10. 把 $3a^2b - 2ab - 3 + 4a^2b^2$ 降幂排列.
答案： 可以按a的次数降幂，也可以按b的次数降幂，结果都是 $4a^2b^2+3a^2b-2ab-3$
11. 写出下列多项式中的项、各项的次数及多项式的次数，并说出它是几次几项式.
(1) $3xy - xy^2 - 1$；
(2) $\frac{1}{4}π b^2 + a - 3π b$；
(3) $\frac{2}{3}a^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{3}{4}a^2 + ab - b^2$；
(4) $\frac{2}{3}mn^2 - \frac{3}{2}n^2m - \frac{17}{6}mn^2 + n^2m$.
(1) $3xy - xy^2 - 1$；
(2) $\frac{1}{4}π b^2 + a - 3π b$；
(3) $\frac{2}{3}a^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{3}{4}a^2 + ab - b^2$；
(4) $\frac{2}{3}mn^2 - \frac{3}{2}n^2m - \frac{17}{6}mn^2 + n^2m$.
答案：解：
(1) 多项式$3xy - xy^2 - 1$的项为$3xy$，$-xy^2$，$-1$；
各项的次数依次为2，3，0；
该多项式的次数是3，它是三次三项式。
(2) 多项式$\frac{1}{4}π b^2 + a - 3π b$的项为$\frac{1}{4}π b^2$，$a$，$-3π b$；
各项的次数依次为2，1，1；
该多项式的次数是2，它是二次三项式。
(3) 先合并同类项：
$\begin{aligned}\frac{2}{3}a^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{3}{4}a^2 + ab - b^2&= (\frac{2}{3}+\frac{3}{4})a^2 + (-\frac{1}{2}+1)ab - b^2 \\&= \frac{17}{12}a^2 + \frac{1}{2}ab - b^2\end{aligned}$
合并后多项式的项为$\frac{17}{12}a^2$，$\frac{1}{2}ab$，$-b^2$；
各项的次数依次为2，2，2；
该多项式的次数是2，它是二次三项式。
(4) 先合并同类项：
$\begin{aligned}\frac{2}{3}mn^2 - \frac{3}{2}n^2m - \frac{17}{6}mn^2 + n^2m&= (\frac{2}{3}-\frac{3}{2}-\frac{17}{6}+1)mn^2 \\&= -\frac{8}{3}mn^2\end{aligned}$
该式化简后为单项式，次数为3，是三次单项式。
(1) 多项式$3xy - xy^2 - 1$的项为$3xy$，$-xy^2$，$-1$；
各项的次数依次为2，3，0；
该多项式的次数是3，它是三次三项式。
(2) 多项式$\frac{1}{4}π b^2 + a - 3π b$的项为$\frac{1}{4}π b^2$，$a$，$-3π b$；
各项的次数依次为2，1，1；
该多项式的次数是2，它是二次三项式。
(3) 先合并同类项：
$\begin{aligned}\frac{2}{3}a^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{3}{4}a^2 + ab - b^2&= (\frac{2}{3}+\frac{3}{4})a^2 + (-\frac{1}{2}+1)ab - b^2 \\&= \frac{17}{12}a^2 + \frac{1}{2}ab - b^2\end{aligned}$
合并后多项式的项为$\frac{17}{12}a^2$，$\frac{1}{2}ab$，$-b^2$；
各项的次数依次为2，2，2；
该多项式的次数是2，它是二次三项式。
(4) 先合并同类项：
$\begin{aligned}\frac{2}{3}mn^2 - \frac{3}{2}n^2m - \frac{17}{6}mn^2 + n^2m&= (\frac{2}{3}-\frac{3}{2}-\frac{17}{6}+1)mn^2 \\&= -\frac{8}{3}mn^2\end{aligned}$
该式化简后为单项式，次数为3，是三次单项式。
12. 阅读下列材料并回答问题：
把几个数或整式用大括号括起来，中间用逗号分开，如$\{-3, 6, 12\}$，$\{x, xy^2, -2x+1\}$，我们称之为集合，其中大括号内的数或整式称为集合的元素. 如果一个集合满足：只要其中有一个元素$x$使得$-2x+1$也是这个集合的元素，则称这样的集合为关联集合，元素$-2x+1$称为条件元素. 例如：集合$\{-1, 1, 0\}$中元素1使得$-2×1 +1=-1$，$-1$也恰好是这个集合的元素，所以集合$\{-1, 1, 0\}$是关联集合，元素$-1$称为条件元素. 又如集合$\{\dfrac{1}{3}\}$满足$-2×\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{1}{3}$是关联集合，元素$\dfrac{1}{3}$称为条件元素.
（1）试说明：集合$\{-\dfrac{4}{3}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{11}{3}\}$是关联集合；
（2）若集合$\{xy-y^2, A\}$是关联集合，其中$A$是条件元素，试求$A$.
把几个数或整式用大括号括起来，中间用逗号分开，如$\{-3, 6, 12\}$，$\{x, xy^2, -2x+1\}$，我们称之为集合，其中大括号内的数或整式称为集合的元素. 如果一个集合满足：只要其中有一个元素$x$使得$-2x+1$也是这个集合的元素，则称这样的集合为关联集合，元素$-2x+1$称为条件元素. 例如：集合$\{-1, 1, 0\}$中元素1使得$-2×1 +1=-1$，$-1$也恰好是这个集合的元素，所以集合$\{-1, 1, 0\}$是关联集合，元素$-1$称为条件元素. 又如集合$\{\dfrac{1}{3}\}$满足$-2×\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{1}{3}$是关联集合，元素$\dfrac{1}{3}$称为条件元素.
（1）试说明：集合$\{-\dfrac{4}{3}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{11}{3}\}$是关联集合；
（2）若集合$\{xy-y^2, A\}$是关联集合，其中$A$是条件元素，试求$A$.
答案：（1）证明：
对于集合$\{-\dfrac{4}{3}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{11}{3}\}$，取元素$-\dfrac{4}{3}$，代入运算得：
$-2×(-\dfrac{4}{3})+1=\dfrac{8}{3}+1=\dfrac{11}{3}$
$\dfrac{11}{3}$恰好是该集合的元素，满足关联集合的定义，因此集合$\{-\dfrac{4}{3}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{11}{3}\}$是关联集合。
（2）解：
已知集合$\{xy-y^2, A\}$是关联集合，且$A$是条件元素，根据条件元素的定义分三种情况讨论：
1. 若$A$是元素$xy-y^2$对应的条件元素，则满足$A=-2(xy-y^2)+1$，整理得：
$A=-2xy+2y^2+1$
2. 若$A$是自身对应的条件元素，则满足$A=-2A+1$，解方程：
$3A=1 \implies A=\dfrac{1}{3}$
综上，$A$的值为$-2xy+2y^2+1$或$\dfrac{1}{3}$。
对于集合$\{-\dfrac{4}{3}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{11}{3}\}$，取元素$-\dfrac{4}{3}$，代入运算得：
$-2×(-\dfrac{4}{3})+1=\dfrac{8}{3}+1=\dfrac{11}{3}$
$\dfrac{11}{3}$恰好是该集合的元素，满足关联集合的定义，因此集合$\{-\dfrac{4}{3}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{11}{3}\}$是关联集合。
（2）解：
已知集合$\{xy-y^2, A\}$是关联集合，且$A$是条件元素，根据条件元素的定义分三种情况讨论：
1. 若$A$是元素$xy-y^2$对应的条件元素，则满足$A=-2(xy-y^2)+1$，整理得：
$A=-2xy+2y^2+1$
2. 若$A$是自身对应的条件元素，则满足$A=-2A+1$，解方程：
$3A=1 \implies A=\dfrac{1}{3}$
综上，$A$的值为$-2xy+2y^2+1$或$\dfrac{1}{3}$。
解析：
【解析】
（1）根据关联集合的定义，验证集合中存在一个元素$x$，使得$-2x+1$也属于该集合：
取集合中的元素$-\dfrac{4}{3}$，代入运算得：
$-2×(-\dfrac{4}{3})+1=\dfrac{8}{3}+1=\dfrac{11}{3}$
$\dfrac{11}{3}$是集合$\{-\dfrac{4}{3}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{11}{3}\}$的元素，满足关联集合的定义，因此该集合是关联集合。
（2）已知集合$\{xy-y^2, A\}$是关联集合，且$A$是条件元素，分两种情况讨论：
① 若$A$是元素$xy-y^2$对应的条件元素，根据条件元素定义可得：
$A=-2(xy-y^2)+1=-2xy+2y^2+1$
② 若$A$是自身对应的条件元素，根据条件元素定义可得：
$A=-2A+1$
移项整理得$3A=1$，解得$A=\dfrac{1}{3}$
综上，$A$的取值为上述两种结果。
【答案】
（1）集合$\{-\dfrac{4}{3}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{11}{3}\}$是关联集合，证明如上；
（2）$A$的值为$-2xy+2y^2+1$或$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
新定义集合
代数式运算
一元一次方程求解
【点评】
本题属于新定义题型，核心是准确理解关联集合和条件元素的定义，第（2）问需要分类讨论所有符合条件的情况，避免漏解，侧重考查学生的知识迁移和分类讨论思维能力。
【难度系数】
0.6
（1）根据关联集合的定义，验证集合中存在一个元素$x$，使得$-2x+1$也属于该集合：
取集合中的元素$-\dfrac{4}{3}$，代入运算得：
$-2×(-\dfrac{4}{3})+1=\dfrac{8}{3}+1=\dfrac{11}{3}$
$\dfrac{11}{3}$是集合$\{-\dfrac{4}{3}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{11}{3}\}$的元素，满足关联集合的定义，因此该集合是关联集合。
（2）已知集合$\{xy-y^2, A\}$是关联集合，且$A$是条件元素，分两种情况讨论：
① 若$A$是元素$xy-y^2$对应的条件元素，根据条件元素定义可得：
$A=-2(xy-y^2)+1=-2xy+2y^2+1$
② 若$A$是自身对应的条件元素，根据条件元素定义可得：
$A=-2A+1$
移项整理得$3A=1$，解得$A=\dfrac{1}{3}$
综上，$A$的取值为上述两种结果。
【答案】
（1）集合$\{-\dfrac{4}{3}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{11}{3}\}$是关联集合，证明如上；
（2）$A$的值为$-2xy+2y^2+1$或$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
新定义集合
代数式运算
一元一次方程求解
【点评】
本题属于新定义题型，核心是准确理解关联集合和条件元素的定义，第（2）问需要分类讨论所有符合条件的情况，避免漏解，侧重考查学生的知识迁移和分类讨论思维能力。
【难度系数】
0.6