$，再统一数的形式：$-3.75=-\frac{15}{4}$，$1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，代入得：
原式$=-\frac{15}{4}÷\frac{3}{2}×(-\frac{2}{5})$
将除法转化为乘法：
$=-\frac{15}{4}×\frac{2}{3}×(-\frac{2}{5})$
从左到右依次计算：
$=-\frac{5}{2}×(-\frac{2}{5})$
$=1$
(2) 解：
去括号，得：
$6x + 8 - 5x - 5 = 3$
合并同类项，得：
$x + 3 = 3$
移项计算，得：
$x = 3 - 3$
$x=0$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{x=0}$
【知识点】
有理数混合运算；解一元一次方程；去括号法则
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考查基础运算的步骤规范性和符号处理能力，计算时需严格遵循运算规则，避免因符号错误失分，熟练掌握这类基础题是后续复杂代数学习的前提。
【难度系数】
0.8
20. 先化简，再求值：$3x^3 - [x^3 + (6x^2 - 7x)] - 2(x^3 - 3x^2 - 4x)$，其中 $x=-2$。
答案：20. 化简，得$15x$，值为$-30$
解析：
【分析】
本题是整式的化简求值题，解题思路分三步：第一步去括号，去括号时要注意两点：一是括号前若为负号，去掉括号后括号内每一项都要变号；二是括号前有系数时，要将系数乘遍括号内的每一项，避免漏乘。第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式。第三步将x的取值代入最简整式计算结果，比直接代入原式计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：先对原式去括号：
$\begin{aligned}原式&=3x^3 - (x^3 + 6x^2 - 7x) - 2x^3 + 6x^2 + 8x\\&=3x^3 - x^3 - 6x^2 + 7x - 2x^3 + 6x^2 + 8x\end{aligned}$
再合并同类项：
$x^3$项：$3x^3 - x^3 - 2x^3 = 0$
$x^2$项：$-6x^2 + 6x^2 = 0$
$x$项：$7x + 8x = 15x$
因此化简结果为$15x$。
将$x=-2$代入$15x$计算得：
$15×(-2) = -30$
【答案】
化简得$15x$，值为$-30$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的常规基础题，核心考查去括号时的符号处理、系数分配以及合并同类项的运算能力，解题时需注意避免漏乘括号内项、符号变错这两类常见错误，熟练掌握运算法则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题是整式的化简求值题，解题思路分三步：第一步去括号，去括号时要注意两点：一是括号前若为负号，去掉括号后括号内每一项都要变号；二是括号前有系数时，要将系数乘遍括号内的每一项，避免漏乘。第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式。第三步将x的取值代入最简整式计算结果，比直接代入原式计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：先对原式去括号：
$\begin{aligned}原式&=3x^3 - (x^3 + 6x^2 - 7x) - 2x^3 + 6x^2 + 8x\\&=3x^3 - x^3 - 6x^2 + 7x - 2x^3 + 6x^2 + 8x\end{aligned}$
再合并同类项：
$x^3$项：$3x^3 - x^3 - 2x^3 = 0$
$x^2$项：$-6x^2 + 6x^2 = 0$
$x$项：$7x + 8x = 15x$
因此化简结果为$15x$。
将$x=-2$代入$15x$计算得：
$15×(-2) = -30$
【答案】
化简得$15x$，值为$-30$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的常规基础题，核心考查去括号时的符号处理、系数分配以及合并同类项的运算能力，解题时需注意避免漏乘括号内项、符号变错这两类常见错误，熟练掌握运算法则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8