10. 把$3a^2b - 2ab - 3 + 4a^2b^2$降幂排列.
答案：10. 可以按a的次数降幂，也可以按b的次数降幂，结果都是$4a^2b^2+3a^2b-2ab-3$
解析：
【分析】
解题首先要明确降幂排列的定义：将多项式的各项按照某一指定字母的指数从大到小的顺序排列，排列时需要连同每项前面的符号一起移动。首先拆分原多项式的所有项：$3a^2b$、$-2ab$、$-3$、$4a^2b^2$。本题未指定按哪个字母降幂，可分别按a或b的次数降幂排列：
1. 若按a的降幂排列：先统计各项中a的指数，$4a^2b^2$和$3a^2b$的a指数都是2，$-2ab$的a指数是1，常数项$-3$不含a，a指数为0；a指数相同的项，再按b的指数从大到小排序，$4a^2b^2$的b指数为2，大于$3a^2b$的b指数1，因此排在最前。
2. 若按b的降幂排列：统计各项中b的指数，$4a^2b^2$的b指数是2，$3a^2b$和$-2ab$的b指数都是1，常数项$-3$的b指数为0；b指数相同的项，再按a的指数从大到小排序，$3a^2b$的a指数为2，大于$-2ab$的a指数1，因此排在$-2ab$前。两种排序方式最终结果一致。
【解析】
解：首先列出原多项式的所有项：$3a^2b$、$-2ab$、$-3$、$4a^2b^2$。
① 按a的降幂排列：
按a的指数从大到小排列，a指数相同的项按b的指数从大到小排列，得：
$4a^2b^2+3a^2b-2ab-3$
② 按b的降幂排列：
按b的指数从大到小排列，b指数相同的项按a的指数从大到小排列，得：
$4a^2b^2+3a^2b-2ab-3$
两种排列方式结果相同。
【答案】
$4a^2b^2+3a^2b-2ab-3$
【知识点】
多项式的项、降幂排列
【点评】
本题主要考查多项式降幂排列的规则，解题时需注意移动各项时要连同项前的符号一起移动，相同次数的项可按另一字母的次数排序，避免漏项、错放符号即可正确求解。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确降幂排列的定义：将多项式的各项按照某一指定字母的指数从大到小的顺序排列，排列时需要连同每项前面的符号一起移动。首先拆分原多项式的所有项：$3a^2b$、$-2ab$、$-3$、$4a^2b^2$。本题未指定按哪个字母降幂，可分别按a或b的次数降幂排列：
1. 若按a的降幂排列：先统计各项中a的指数，$4a^2b^2$和$3a^2b$的a指数都是2，$-2ab$的a指数是1，常数项$-3$不含a，a指数为0；a指数相同的项，再按b的指数从大到小排序，$4a^2b^2$的b指数为2，大于$3a^2b$的b指数1，因此排在最前。
2. 若按b的降幂排列：统计各项中b的指数，$4a^2b^2$的b指数是2，$3a^2b$和$-2ab$的b指数都是1，常数项$-3$的b指数为0；b指数相同的项，再按a的指数从大到小排序，$3a^2b$的a指数为2，大于$-2ab$的a指数1，因此排在$-2ab$前。两种排序方式最终结果一致。
【解析】
解：首先列出原多项式的所有项：$3a^2b$、$-2ab$、$-3$、$4a^2b^2$。
① 按a的降幂排列：
按a的指数从大到小排列，a指数相同的项按b的指数从大到小排列，得：
$4a^2b^2+3a^2b-2ab-3$
② 按b的降幂排列：
按b的指数从大到小排列，b指数相同的项按a的指数从大到小排列，得：
$4a^2b^2+3a^2b-2ab-3$
两种排列方式结果相同。
【答案】
$4a^2b^2+3a^2b-2ab-3$
【知识点】
多项式的项、降幂排列
【点评】
本题主要考查多项式降幂排列的规则，解题时需注意移动各项时要连同项前的符号一起移动，相同次数的项可按另一字母的次数排序，避免漏项、错放符号即可正确求解。
【难度系数】
0.9
11. 写出下列多项式中的项、各项的次数及多项式的次数，并说出它是几次几项式.
(1) $3xy - xy^2 - 1$；
(2) $\frac{1}{4}π b^2 + a - 3π b$；
(3) $\frac{2}{3}a^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{3}{4}a^2 + ab - b^2$；
(4) $\frac{2}{3}mn^2 - \frac{3}{2}n^2m - \frac{17}{6}mn^2 + n^2m$.
(1) $3xy - xy^2 - 1$；
(2) $\frac{1}{4}π b^2 + a - 3π b$；
(3) $\frac{2}{3}a^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{3}{4}a^2 + ab - b^2$；
(4) $\frac{2}{3}mn^2 - \frac{3}{2}n^2m - \frac{17}{6}mn^2 + n^2m$.
答案：解：
(1) 该多项式的项为$3xy$，$-xy^2$，$-1$；
各项的次数分别为2，3，0；
该多项式的次数为3，它是三次三项式。
(2) 该多项式的项为$\frac{1}{4}π b^2$，$a$，$-3π b$；
各项的次数分别为2，1，1；
该多项式的次数为2，它是二次三项式。
(3) 先合并同类项：
$\frac{2}{3}a^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{3}{4}a^2 + ab - b^2$
$= (\frac{2}{3}+\frac{3}{4})a^2 + (-\frac{1}{2}+1)ab - b^2$
$= \frac{17}{12}a^2 + \frac{1}{2}ab - b^2$
该多项式的项为$\frac{17}{12}a^2$，$\frac{1}{2}ab$，$-b^2$；
各项的次数分别为2，2，2；
该多项式的次数为2，它是二次三项式。
(4) 先合并同类项：
$\frac{2}{3}mn^2 - \frac{3}{2}n^2m - \frac{17}{6}mn^2 + n^2m$
$= (\frac{2}{3}-\frac{3}{2}-\frac{17}{6}+1)mn^2$
$= -\frac{8}{3}mn^2$
该多项式的项为$-\frac{8}{3}mn^2$；
该项的次数为3；
该多项式的次数为3，它是三次一项式。
(1) 该多项式的项为$3xy$，$-xy^2$，$-1$；
各项的次数分别为2，3，0；
该多项式的次数为3，它是三次三项式。
(2) 该多项式的项为$\frac{1}{4}π b^2$，$a$，$-3π b$；
各项的次数分别为2，1，1；
该多项式的次数为2，它是二次三项式。
(3) 先合并同类项：
$\frac{2}{3}a^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{3}{4}a^2 + ab - b^2$
$= (\frac{2}{3}+\frac{3}{4})a^2 + (-\frac{1}{2}+1)ab - b^2$
$= \frac{17}{12}a^2 + \frac{1}{2}ab - b^2$
该多项式的项为$\frac{17}{12}a^2$，$\frac{1}{2}ab$，$-b^2$；
各项的次数分别为2，2，2；
该多项式的次数为2，它是二次三项式。
(4) 先合并同类项：
$\frac{2}{3}mn^2 - \frac{3}{2}n^2m - \frac{17}{6}mn^2 + n^2m$
$= (\frac{2}{3}-\frac{3}{2}-\frac{17}{6}+1)mn^2$
$= -\frac{8}{3}mn^2$
该多项式的项为$-\frac{8}{3}mn^2$；
该项的次数为3；
该多项式的次数为3，它是三次一项式。
解析：
【分析】
解决本题需要按照以下思路逐步推导：首先，若多项式中存在同类项，要先根据合并同类项法则将多项式化简为最简形式，避免后续判断项数出错；其次，找出组成多项式的所有单项式（注意要连同项前面的正负号），这些就是多项式的项；接着计算每个项的次数：单项式中所有字母的指数和就是该项的次数，常数项的次数为0，注意π是常数，不算入字母范畴；再找所有项中次数最高的值，就是这个多项式的次数；最后根据多项式的最高次数和最简形式下的项数，确定它是几次几项式。
【解析】
(1) $3xy - xy^2 - 1$没有同类项，无需化简：
该多项式的项为$3xy$，$-xy^2$，$-1$；
$3xy$的次数是$1+1=2$，$-xy^2$的次数是$1+2=3$，常数项$-1$的次数是0；
最高次项次数为3，共有3个项，因此它是三次三项式。
(2) $\frac{1}{4}π b^2 + a - 3π b$没有同类项，无需化简：
该多项式的项为$\frac{1}{4}π b^2$，$a$，$-3π b$；
$\frac{1}{4}π b^2$的次数是2，$a$的次数是1，$-3π b$的次数是1；
最高次项次数为2，共有3个项，因此它是二次三项式。
(3) 先合并同类项化简：
$\begin{aligned}&\frac{2}{3}a^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{3}{4}a^2 + ab - b^2\\=& (\frac{2}{3}+\frac{3}{4})a^2 + (-\frac{1}{2}+1)ab - b^2\\=& \frac{17}{12}a^2 + \frac{1}{2}ab - b^2\end{aligned}$
化简后该多项式的项为$\frac{17}{12}a^2$，$\frac{1}{2}ab$，$-b^2$；
$\frac{17}{12}a^2$的次数是2，$\frac{1}{2}ab$的次数是$1+1=2$，$-b^2$的次数是2；
最高次项次数为2，共有3个项，因此它是二次三项式。
(4) 先合并同类项化简：
$\begin{aligned}&\frac{2}{3}mn^2 - \frac{3}{2}n^2m - \frac{17}{6}mn^2 + n^2m\\=& (\frac{2}{3}-\frac{3}{2}-\frac{17}{6}+1)mn^2\\=& -\frac{8}{3}mn^2\end{aligned}$
化简后该多项式的项为$-\frac{8}{3}mn^2$；
该项的次数是$1+2=3$；
最高次项次数为3，共有1个项，因此它是三次一项式。
【答案】
(1) 该多项式的项为$3xy$，$-xy^2$，$-1$；各项的次数分别为2，3，0；该多项式的次数为3，它是三次三项式。
(2) 该多项式的项为$\frac{1}{4}π b^2$，$a$，$-3π b$；各项的次数分别为2，1，1；该多项式的次数为2，它是二次三项式。
(3) 化简后该多项式的项为$\frac{17}{12}a^2$，$\frac{1}{2}ab$，$-b^2$；各项的次数分别为2，2，2；该多项式的次数为2，它是二次三项式。
(4) 化简后该多项式的项为$-\frac{8}{3}mn^2$；该项的次数为3；该多项式的次数为3，它是三次一项式。
【知识点】
合并同类项，单项式的次数，多项式的概念
【点评】
本题侧重考查整式相关的基础概念，解题时需注意：写多项式的项时要带前面的符号，判断项数前必须先合并同类项，计算次数时不要把π当作字母处理，规避这些易错点就能顺利解题。
【难度系数】
0.75
解决本题需要按照以下思路逐步推导：首先，若多项式中存在同类项，要先根据合并同类项法则将多项式化简为最简形式，避免后续判断项数出错；其次，找出组成多项式的所有单项式（注意要连同项前面的正负号），这些就是多项式的项；接着计算每个项的次数：单项式中所有字母的指数和就是该项的次数，常数项的次数为0，注意π是常数，不算入字母范畴；再找所有项中次数最高的值，就是这个多项式的次数；最后根据多项式的最高次数和最简形式下的项数，确定它是几次几项式。
【解析】
(1) $3xy - xy^2 - 1$没有同类项，无需化简：
该多项式的项为$3xy$，$-xy^2$，$-1$；
$3xy$的次数是$1+1=2$，$-xy^2$的次数是$1+2=3$，常数项$-1$的次数是0；
最高次项次数为3，共有3个项，因此它是三次三项式。
(2) $\frac{1}{4}π b^2 + a - 3π b$没有同类项，无需化简：
该多项式的项为$\frac{1}{4}π b^2$，$a$，$-3π b$；
$\frac{1}{4}π b^2$的次数是2，$a$的次数是1，$-3π b$的次数是1；
最高次项次数为2，共有3个项，因此它是二次三项式。
(3) 先合并同类项化简：
$\begin{aligned}&\frac{2}{3}a^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{3}{4}a^2 + ab - b^2\\=& (\frac{2}{3}+\frac{3}{4})a^2 + (-\frac{1}{2}+1)ab - b^2\\=& \frac{17}{12}a^2 + \frac{1}{2}ab - b^2\end{aligned}$
化简后该多项式的项为$\frac{17}{12}a^2$，$\frac{1}{2}ab$，$-b^2$；
$\frac{17}{12}a^2$的次数是2，$\frac{1}{2}ab$的次数是$1+1=2$，$-b^2$的次数是2；
最高次项次数为2，共有3个项，因此它是二次三项式。
(4) 先合并同类项化简：
$\begin{aligned}&\frac{2}{3}mn^2 - \frac{3}{2}n^2m - \frac{17}{6}mn^2 + n^2m\\=& (\frac{2}{3}-\frac{3}{2}-\frac{17}{6}+1)mn^2\\=& -\frac{8}{3}mn^2\end{aligned}$
化简后该多项式的项为$-\frac{8}{3}mn^2$；
该项的次数是$1+2=3$；
最高次项次数为3，共有1个项，因此它是三次一项式。
【答案】
(1) 该多项式的项为$3xy$，$-xy^2$，$-1$；各项的次数分别为2，3，0；该多项式的次数为3，它是三次三项式。
(2) 该多项式的项为$\frac{1}{4}π b^2$，$a$，$-3π b$；各项的次数分别为2，1，1；该多项式的次数为2，它是二次三项式。
(3) 化简后该多项式的项为$\frac{17}{12}a^2$，$\frac{1}{2}ab$，$-b^2$；各项的次数分别为2，2，2；该多项式的次数为2，它是二次三项式。
(4) 化简后该多项式的项为$-\frac{8}{3}mn^2$；该项的次数为3；该多项式的次数为3，它是三次一项式。
【知识点】
合并同类项，单项式的次数，多项式的概念
【点评】
本题侧重考查整式相关的基础概念，解题时需注意：写多项式的项时要带前面的符号，判断项数前必须先合并同类项，计算次数时不要把π当作字母处理，规避这些易错点就能顺利解题。
【难度系数】
0.75
12. 阅读下列材料并回答问题：
把几个数或整式用大括号括起来，中间用逗号分开，如$\{-3, 6, 12\}$，$\{x, xy^2, -2x+1\}$，我们称之为集合，其中大括号内的数或整式称为集合的元素. 如果一个集合满足：只要其中有一个元素$x$使得$-2x+1$也是这个集合的元素，则称这样的集合为关联集合，元素$-2x+1$称为条件元素. 例如：集合$\{-1, 1, 0\}$中元素1使得$-2×1 +1=-1$，$-1$也恰好是这个集合的元素，所以集合$\{-1, 1, 0\}$是关联集合，元素$-1$称为条件元素. 又如集合$\{\dfrac{1}{3}\}$满足$-2×\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{1}{3}$是关联集合，元素$\dfrac{1}{3}$称为条件元素.
（1）试说明：集合$\{-\dfrac{4}{3}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{11}{3}\}$是关联集合；
（2）若集合$\{xy - y^2, A\}$是关联集合，其中$A$是条件元素，试求$A$.
把几个数或整式用大括号括起来，中间用逗号分开，如$\{-3, 6, 12\}$，$\{x, xy^2, -2x+1\}$，我们称之为集合，其中大括号内的数或整式称为集合的元素. 如果一个集合满足：只要其中有一个元素$x$使得$-2x+1$也是这个集合的元素，则称这样的集合为关联集合，元素$-2x+1$称为条件元素. 例如：集合$\{-1, 1, 0\}$中元素1使得$-2×1 +1=-1$，$-1$也恰好是这个集合的元素，所以集合$\{-1, 1, 0\}$是关联集合，元素$-1$称为条件元素. 又如集合$\{\dfrac{1}{3}\}$满足$-2×\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{1}{3}$是关联集合，元素$\dfrac{1}{3}$称为条件元素.
（1）试说明：集合$\{-\dfrac{4}{3}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{11}{3}\}$是关联集合；
（2）若集合$\{xy - y^2, A\}$是关联集合，其中$A$是条件元素，试求$A$.
答案：12. (1) 将$-\dfrac{4}{3}$带入$-2x+1$得$2×\dfrac{4}{3}+1=\dfrac{11}{3}$,因为$\dfrac{11}{3}$在$\{-\dfrac{4}{3},\dfrac{1}{2},\dfrac{11}{3}\}$中,所以$\{-\dfrac{4}{3},\dfrac{1}{2},\dfrac{11}{3}\}$是关联集合
(2) A:$-2xy+2y^2+1$或$\dfrac{1}{3}$
(2) A:$-2xy+2y^2+1$或$\dfrac{1}{3}$
解析：
【分析】
（1）判断关联集合的核心是紧扣定义：只要集合中存在一个元素$x$，使得$-2x+1$也属于该集合即可。因此只需将集合中的元素逐个代入$-2x+1$计算，验证结果是否在集合内即可。
（2）已知$A$是条件元素，需分两种情况讨论：第一种是触发关联的元素为$xy-y^2$，此时$A$就是$-2x+1$的计算结果；第二种是触发关联的元素为$A$本身，此时$-2A+1$的结果就是$A$，分别计算两种情况即可得到$A$的所有可能值。
【解析】
（1）取集合中的元素$x=-\dfrac{4}{3}$，代入$-2x+1$计算：
$-2×(-\dfrac{4}{3})+1=\dfrac{8}{3}+1=\dfrac{11}{3}$
$\dfrac{11}{3}$是给定集合的元素，符合关联集合的定义，因此该集合是关联集合。
（2）分两种情况计算$A$：
①当触发关联的元素是$xy-y^2$时，根据条件元素的定义：
$A=-2(xy-y^2)+1=-2xy+2y^2+1$
②当触发关联的元素是$A$本身时，根据定义可得：
$-2A+1=A$
移项合并同类项得$3A=1$，解得$A=\dfrac{1}{3}$
综上，$A$有两个可能的取值。
【答案】
(1) 将$-\dfrac{4}{3}$带入$-2x+1$得$2×\dfrac{4}{3}+1=\dfrac{11}{3}$，因为$\dfrac{11}{3}$在$\{-\dfrac{4}{3},\dfrac{1}{2},\dfrac{11}{3}\}$中，所以$\{-\dfrac{4}{3},\dfrac{1}{2},\dfrac{11}{3}\}$是关联集合
(2) $A=-2xy+2y^2+1$或$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
新定义理解，整式化简，一元一次方程求解
【点评】
本题为新定义类题型，解题关键是准确理解题目给出的关联集合、条件元素的定义，第二问需要用到分类讨论思想，考虑所有可能的情况避免漏解，能很好地考查学生的新概念理解能力和逻辑思维严谨性。
【难度系数】
0.7
（1）判断关联集合的核心是紧扣定义：只要集合中存在一个元素$x$，使得$-2x+1$也属于该集合即可。因此只需将集合中的元素逐个代入$-2x+1$计算，验证结果是否在集合内即可。
（2）已知$A$是条件元素，需分两种情况讨论：第一种是触发关联的元素为$xy-y^2$，此时$A$就是$-2x+1$的计算结果；第二种是触发关联的元素为$A$本身，此时$-2A+1$的结果就是$A$，分别计算两种情况即可得到$A$的所有可能值。
【解析】
（1）取集合中的元素$x=-\dfrac{4}{3}$，代入$-2x+1$计算：
$-2×(-\dfrac{4}{3})+1=\dfrac{8}{3}+1=\dfrac{11}{3}$
$\dfrac{11}{3}$是给定集合的元素，符合关联集合的定义，因此该集合是关联集合。
（2）分两种情况计算$A$：
①当触发关联的元素是$xy-y^2$时，根据条件元素的定义：
$A=-2(xy-y^2)+1=-2xy+2y^2+1$
②当触发关联的元素是$A$本身时，根据定义可得：
$-2A+1=A$
移项合并同类项得$3A=1$，解得$A=\dfrac{1}{3}$
综上，$A$有两个可能的取值。
【答案】
(1) 将$-\dfrac{4}{3}$带入$-2x+1$得$2×\dfrac{4}{3}+1=\dfrac{11}{3}$，因为$\dfrac{11}{3}$在$\{-\dfrac{4}{3},\dfrac{1}{2},\dfrac{11}{3}\}$中，所以$\{-\dfrac{4}{3},\dfrac{1}{2},\dfrac{11}{3}\}$是关联集合
(2) $A=-2xy+2y^2+1$或$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
新定义理解，整式化简，一元一次方程求解
【点评】
本题为新定义类题型，解题关键是准确理解题目给出的关联集合、条件元素的定义，第二问需要用到分类讨论思想，考虑所有可能的情况避免漏解，能很好地考查学生的新概念理解能力和逻辑思维严谨性。
【难度系数】
0.7