11. 计算：
(1) $(-1\dfrac{1}{2})^2 ÷ (-\dfrac{3}{4})^3$；
(2) $(-0.25)^3 × (-4)^2 ÷ (-1)^{11}$；
(3) $|-3|^3$；
(4) $-3^2 - (-3)^3 + (-2)^2 - 2^3$。
(1) $(-1\dfrac{1}{2})^2 ÷ (-\dfrac{3}{4})^3$；
(2) $(-0.25)^3 × (-4)^2 ÷ (-1)^{11}$；
(3) $|-3|^3$；
(4) $-3^2 - (-3)^3 + (-2)^2 - 2^3$。
答案：11. (1) $-\dfrac{16}{3}$ (2) $\dfrac{1}{4}$ (3) 27 (4) 14
解析：
【分析】
这组题目是有理数乘方相关的运算题，解题遵循有理数混合运算的顺序：①先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减；②同级运算从左到右依次计算。计算前要注意：带分数先化为假分数，小数可化为分数方便约分；重点区分$-a^n$与$(-a)^n$的符号差异：负数的奇次幂为负，偶次幂为正，$-a^n$表示$a^n$的相反数，a为正数时符号始终为负，按这个顺序逐步计算即可。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数，再分别计算乘方，最后计算除法：
原式$=(-\dfrac{3}{2})^2 ÷ (-\dfrac{3}{4})^3$
$=\dfrac{9}{4} ÷ (-\dfrac{27}{64})$
$=\dfrac{9}{4} × (-\dfrac{64}{27})$
$=-\dfrac{16}{3}$
(2) 先将小数化为分数，分别计算各乘方，再按从左到右顺序计算乘除：
原式$=(-\dfrac{1}{4})^3 × (-4)^2 ÷ (-1)^{11}$
$=(-\dfrac{1}{64}) × 16 ÷ (-1)$
$=(-\dfrac{1}{4}) ÷ (-1)$
$=\dfrac{1}{4}$
(3) 先计算绝对值，再计算乘方：
原式$=3^3=27$
(4) 先分别计算各乘方，再按顺序计算加减，注意符号变化：
原式$=-9 - (-27) + 4 - 8$
$=-9 + 27 + 4 - 8$
$=18 + 4 -8$
$=22 -8$
$=14$
【答案】
(1) $-\dfrac{16}{3}$；(2) $\dfrac{1}{4}$；(3) $27$；(4) $14$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算；绝对值运算
【点评】
本题是有理数乘方的基础运算题，核心考点是运算顺序和符号判断，解题时要注意区分带负号的乘方的两种形式，避免符号出错，计算乘除时优先约分可以提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.7
这组题目是有理数乘方相关的运算题，解题遵循有理数混合运算的顺序：①先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减；②同级运算从左到右依次计算。计算前要注意：带分数先化为假分数，小数可化为分数方便约分；重点区分$-a^n$与$(-a)^n$的符号差异：负数的奇次幂为负，偶次幂为正，$-a^n$表示$a^n$的相反数，a为正数时符号始终为负，按这个顺序逐步计算即可。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数，再分别计算乘方，最后计算除法：
原式$=(-\dfrac{3}{2})^2 ÷ (-\dfrac{3}{4})^3$
$=\dfrac{9}{4} ÷ (-\dfrac{27}{64})$
$=\dfrac{9}{4} × (-\dfrac{64}{27})$
$=-\dfrac{16}{3}$
(2) 先将小数化为分数，分别计算各乘方，再按从左到右顺序计算乘除：
原式$=(-\dfrac{1}{4})^3 × (-4)^2 ÷ (-1)^{11}$
$=(-\dfrac{1}{64}) × 16 ÷ (-1)$
$=(-\dfrac{1}{4}) ÷ (-1)$
$=\dfrac{1}{4}$
(3) 先计算绝对值，再计算乘方：
原式$=3^3=27$
(4) 先分别计算各乘方，再按顺序计算加减，注意符号变化：
原式$=-9 - (-27) + 4 - 8$
$=-9 + 27 + 4 - 8$
$=18 + 4 -8$
$=22 -8$
$=14$
【答案】
(1) $-\dfrac{16}{3}$；(2) $\dfrac{1}{4}$；(3) $27$；(4) $14$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算；绝对值运算
【点评】
本题是有理数乘方的基础运算题，核心考点是运算顺序和符号判断，解题时要注意区分带负号的乘方的两种形式，避免符号出错，计算乘除时优先约分可以提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.7
12. 记$M_{(1)}=-2$，$M_{(2)}=(-2)^2$，$M_{(3)}=(-2)^3$，…，$M_{(n)}=(-2)^n$. 求值：
（1）$M_{(5)}+M_{(6)}$；
（2）$2M_{(2024)}+M_{(2025)}$.
（1）$M_{(5)}+M_{(6)}$；
（2）$2M_{(2024)}+M_{(2025)}$.
答案：12. (1) $M_{(5)}+M_{(6)}=(-2)^5+(-2)^6=32$
(2) $2M_{(2024)}+M_{(2025)}=2×(-2)^{2024}+(-2)^{2025}=2×2^{2024}-2^{2025}=2^{2025}-2^{2025}=0$
(2) $2M_{(2024)}+M_{(2025)}=2×(-2)^{2024}+(-2)^{2025}=2×2^{2024}-2^{2025}=2^{2025}-2^{2025}=0$
解析：
【分析】
解题首先要明确题目给出的$M_{(n)}$的定义：$M_{(n)}=(-2)^n$，即n个-2相乘。
（1）第一小问直接将$n=5$和$n=6$代入定义，分别计算两个乘方的值后相加即可。
（2）第二小问的指数2024、2025数值很大，无法直接计算乘方结果，需要利用乘方的性质化简：先根据“负数的偶次幂为正、奇次幂为负”判断符号，再结合$(-2)^{2025}=(-2)×(-2)^{2024}$的变形代入式子，化简即可得到结果，无需计算大数的乘方。
【解析】
（1）根据题意代入定义：
$M_{(5)}+M_{(6)}=(-2)^5+(-2)^6$
计算得$(-2)^5=-32$，$(-2)^6=64$，则：
原式$=-32+64=32$
（2）根据题意代入定义：
$2M_{(2024)}+M_{(2025)}=2×(-2)^{2024}+(-2)^{2025}$
2024是偶数，故$(-2)^{2024}=2^{2024}$；2025是奇数，故$(-2)^{2025}=-2^{2025}$，代入得：
原式$=2×2^{2024}-2^{2025}=2^{2025}-2^{2025}=0$
【答案】
（1）$\boxed{32}$；（2）$\boxed{0}$
【知识点】
1. 乘方的定义
2. 负数乘方的符号规律
3. 有理数混合运算
【点评】
本题是乘方的基础应用题型，重点考查对乘方定义的理解和乘方性质的灵活运用，遇到大指数的乘方运算时不要盲目硬算，要结合乘方的性质变形后再化简求解。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确题目给出的$M_{(n)}$的定义：$M_{(n)}=(-2)^n$，即n个-2相乘。
（1）第一小问直接将$n=5$和$n=6$代入定义，分别计算两个乘方的值后相加即可。
（2）第二小问的指数2024、2025数值很大，无法直接计算乘方结果，需要利用乘方的性质化简：先根据“负数的偶次幂为正、奇次幂为负”判断符号，再结合$(-2)^{2025}=(-2)×(-2)^{2024}$的变形代入式子，化简即可得到结果，无需计算大数的乘方。
【解析】
（1）根据题意代入定义：
$M_{(5)}+M_{(6)}=(-2)^5+(-2)^6$
计算得$(-2)^5=-32$，$(-2)^6=64$，则：
原式$=-32+64=32$
（2）根据题意代入定义：
$2M_{(2024)}+M_{(2025)}=2×(-2)^{2024}+(-2)^{2025}$
2024是偶数，故$(-2)^{2024}=2^{2024}$；2025是奇数，故$(-2)^{2025}=-2^{2025}$，代入得：
原式$=2×2^{2024}-2^{2025}=2^{2025}-2^{2025}=0$
【答案】
（1）$\boxed{32}$；（2）$\boxed{0}$
【知识点】
1. 乘方的定义
2. 负数乘方的符号规律
3. 有理数混合运算
【点评】
本题是乘方的基础应用题型，重点考查对乘方定义的理解和乘方性质的灵活运用，遇到大指数的乘方运算时不要盲目硬算，要结合乘方的性质变形后再化简求解。
【难度系数】
0.7
13. 阅读材料：
求值：$1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{10}$。
解：设$S=1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{10}$， ①
将等式两边同时乘3，得
$3S=3+3^2+3^3+3^4+3^5+\dots+3^{10}+3^{11}$。 ②
②－①，得
$3S - S = 3+3^2+3^3+3^4+3^5+\dots+3^{10}+3^{11} - (1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{10}) = 3^{11} - 1$。
所以$S=\frac{1}{2}(3^{11} - 1)$。
请你仿照此法计算：
(1) $1+3+3^2+3^3+\dots+3^{100}$； (2) $5^{100}+5^{101}+5^{102}+5^{103}+\dots+5^{2025}$。
求值：$1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{10}$。
解：设$S=1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{10}$， ①
将等式两边同时乘3，得
$3S=3+3^2+3^3+3^4+3^5+\dots+3^{10}+3^{11}$。 ②
②－①，得
$3S - S = 3+3^2+3^3+3^4+3^5+\dots+3^{10}+3^{11} - (1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{10}) = 3^{11} - 1$。
所以$S=\frac{1}{2}(3^{11} - 1)$。
请你仿照此法计算：
(1) $1+3+3^2+3^3+\dots+3^{100}$； (2) $5^{100}+5^{101}+5^{102}+5^{103}+\dots+5^{2025}$。
答案：13. (1) $\dfrac{3^{101}-1}{2}$ (2) $\dfrac{5^{2026}-5^{100}}{4}$
解析：
【分析】
本题是材料仿做类题目，使用错位相减法求等比数列的和，解题思路如下：首先观察式子特征，这类式子后一项与前一项的比值为固定常数（公比），第一步先设整个式子的和为S；第二步将等式两边同时乘公比，得到新的等式；第三步用新等式减去原等式，中间重复的项会全部抵消，只剩下首尾两项，最后化简即可求出S的值。第(1)问公比为3，和例题解法完全一致；第(2)问公比为5，注意相减时准确保留首尾项即可。
【解析】
(1) 设$ S=1+3+3^2+3^3+\dots+3^{100} $ ①
将等式两边同时乘3，得：
$ 3S=3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{100}+3^{101} $ ②
用②减去①，得：
$ 3S-S=3^{101}-1 $
即$ 2S=3^{101}-1 $
解得$ S=\dfrac{3^{101}-1}{2} $
(2) 设$ S=5^{100}+5^{101}+5^{102}+\dots+5^{2025} $ ①
将等式两边同时乘5，得：
$ 5S=5^{101}+5^{102}+5^{103}+\dots+5^{2025}+5^{2026} $ ②
用②减去①，得：
$ 5S-S=5^{2026}-5^{100} $
即$ 4S=5^{2026}-5^{100} $
解得$ S=\dfrac{5^{2026}-5^{100}}{4} $
【答案】
(1) $\dfrac{3^{101}-1}{2}$；(2) $\dfrac{5^{2026}-5^{100}}{4}$
【知识点】
有理数乘方、错位相减法、等式的性质
【点评】
本题考查方法迁移应用能力，核心是读懂材料给出的错位相减规则，套用步骤即可求解，解题时需注意相减后保留的首尾项不要写错，公比是多少就用新等式减原等式后除以（公比-1）即可。
【难度系数】
0.7
本题是材料仿做类题目，使用错位相减法求等比数列的和，解题思路如下：首先观察式子特征，这类式子后一项与前一项的比值为固定常数（公比），第一步先设整个式子的和为S；第二步将等式两边同时乘公比，得到新的等式；第三步用新等式减去原等式，中间重复的项会全部抵消，只剩下首尾两项，最后化简即可求出S的值。第(1)问公比为3，和例题解法完全一致；第(2)问公比为5，注意相减时准确保留首尾项即可。
【解析】
(1) 设$ S=1+3+3^2+3^3+\dots+3^{100} $ ①
将等式两边同时乘3，得：
$ 3S=3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{100}+3^{101} $ ②
用②减去①，得：
$ 3S-S=3^{101}-1 $
即$ 2S=3^{101}-1 $
解得$ S=\dfrac{3^{101}-1}{2} $
(2) 设$ S=5^{100}+5^{101}+5^{102}+\dots+5^{2025} $ ①
将等式两边同时乘5，得：
$ 5S=5^{101}+5^{102}+5^{103}+\dots+5^{2025}+5^{2026} $ ②
用②减去①，得：
$ 5S-S=5^{2026}-5^{100} $
即$ 4S=5^{2026}-5^{100} $
解得$ S=\dfrac{5^{2026}-5^{100}}{4} $
【答案】
(1) $\dfrac{3^{101}-1}{2}$；(2) $\dfrac{5^{2026}-5^{100}}{4}$
【知识点】
有理数乘方、错位相减法、等式的性质
【点评】
本题考查方法迁移应用能力，核心是读懂材料给出的错位相减规则，套用步骤即可求解，解题时需注意相减后保留的首尾项不要写错，公比是多少就用新等式减原等式后除以（公比-1）即可。
【难度系数】
0.7