9. 魔术师说：“请你任想一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，将所得新数乘5，最后将得到的数加个位数字，只要告诉我计算结果，我就能知道你心里想的两位数.”请你解释这个魔术背后的数学道理.
答案：设这个数为$\overline{ab}$,则计算结果为$(2a+3)×5+b=10a+b+15$,只要将结果减15,就得到$10a+b$,即为原来的两位数
解析：
【解析】
设所想的两位数的十位数字为$a$，个位数字为$b$，则这个两位数可表示为$10a+b$。
按照题目给定的运算步骤计算：
1. 十位数字乘2加3：得到$2a+3$
2. 将所得结果乘5：得到$5(2a+3)=10a+15$
3. 最后加上个位数字：得到$5(2a+3)+b=10a+15+b=(10a+b)+15$
由此可知，最终告知魔术师的计算结果，比原本所想的两位数大15，魔术师只需要将得到的结果减去15，就能还原出最初的两位数。
【答案】
设所想两位数的十位数字为$a$，个位数字为$b$，运算结果化简后为原两位数加15，魔术师将告知的结果减去15即可得到原数。
【知识点】
整式的运算；两位数的代数表示
【点评】
本题是趣味数学的实际应用，核心是通过设未知数将文字运算转化为整式化简，理清运算前后的数值关系即可解释魔术原理，难度较低，侧重考查代数建模的思维。
【难度系数】
0.7
设所想的两位数的十位数字为$a$，个位数字为$b$，则这个两位数可表示为$10a+b$。
按照题目给定的运算步骤计算：
1. 十位数字乘2加3：得到$2a+3$
2. 将所得结果乘5：得到$5(2a+3)=10a+15$
3. 最后加上个位数字：得到$5(2a+3)+b=10a+15+b=(10a+b)+15$
由此可知，最终告知魔术师的计算结果，比原本所想的两位数大15，魔术师只需要将得到的结果减去15，就能还原出最初的两位数。
【答案】
设所想两位数的十位数字为$a$，个位数字为$b$，运算结果化简后为原两位数加15，魔术师将告知的结果减去15即可得到原数。
【知识点】
整式的运算；两位数的代数表示
【点评】
本题是趣味数学的实际应用，核心是通过设未知数将文字运算转化为整式化简，理清运算前后的数值关系即可解释魔术原理，难度较低，侧重考查代数建模的思维。
【难度系数】
0.7
10. (1) 如图①，正方形的每条边上都有 $ n $ 个棋子，图①中共有多少个棋子？
(2) 如图②，正五边形（五条边相等的五边形）的每条边上都有 $ n $ 个棋子，图②比图①多几个棋子？
(3) 正 $ m $ 边形（每条边都相等的 $ m $ 边形）的每条边上都有 $ n $ 个棋子，则共有多少个棋子？
(2) 如图②，正五边形（五条边相等的五边形）的每条边上都有 $ n $ 个棋子，图②比图①多几个棋子？
(3) 正 $ m $ 边形（每条边都相等的 $ m $ 边形）的每条边上都有 $ n $ 个棋子，则共有多少个棋子？
答案：解：
(1) 正方形有4条边，若直接按每条边$n$个棋子计算，4个顶点的棋子会被重复计算1次，因此总棋子数为：
$4n - 4 = 4(n-1)$
即图①中共有$4(n-1)$个棋子。
(2) 正五边形有5条边，同理去除顶点重复计数的部分，正五边形的总棋子数为$5n-5=5(n-1)$。
因此图②比图①多的棋子数为：
$5(n-1) - 4(n-1) = n-1$
即图②比图①多$(n-1)$个棋子。
(3) 正$m$边形有$m$条边，按每条边$n$个棋子计数时，$m$个顶点的棋子各被重复计算1次，因此总棋子数为：
$mn - m = m(n-1)$
即正$m$边形共有$m(n-1)$个棋子。
(1) 正方形有4条边，若直接按每条边$n$个棋子计算，4个顶点的棋子会被重复计算1次，因此总棋子数为：
$4n - 4 = 4(n-1)$
即图①中共有$4(n-1)$个棋子。
(2) 正五边形有5条边，同理去除顶点重复计数的部分，正五边形的总棋子数为$5n-5=5(n-1)$。
因此图②比图①多的棋子数为：
$5(n-1) - 4(n-1) = n-1$
即图②比图①多$(n-1)$个棋子。
(3) 正$m$边形有$m$条边，按每条边$n$个棋子计数时，$m$个顶点的棋子各被重复计算1次，因此总棋子数为：
$mn - m = m(n-1)$
即正$m$边形共有$m(n-1)$个棋子。
解析：
【解析】
(1) 正方形共4条边，若直接按每条边$n$个棋子计数，4个顶点的棋子各被重复计算1次，因此总棋子数为：
$4n - 4 = 4(n-1)$
(2) 正五边形共5条边，同理可得正五边形总棋子数为$5n - 5 = 5(n-1)$，因此图②比图①多的棋子数为：
$5(n-1) - 4(n-1) = n-1$
(3) 正$m$边形共$m$条边，$m$个顶点的棋子各被重复计算1次，因此总棋子数为：
$mn - m = m(n-1)$
【答案】
(1) $4(n-1)$个；(2) $(n-1)$个；(3) $m(n-1)$个
【知识点】
图形规律探究；代数式化简；重复计数去重
【点评】
本题通过正多边形边上棋子计数的情境，考查规律探究能力，核心是处理顶点处棋子被重复计数的问题，从特殊的正方形、正五边形推广到一般正$m$边形，体现了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.7
(1) 正方形共4条边，若直接按每条边$n$个棋子计数，4个顶点的棋子各被重复计算1次，因此总棋子数为：
$4n - 4 = 4(n-1)$
(2) 正五边形共5条边，同理可得正五边形总棋子数为$5n - 5 = 5(n-1)$，因此图②比图①多的棋子数为：
$5(n-1) - 4(n-1) = n-1$
(3) 正$m$边形共$m$条边，$m$个顶点的棋子各被重复计算1次，因此总棋子数为：
$mn - m = m(n-1)$
【答案】
(1) $4(n-1)$个；(2) $(n-1)$个；(3) $m(n-1)$个
【知识点】
图形规律探究；代数式化简；重复计数去重
【点评】
本题通过正多边形边上棋子计数的情境，考查规律探究能力，核心是处理顶点处棋子被重复计数的问题，从特殊的正方形、正五边形推广到一般正$m$边形，体现了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.7
11. 课堂上，老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有代数式（已化简）的卡片，若两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则游戏成功。甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙的卡片有一部分看不清楚了（图中阴影所示）。
（1）计算甲的代数式减乙的代数式的结果，并判断该运算能否使游戏成功；
（2）小明发现丙的代数式减甲的代数式可以使游戏成功，请求出丙的代数式。
（1）计算甲的代数式减乙的代数式的结果，并判断该运算能否使游戏成功；
（2）小明发现丙的代数式减甲的代数式可以使游戏成功，请求出丙的代数式。
答案：(1) 甲减乙得$\frac{5}{2}a^2+10ab-6$,丙为+12,所以不成功 (2) 丙:$\frac{3}{2}a^2-2ab+12$
解析：
【解析】
（1）计算甲的代数式减乙的代数式：
$\begin{aligned}&(2a^2 + 4ab + 3) - (-\frac{1}{2}a^2 - 6ab + 9)\\=&2a^2 + 4ab + 3 + \frac{1}{2}a^2 + 6ab - 9\\=&(2+\frac{1}{2})a^2 + (4+6)ab + (3-9)\\=&\frac{5}{2}a^2 + 10ab - 6\end{aligned}$
已知丙的代数式常数项为+12，上述结果的常数项为-6，与丙的代数式不相等，因此该运算不能使游戏成功。
（2）根据题意，丙的代数式 = 甲的代数式 + 丙减甲的结果，即：
$\begin{aligned}&(2a^2 + 4ab + 3) + (-\frac{1}{2}a^2 - 6ab + 9)\\=&2a^2 + 4ab + 3 - \frac{1}{2}a^2 - 6ab + 9\\=&(2-\frac{1}{2})a^2 + (4-6)ab + (3+9)\\=&\frac{3}{2}a^2 - 2ab + 12\end{aligned}$
【答案】
（1）甲减乙的结果为$\frac{5}{2}a^2+10ab-6$，该运算不能使游戏成功；
（2）丙的代数式为$\frac{3}{2}a^2-2ab+12$
【知识点】
整式加减，合并同类项
【点评】
本题结合趣味数学游戏考查整式的加减运算，核心是掌握去括号、合并同类项的运算法则，易错点为去括号时符号的处理，整体贴合基础运算的考察要求。
【难度系数】
0.7
（1）计算甲的代数式减乙的代数式：
$\begin{aligned}&(2a^2 + 4ab + 3) - (-\frac{1}{2}a^2 - 6ab + 9)\\=&2a^2 + 4ab + 3 + \frac{1}{2}a^2 + 6ab - 9\\=&(2+\frac{1}{2})a^2 + (4+6)ab + (3-9)\\=&\frac{5}{2}a^2 + 10ab - 6\end{aligned}$
已知丙的代数式常数项为+12，上述结果的常数项为-6，与丙的代数式不相等，因此该运算不能使游戏成功。
（2）根据题意，丙的代数式 = 甲的代数式 + 丙减甲的结果，即：
$\begin{aligned}&(2a^2 + 4ab + 3) + (-\frac{1}{2}a^2 - 6ab + 9)\\=&2a^2 + 4ab + 3 - \frac{1}{2}a^2 - 6ab + 9\\=&(2-\frac{1}{2})a^2 + (4-6)ab + (3+9)\\=&\frac{3}{2}a^2 - 2ab + 12\end{aligned}$
【答案】
（1）甲减乙的结果为$\frac{5}{2}a^2+10ab-6$，该运算不能使游戏成功；
（2）丙的代数式为$\frac{3}{2}a^2-2ab+12$
【知识点】
整式加减，合并同类项
【点评】
本题结合趣味数学游戏考查整式的加减运算，核心是掌握去括号、合并同类项的运算法则，易错点为去括号时符号的处理，整体贴合基础运算的考察要求。
【难度系数】
0.7