24. 在三角形ABC中，BE平分∠DBC，DE//BC，∠1=(2x+8)°，∠2=($\frac{3}{2}x -10$)°，求∠BDE的度数.
答案：24. 因为$DE// BC$,所以$∠2=∠EBC,∠1=∠DBC$.因为$BE$平分$∠ABC$,所以$∠DBC=2∠EBC=2∠2$.所以$∠DBC=2×(\frac{3}{2}x-10)°$.根据题意,得$2x+8=2×(\frac{3}{2}x-10)$.解得$x=28$.所以$∠1=(2×28+8)°=64°$.所以$∠BDE=180°-∠1=116°$
解析：
【分析】
解题时先从已知条件入手：第一，由DE平行于BC，可根据平行线的性质得到同位角、内错角相等的关系，即∠1等于∠ABC，∠2等于∠EBC；第二，结合BE是角平分线的条件，可知∠ABC等于2倍的∠EBC，由此就能建立∠1和∠2的等量关系，列方程先求出x的值，再根据∠BDE和∠1是邻补角，和为180°，就能求出∠BDE的度数。
【解析】
解：
∵$DE// BC$，
∴$∠2=∠EBC$（两直线平行，内错角相等），$∠1=∠ABC$（两直线平行，同位角相等），
∵BE平分$∠ABC$（即$∠DBC$），
∴$∠ABC=2∠EBC=2∠2$，
已知$∠1=(2x+8)°$，$∠2=(\frac{3}{2}x -10)°$，代入等量关系可得：
$2x+8=2×(\frac{3}{2}x -10)$
解方程得：
$2x+8=3x-20$
$x=28$
将$x=28$代入∠1的表达式，得$∠1=(2×28+8)°=64°$，
∵∠BDE与∠1互为邻补角，
∴$∠BDE=180°-∠1=180°-64°=116°$
【答案】
$116°$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；邻补角的性质
【点评】
本题是几何角度计算的常规题型，将平行线性质、角平分线性质与方程思想结合考查，解题的核心是找准角度之间的等量关系，通过列方程求出未知参数后再计算目标角度。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：第一，由DE平行于BC，可根据平行线的性质得到同位角、内错角相等的关系，即∠1等于∠ABC，∠2等于∠EBC；第二，结合BE是角平分线的条件，可知∠ABC等于2倍的∠EBC，由此就能建立∠1和∠2的等量关系，列方程先求出x的值，再根据∠BDE和∠1是邻补角，和为180°，就能求出∠BDE的度数。
【解析】
解：
∵$DE// BC$，
∴$∠2=∠EBC$（两直线平行，内错角相等），$∠1=∠ABC$（两直线平行，同位角相等），
∵BE平分$∠ABC$（即$∠DBC$），
∴$∠ABC=2∠EBC=2∠2$，
已知$∠1=(2x+8)°$，$∠2=(\frac{3}{2}x -10)°$，代入等量关系可得：
$2x+8=2×(\frac{3}{2}x -10)$
解方程得：
$2x+8=3x-20$
$x=28$
将$x=28$代入∠1的表达式，得$∠1=(2×28+8)°=64°$，
∵∠BDE与∠1互为邻补角，
∴$∠BDE=180°-∠1=180°-64°=116°$
【答案】
$116°$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；邻补角的性质
【点评】
本题是几何角度计算的常规题型，将平行线性质、角平分线性质与方程思想结合考查，解题的核心是找准角度之间的等量关系，通过列方程求出未知参数后再计算目标角度。
【难度系数】
0.7
25. 某服装厂生产西装和领带，西装每套定价 200 元，领带每条定价 40 元. 厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：① 买一套西装送一条领带；② 西装和领带都按定价的 90％付款. 现有某客户需购买西装 20 套，领带 $ x $ 条（$ x＞20 $）.
（1）若该客户按方案①购买，需付款
（2）若 $ x=30 $，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算.
（3）当 $ x=30 $ 时，有没有更为省钱的购买方案呢？如有，请写出你设计的方案.
（1）若该客户按方案①购买，需付款
$40x+3200$
元；若该客户按方案②购买，需付款$36x+3600$
元.（用含 $ x $ 的代数式表示）（2）若 $ x=30 $，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算.
（3）当 $ x=30 $ 时，有没有更为省钱的购买方案呢？如有，请写出你设计的方案.
答案：25. （1）$40x+3200$，$36x+3600$
（2）方案①合算
（3）先按方案①买西装20套,领带20条,再按方案②买领带10条.这样所花费用最少
（2）方案①合算
（3）先按方案①买西装20套,领带20条,再按方案②买领带10条.这样所花费用最少
解析：
【分析】
（1）先分别理清两种优惠方案的计费规则：方案①买1套西装送1条领带，购买20套西装可获赠20条领带，只需额外支付超出20条部分的领带费用，再加上20套西装的总价即可列出代数式；方案②所有商品都打9折，先计算20套西装和x条领带的原价总和，再乘90%即可列出代数式。
（2）将x=30分别代入第（1）问得到的两个代数式，算出两种方案的付款金额，比较大小即可判断哪种更合算。
（3）要找更省钱的方案，可以结合两种优惠方案的优势：先利用方案①的赠送规则购买20套西装获取20条免费领带，剩余需要的领带用方案②的折扣购买，总花费会更低。
【解析】
（1）按方案①购买：
20套西装的总价为$20×200=4000$元，赠送20条领带，还需购买$(x-20)$条领带，这部分费用为$40(x-20)$元，
总付款 $= 4000 + 40(x-20) = 40x + 3200$ 元；
按方案②购买：
20套西装和x条领带的原价总和为$(20×200 + 40x)$元，打9折后的总付款 $= (4000 + 40x)×90\% = 36x + 3600$ 元。
（2）当$x=30$时：
方案①的付款金额 $= 40×30 + 3200 = 1200 + 3200 = 4400$元；
方案②的付款金额 $= 36×30 + 3600 = 1080 + 3600 = 4680$元；
∵$4400 ＜ 4680$，
∴此时按方案①购买较为合算。
（3）有更省钱的购买方案：
先按方案①购买20套西装，可获赠20条领带，花费$20×200=4000$元；
还需要$30-20=10$条领带，这10条领带按方案②购买，花费$10×40×90\%=360$元；
总花费为$4000+360=4360$元，比单独使用任意一种方案都更便宜。
【答案】
（1）$\boxed{40x+3200}$，$\boxed{36x+3600}$
（2）方案①合算
（3）先按方案①买西装20套，领带20条，再按方案②买领带10条，这样所花费用最少
【知识点】
列代数式，代数式求值，最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的促销场景，考查代数式的实际应用和方案优化能力，解题的关键是准确理解不同优惠规则的计费逻辑，通过计算对比找到最省钱的购买方式，兼具实用性和思维性。
【难度系数】
0.7
（1）先分别理清两种优惠方案的计费规则：方案①买1套西装送1条领带，购买20套西装可获赠20条领带，只需额外支付超出20条部分的领带费用，再加上20套西装的总价即可列出代数式；方案②所有商品都打9折，先计算20套西装和x条领带的原价总和，再乘90%即可列出代数式。
（2）将x=30分别代入第（1）问得到的两个代数式，算出两种方案的付款金额，比较大小即可判断哪种更合算。
（3）要找更省钱的方案，可以结合两种优惠方案的优势：先利用方案①的赠送规则购买20套西装获取20条免费领带，剩余需要的领带用方案②的折扣购买，总花费会更低。
【解析】
（1）按方案①购买：
20套西装的总价为$20×200=4000$元，赠送20条领带，还需购买$(x-20)$条领带，这部分费用为$40(x-20)$元，
总付款 $= 4000 + 40(x-20) = 40x + 3200$ 元；
按方案②购买：
20套西装和x条领带的原价总和为$(20×200 + 40x)$元，打9折后的总付款 $= (4000 + 40x)×90\% = 36x + 3600$ 元。
（2）当$x=30$时：
方案①的付款金额 $= 40×30 + 3200 = 1200 + 3200 = 4400$元；
方案②的付款金额 $= 36×30 + 3600 = 1080 + 3600 = 4680$元；
∵$4400 ＜ 4680$，
∴此时按方案①购买较为合算。
（3）有更省钱的购买方案：
先按方案①购买20套西装，可获赠20条领带，花费$20×200=4000$元；
还需要$30-20=10$条领带，这10条领带按方案②购买，花费$10×40×90\%=360$元；
总花费为$4000+360=4360$元，比单独使用任意一种方案都更便宜。
【答案】
（1）$\boxed{40x+3200}$，$\boxed{36x+3600}$
（2）方案①合算
（3）先按方案①买西装20套，领带20条，再按方案②买领带10条，这样所花费用最少
【知识点】
列代数式，代数式求值，最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的促销场景，考查代数式的实际应用和方案优化能力，解题的关键是准确理解不同优惠规则的计费逻辑，通过计算对比找到最省钱的购买方式，兼具实用性和思维性。
【难度系数】
0.7
26. 如图①，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把三角板AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线PQ，MN的垂足O处，并使两条直角边落在直线PQ，MN上，将$△ AOB$绕点O顺时针旋转$α$（$0°＜α＜180°$）。
（1）如图②，若$α=26°$，则$∠ BOP=$
（2）若射线OC是$∠ BOM$的平分线，且$∠ POC=β$。
① 若$△ AOB$旋转到图③的位置，则$∠ BON$的度数为多少？（用含$β$的代数式表示）
② 在$△ AOB$旋转的过程中，若$∠ AOC=2∠ AOM$，求此时$β$的值。
（1）如图②，若$α=26°$，则$∠ BOP=$
64
°，$∠ AOM+∠ BOQ=$180
°。（2）若射线OC是$∠ BOM$的平分线，且$∠ POC=β$。
① 若$△ AOB$旋转到图③的位置，则$∠ BON$的度数为多少？（用含$β$的代数式表示）
② 在$△ AOB$旋转的过程中，若$∠ AOC=2∠ AOM$，求此时$β$的值。
答案：
26.
（1）$64°$，$180°$.因为$MN⊥PQ$,所以$∠POM=∠QOM=90°$,因为$∠BOM=∠AOQ=26°$,所以$∠BOP=90°-26°=64°$;因为$∠AOB=90°$,所以$∠AOM+∠BOQ=∠AOM+∠AOQ+∠AOB=∠QOM+∠AOB=90°+90°=180°$
（2）① $2β$. 因为$∠POM=90°,∠POC=β$,所以$∠COM=90°-β$,因为射线OC是$∠BOM$的平分线,所以$∠BOM=2∠COM=180°-2β$,所以$∠BON=180°-(180°-2β)=2β$
② $β=60°$或$36°$. 当OA位于$∠QOM$内部时,因为OC平分$∠BOM$,所以$∠BOC=∠COM$,因为$∠AOC=2∠AOM$,所以$∠AOM=∠COM$,所以$∠AOM=∠COM=∠BOC=\frac{1}{3}∠AOB$,因为$∠AOB=90°$,所以$∠COM=30°$,所以$β=90°-30°=60°$;当OA位于$∠POM$内部时,如图,因为$∠POM=90°,∠POC=β$,所以$∠COM=90°-β$,因为OC平分$∠BOM$,所以$∠BOM=2∠COM=180°-2β,∠BOC=∠COM=90°-β$,所以$∠AOM=180°-2β-90°=90°-2β,∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-(90°-β)=β$,因为$∠AOC=2∠AOM$,所以$β=2(90°-2β)$,解得$β=36°$.综上所述,若$∠AOC=2∠AOM$,则$β$的值为$60°$或$36°$
26.
（1）$64°$，$180°$.因为$MN⊥PQ$,所以$∠POM=∠QOM=90°$,因为$∠BOM=∠AOQ=26°$,所以$∠BOP=90°-26°=64°$;因为$∠AOB=90°$,所以$∠AOM+∠BOQ=∠AOM+∠AOQ+∠AOB=∠QOM+∠AOB=90°+90°=180°$
（2）① $2β$. 因为$∠POM=90°,∠POC=β$,所以$∠COM=90°-β$,因为射线OC是$∠BOM$的平分线,所以$∠BOM=2∠COM=180°-2β$,所以$∠BON=180°-(180°-2β)=2β$
② $β=60°$或$36°$. 当OA位于$∠QOM$内部时,因为OC平分$∠BOM$,所以$∠BOC=∠COM$,因为$∠AOC=2∠AOM$,所以$∠AOM=∠COM$,所以$∠AOM=∠COM=∠BOC=\frac{1}{3}∠AOB$,因为$∠AOB=90°$,所以$∠COM=30°$,所以$β=90°-30°=60°$;当OA位于$∠POM$内部时,如图,因为$∠POM=90°,∠POC=β$,所以$∠COM=90°-β$,因为OC平分$∠BOM$,所以$∠BOM=2∠COM=180°-2β,∠BOC=∠COM=90°-β$,所以$∠AOM=180°-2β-90°=90°-2β,∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-(90°-β)=β$,因为$∠AOC=2∠AOM$,所以$β=2(90°-2β)$,解得$β=36°$.综上所述,若$∠AOC=2∠AOM$,则$β$的值为$60°$或$36°$
解析：
【分析】
本题结合三角板的旋转考查角的相关计算，解题思路如下：
（1）先根据MN、PQ互相垂直得到∠POM=∠QOM=90°，旋转角α即∠BOM的度数，求∠BOP用90°减去α即可；计算∠AOM+∠BOQ时，将∠BOQ拆分为∠AOQ+∠AOB，代入后结合已知的直角即可求和。
（2）①先由∠POC=β求出∠COM的度数，再根据角平分线的定义得到∠BOM的度数，最后利用∠BON与∠BOM互为邻补角，即可用含β的代数式表示∠BON。
②需分两种情况讨论：第一种是OA位于∠QOM内部，结合角平分线性质和∠AOC=2∠AOM的等量关系，可推出三个小角相等，均为∠AOB的三分之一，进而求出β；第二种是OA位于∠POM内部，分别用含β的式子表示出∠AOC和∠AOM，再根据等量关系列方程求解，注意不要漏解。
【解析】
（1）
∵MN⊥PQ，
∴∠POM=∠QOM=90°，
由旋转的性质可知∠BOM=α=26°，
∴∠BOP=∠POM-∠BOM=90°-26°=64°；
∵∠AOB=90°，∠BOQ=∠AOQ+∠AOB，
∴∠AOM+∠BOQ=∠AOM+∠AOQ+∠AOB=∠QOM+∠AOB=90°+90°=180°。
（2）①
∵MN⊥PQ，
∴∠POM=90°，
∵∠POC=β，
∴∠COM=∠POM-∠POC=90°-β，
∵OC是∠BOM的平分线，
∴∠BOM=2∠COM=2(90°-β)=180°-2β，
∵∠BOM与∠BON互为邻补角，即∠BOM+∠BON=180°，
∴∠BON=180°-(180°-2β)=2β。
②分两种情况讨论：
i. 当OA位于∠QOM内部时：
∵OC平分∠BOM，
∴∠BOC=∠COM，
∵∠AOC=2∠AOM，且∠AOC=∠AOM+∠COM，
∴∠AOM=∠COM=∠BOC，
∵∠AOB=∠AOM+∠COM+∠BOC=90°，
∴∠COM=90°÷3=30°，
∴β=∠POC=∠POM-∠COM=90°-30°=60°。
ii. 当OA位于∠POM内部时：
∵∠POM=90°，∠POC=β，
∴∠COM=90°-β，
∵OC平分∠BOM，
∴∠BOM=2∠COM=180°-2β，∠BOC=∠COM=90°-β，
∴∠AOM=∠BOM-∠AOB=180°-2β-90°=90°-2β，
∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-(90°-β)=β，
由∠AOC=2∠AOM可得：β=2(90°-2β)，
解得β=36°。
综上，β的值为60°或36°。
【答案】
（1）$64°$，$180°$
（2）① $2β$；② $60°$或$36°$
【知识点】
垂直的性质，角平分线的定义，旋转的性质
【点评】
本题属于角的计算综合题，结合旋转情境考查了角的和差运算、角平分线性质等核心知识，第二问需要分类讨论OA的位置，对学生的逻辑思维和分类讨论意识有一定要求，避免漏解是解题的关键。
【难度系数】
0.6
本题结合三角板的旋转考查角的相关计算，解题思路如下：
（1）先根据MN、PQ互相垂直得到∠POM=∠QOM=90°，旋转角α即∠BOM的度数，求∠BOP用90°减去α即可；计算∠AOM+∠BOQ时，将∠BOQ拆分为∠AOQ+∠AOB，代入后结合已知的直角即可求和。
（2）①先由∠POC=β求出∠COM的度数，再根据角平分线的定义得到∠BOM的度数，最后利用∠BON与∠BOM互为邻补角，即可用含β的代数式表示∠BON。
②需分两种情况讨论：第一种是OA位于∠QOM内部，结合角平分线性质和∠AOC=2∠AOM的等量关系，可推出三个小角相等，均为∠AOB的三分之一，进而求出β；第二种是OA位于∠POM内部，分别用含β的式子表示出∠AOC和∠AOM，再根据等量关系列方程求解，注意不要漏解。
【解析】
（1）
∵MN⊥PQ，
∴∠POM=∠QOM=90°，
由旋转的性质可知∠BOM=α=26°，
∴∠BOP=∠POM-∠BOM=90°-26°=64°；
∵∠AOB=90°，∠BOQ=∠AOQ+∠AOB，
∴∠AOM+∠BOQ=∠AOM+∠AOQ+∠AOB=∠QOM+∠AOB=90°+90°=180°。
（2）①
∵MN⊥PQ，
∴∠POM=90°，
∵∠POC=β，
∴∠COM=∠POM-∠POC=90°-β，
∵OC是∠BOM的平分线，
∴∠BOM=2∠COM=2(90°-β)=180°-2β，
∵∠BOM与∠BON互为邻补角，即∠BOM+∠BON=180°，
∴∠BON=180°-(180°-2β)=2β。
②分两种情况讨论：
i. 当OA位于∠QOM内部时：
∵OC平分∠BOM，
∴∠BOC=∠COM，
∵∠AOC=2∠AOM，且∠AOC=∠AOM+∠COM，
∴∠AOM=∠COM=∠BOC，
∵∠AOB=∠AOM+∠COM+∠BOC=90°，
∴∠COM=90°÷3=30°，
∴β=∠POC=∠POM-∠COM=90°-30°=60°。
ii. 当OA位于∠POM内部时：
∵∠POM=90°，∠POC=β，
∴∠COM=90°-β，
∵OC平分∠BOM，
∴∠BOM=2∠COM=180°-2β，∠BOC=∠COM=90°-β，
∴∠AOM=∠BOM-∠AOB=180°-2β-90°=90°-2β，
∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-(90°-β)=β，
由∠AOC=2∠AOM可得：β=2(90°-2β)，
解得β=36°。
综上，β的值为60°或36°。
【答案】
（1）$64°$，$180°$
（2）① $2β$；② $60°$或$36°$
【知识点】
垂直的性质，角平分线的定义，旋转的性质
【点评】
本题属于角的计算综合题，结合旋转情境考查了角的和差运算、角平分线性质等核心知识，第二问需要分类讨论OA的位置，对学生的逻辑思维和分类讨论意识有一定要求，避免漏解是解题的关键。
【难度系数】
0.6