1. 根据下列情境中的等量关系列出一个等式：
（1）比a的3倍大5的数是11：
（2）练习本每本a元，笔记本每本b元，买5本练习本、3本笔记本总共付了25元：
（1）比a的3倍大5的数是11：
$3a+5=11$
；（2）练习本每本a元，笔记本每本b元，买5本练习本、3本笔记本总共付了25元：
$5a+3b=25$
。答案：(1) $3a+5=11$ (2) $5a+3b=25$
解析：
【分析】
解题核心是先将文字描述转化为代数式，再找准题目中的等量关系列出等式。
（1）先根据乘法意义表示“a的3倍”为3a，“比3a大5”就是在3a的基础上加5得到3a+5，题目明确这个数等于11，用等号连接两部分即可。
（2）先依据“总价=单价×数量”的关系，分别计算练习本和笔记本的总花费，再根据“两种本子总花费之和为25元”的等量关系，将两部分花费相加等于25即可列出等式。
【解析】
（1）a的3倍表示为$3a$，比$3a$大5的数为$3a+5$，已知该数等于11，因此列等式：$3a+5=11$。
（2）5本练习本的总费用为$5a$元，3本笔记本的总费用为$3b$元，已知总付款为25元，因此列等式：$5a+3b=25$。
【答案】
(1) $3a+5=11$ (2) $5a+3b=25$
【知识点】
列代数式；根据等量关系列等式；总价计算关系
【点评】
本题是列等式的基础题型，主要考查文字语言转数学表达式的能力，准确抓取等量关系即可快速解题，是后续学习方程应用的必备基础。
【难度系数】
0.9
解题核心是先将文字描述转化为代数式，再找准题目中的等量关系列出等式。
（1）先根据乘法意义表示“a的3倍”为3a，“比3a大5”就是在3a的基础上加5得到3a+5，题目明确这个数等于11，用等号连接两部分即可。
（2）先依据“总价=单价×数量”的关系，分别计算练习本和笔记本的总花费，再根据“两种本子总花费之和为25元”的等量关系，将两部分花费相加等于25即可列出等式。
【解析】
（1）a的3倍表示为$3a$，比$3a$大5的数为$3a+5$，已知该数等于11，因此列等式：$3a+5=11$。
（2）5本练习本的总费用为$5a$元，3本笔记本的总费用为$3b$元，已知总付款为25元，因此列等式：$5a+3b=25$。
【答案】
(1) $3a+5=11$ (2) $5a+3b=25$
【知识点】
列代数式；根据等量关系列等式；总价计算关系
【点评】
本题是列等式的基础题型，主要考查文字语言转数学表达式的能力，准确抓取等量关系即可快速解题，是后续学习方程应用的必备基础。
【难度系数】
0.9
2. 如果$2x+5=6$，那么$2x=6$
$-5$
，其依据是等式的基本性质1
。答案：$-5$，依据是等式的基本性质1
解析：
【分析】
解题时先观察等式左右两边的变化目标：已知等式左边是$2x+5$，要得到$2x$，需要消去左边的$+5$。根据等式的变形规则，等式两边需要进行相同的运算才能保持等式成立，因此左边减5的同时，右边也要减5，即可得到$2x=6-5$，变形依据是等式的基本性质1。
【解析】
已知等式为$2x+5=6$，根据等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。
在等式两边同时减去5：
左边：$2x+5-5=2x$
右边：$6-5$
因此可得$2x=6-5$，该变形的依据是等式的基本性质1。
【答案】
$-5$；等式的基本性质1
【知识点】
1.等式的基本性质1
2.等式变形
【点评】
本题是等式变形的基础题型，主要考查等式基本性质的直接应用，是后续学习解方程的核心基础，需要熟练掌握等式变形的规则，注意变形时等式两边必须同时进行相同的运算。
【难度系数】
0.9
解题时先观察等式左右两边的变化目标：已知等式左边是$2x+5$，要得到$2x$，需要消去左边的$+5$。根据等式的变形规则，等式两边需要进行相同的运算才能保持等式成立，因此左边减5的同时，右边也要减5，即可得到$2x=6-5$，变形依据是等式的基本性质1。
【解析】
已知等式为$2x+5=6$，根据等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。
在等式两边同时减去5：
左边：$2x+5-5=2x$
右边：$6-5$
因此可得$2x=6-5$，该变形的依据是等式的基本性质1。
【答案】
$-5$；等式的基本性质1
【知识点】
1.等式的基本性质1
2.等式变形
【点评】
本题是等式变形的基础题型，主要考查等式基本性质的直接应用，是后续学习解方程的核心基础，需要熟练掌握等式变形的规则，注意变形时等式两边必须同时进行相同的运算。
【难度系数】
0.9
3. 已知等式$a=b$，下列变形不正确的是（
A.$3a - 2 = 3b - 2$
B.$-3a = -3b$
C.$\frac{a}{5} = \frac{b}{5}$
D.$a + 1 = b - 1$
D
）A.$3a - 2 = 3b - 2$
B.$-3a = -3b$
C.$\frac{a}{5} = \frac{b}{5}$
D.$a + 1 = b - 1$
答案：D
解析：
【分析】
本题考查等式的基本性质的应用，解题思路是先明确等式的两条基本性质，再逐一验证每个选项的变形是否符合性质要求，找出不符合的选项即可。等式基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立；等式基本性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
【解析】
根据等式的基本性质逐个判断选项：
A选项：先给等式$a=b$两边同时乘3，得$3a=3b$，再给两边同时减2，得$3a-2=3b-2$，变形正确；
B选项：给等式$a=b$两边同时乘$-3$，得$-3a=-3b$，符合等式基本性质2，变形正确；
C选项：给等式$a=b$两边同时除以5（5≠0），得$\frac{a}{5}=\frac{b}{5}$，符合等式基本性质2，变形正确；
D选项：等式左边加1，右边减1，两边进行的不是相同的加减运算，不符合等式基本性质1，变形错误。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是要牢记等式变形时两边必须同时进行完全相同的运算，做除法变形时还要注意除数不能为0，熟练掌握性质就能快速判断。
【难度系数】
0.9
本题考查等式的基本性质的应用，解题思路是先明确等式的两条基本性质，再逐一验证每个选项的变形是否符合性质要求，找出不符合的选项即可。等式基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立；等式基本性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
【解析】
根据等式的基本性质逐个判断选项：
A选项：先给等式$a=b$两边同时乘3，得$3a=3b$，再给两边同时减2，得$3a-2=3b-2$，变形正确；
B选项：给等式$a=b$两边同时乘$-3$，得$-3a=-3b$，符合等式基本性质2，变形正确；
C选项：给等式$a=b$两边同时除以5（5≠0），得$\frac{a}{5}=\frac{b}{5}$，符合等式基本性质2，变形正确；
D选项：等式左边加1，右边减1，两边进行的不是相同的加减运算，不符合等式基本性质1，变形错误。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是要牢记等式变形时两边必须同时进行完全相同的运算，做除法变形时还要注意除数不能为0，熟练掌握性质就能快速判断。
【难度系数】
0.9
4. 下列结论错误的是 （
A.若$a = b$，则$a - c = b - c$
B.若$a = b$，则$\frac{a}{c^2 + 1} = \frac{b}{c^2 + 1}$
C.若$x = 2$，则$x^2 = 2x$
D.若$ax = bx$，则$a = b$
D
）A.若$a = b$，则$a - c = b - c$
B.若$a = b$，则$\frac{a}{c^2 + 1} = \frac{b}{c^2 + 1}$
C.若$x = 2$，则$x^2 = 2x$
D.若$ax = bx$，则$a = b$
答案：D
解析：
【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：首先明确等式的两个基本性质，尤其注意等式两边同时除以一个数时，这个数必须不为0的前提条件；再逐一对照性质验证四个选项的结论是否成立，找到错误的结论即可。
【解析】
我们根据等式的基本性质逐一判断各选项：
1. 选项A：根据等式性质1，等式两边同时减去同一个数c，等式仍然成立，因此若$a = b$，则$a - c = b - c$，该结论正确。
2. 选项B：由平方的非负性可知$c^2≥0$，因此$c^2+1≥1$，恒不为0，根据等式性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数$c^2+1$，等式仍然成立，因此若$a = b$，则$\frac{a}{c^2 + 1} = \frac{b}{c^2 + 1}$，该结论正确。
3. 选项C：若$x = 2$，等式两边同时乘不为0的x，可得$x^2 = 2x$，代入验证：左边$=2^2=4$，右边$=2×2=4$，等式成立，该结论正确。
4. 选项D：若$ax = bx$，当$x=0$时，无论a、b取何值，等式都成立，此时无法推出$a = b$，只有当$x≠0$时才能得到$a = b$，该结论错误。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于等式性质的基础考察题，易错点是忽略等式两边同时除以的数不能为0的限制条件，遇到含字母系数的等式变形时，要注意考虑字母是否为0的特殊情况。
【难度系数】
0.8
本题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：首先明确等式的两个基本性质，尤其注意等式两边同时除以一个数时，这个数必须不为0的前提条件；再逐一对照性质验证四个选项的结论是否成立，找到错误的结论即可。
【解析】
我们根据等式的基本性质逐一判断各选项：
1. 选项A：根据等式性质1，等式两边同时减去同一个数c，等式仍然成立，因此若$a = b$，则$a - c = b - c$，该结论正确。
2. 选项B：由平方的非负性可知$c^2≥0$，因此$c^2+1≥1$，恒不为0，根据等式性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数$c^2+1$，等式仍然成立，因此若$a = b$，则$\frac{a}{c^2 + 1} = \frac{b}{c^2 + 1}$，该结论正确。
3. 选项C：若$x = 2$，等式两边同时乘不为0的x，可得$x^2 = 2x$，代入验证：左边$=2^2=4$，右边$=2×2=4$，等式成立，该结论正确。
4. 选项D：若$ax = bx$，当$x=0$时，无论a、b取何值，等式都成立，此时无法推出$a = b$，只有当$x≠0$时才能得到$a = b$，该结论错误。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于等式性质的基础考察题，易错点是忽略等式两边同时除以的数不能为0的限制条件，遇到含字母系数的等式变形时，要注意考虑字母是否为0的特殊情况。
【难度系数】
0.8
5. 下列等式变形正确的是 （
A.如果$x - 3 = y - 3$，那么$x - y = 0$
B.如果$mx = my$，那么$x = y$
C.如果$s = \frac{1}{2}ab$，那么$b = \frac{s}{2a}$
D.如果$\frac{1}{2}x = 6$，那么$x = 3$
A
）A.如果$x - 3 = y - 3$，那么$x - y = 0$
B.如果$mx = my$，那么$x = y$
C.如果$s = \frac{1}{2}ab$，那么$b = \frac{s}{2a}$
D.如果$\frac{1}{2}x = 6$，那么$x = 3$
答案：A
解析：
【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路为：先明确等式的两条基本性质：1. 等式两边同时加或减同一个数/整式，等式仍然成立；2. 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。再逐一验证每个选项的变形是否符合上述性质，注意应用性质2时除数不能为0，是本题的易错点。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知$x - 3 = y - 3$，根据等式性质1，两边同时加3得$x=y$，再两边同时减y，可得$x-y=0$，变形正确。
B选项：当$m=0$时，无论$x、y$取何值$mx=my$都成立，此时不能直接两边除以$m$得到$x=y$，变形错误。
C选项：已知$s = \frac{1}{2}ab$，两边同时乘2得$2s=ab$，若$a≠0$，两边除以$a$可得$b=\frac{2s}{a}$，不是$b = \frac{s}{2a}$，变形错误。
D选项：已知$\frac{1}{2}x = 6$，两边同时乘2得$x=12$，不是$x=3$，变形错误。
综上，只有A选项变形正确。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，容易出错的地方是使用等式性质2时忽略除数不能为0的限制，以及变形时计算出错，做题时需逐项验证避免疏漏。
【难度系数】
0.8
本题考查等式基本性质的应用，解题思路为：先明确等式的两条基本性质：1. 等式两边同时加或减同一个数/整式，等式仍然成立；2. 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。再逐一验证每个选项的变形是否符合上述性质，注意应用性质2时除数不能为0，是本题的易错点。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知$x - 3 = y - 3$，根据等式性质1，两边同时加3得$x=y$，再两边同时减y，可得$x-y=0$，变形正确。
B选项：当$m=0$时，无论$x、y$取何值$mx=my$都成立，此时不能直接两边除以$m$得到$x=y$，变形错误。
C选项：已知$s = \frac{1}{2}ab$，两边同时乘2得$2s=ab$，若$a≠0$，两边除以$a$可得$b=\frac{2s}{a}$，不是$b = \frac{s}{2a}$，变形错误。
D选项：已知$\frac{1}{2}x = 6$，两边同时乘2得$x=12$，不是$x=3$，变形错误。
综上，只有A选项变形正确。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，容易出错的地方是使用等式性质2时忽略除数不能为0的限制，以及变形时计算出错，做题时需逐项验证避免疏漏。
【难度系数】
0.8
6. 已知 $5a + 8b = 3b + 10$，利用等式性质可求得 $a + b$ 的值是
2
。答案：2
解析：
【分析】
本题要求$a+b$的值，无需单独求解$a$、$b$的具体值，可通过等式的性质对已知等式变形，凑出$a+b$的整体形式即可。首先观察等式两边的同类项，先将含字母的项统一移到等式左侧，常数项留在右侧，合并同类项后提取公因式，最后将$a+b$的系数化为1就能得到结果。
【解析】
已知等式：$5a + 8b = 3b + 10$
第一步，根据等式的性质1，等式两边同时减去$3b$，等式仍然成立：
$5a + 8b - 3b = 3b + 10 - 3b$
合并同类项得：$5a + 5b = 10$
将左侧提取公因式5，可得：$5(a + b) = 10$
第二步，根据等式的性质2，等式两边同时除以5（$5≠0$），等式仍然成立：
$5(a + b) ÷ 5 = 10 ÷ 5$
化简得：$a + b = 2$
【答案】
2
【知识点】
等式的基本性质，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题关键是观察所求代数式与已知等式的结构关联，采用整体变形的方法简化计算，避免单独求单个未知数的冗余步骤，掌握这类整体思想对后续解方程、代数式求值类题目有很大帮助。
【难度系数】
0.8
本题要求$a+b$的值，无需单独求解$a$、$b$的具体值，可通过等式的性质对已知等式变形，凑出$a+b$的整体形式即可。首先观察等式两边的同类项，先将含字母的项统一移到等式左侧，常数项留在右侧，合并同类项后提取公因式，最后将$a+b$的系数化为1就能得到结果。
【解析】
已知等式：$5a + 8b = 3b + 10$
第一步，根据等式的性质1，等式两边同时减去$3b$，等式仍然成立：
$5a + 8b - 3b = 3b + 10 - 3b$
合并同类项得：$5a + 5b = 10$
将左侧提取公因式5，可得：$5(a + b) = 10$
第二步，根据等式的性质2，等式两边同时除以5（$5≠0$），等式仍然成立：
$5(a + b) ÷ 5 = 10 ÷ 5$
化简得：$a + b = 2$
【答案】
2
【知识点】
等式的基本性质，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题关键是观察所求代数式与已知等式的结构关联，采用整体变形的方法简化计算，避免单独求单个未知数的冗余步骤，掌握这类整体思想对后续解方程、代数式求值类题目有很大帮助。
【难度系数】
0.8
7. 设“○”“”“△”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应该放“”的个数为
（第7题）
3
。（第7题）答案：3
解析：
【分析】
解决本题首先明确天平平衡时左右两侧物体总质量相等，我们可以分别用字母表示三种物体的质量，根据前两架天平的平衡关系列出对应的等式，再结合等式的性质推导三种物体质量之间的数量关系，最后代入第三架天平的左侧质量表达式，即可算出右侧需要放置的正方形个数。
【解析】
设“○”的质量为$a$，“”的质量为$b$，“△”的质量为$c$。
根据第一架天平平衡，可得等式：$\boldsymbol{2a = c + b}$ ①
根据第二架天平平衡，可得等式：$\boldsymbol{a + b = c}$ ②
将②代入①替换掉$c$，得：
$2a = (a + b) + b$
化简得：$2a = a + 2b$
根据等式的性质，两边同时减去$a$，得：$a = 2b$，即1个“○”的质量等于2个“”的质量。
第三架天平左侧的总质量为$a + b$，将$a=2b$代入得：
$a + b = 2b + b = 3b$
即左侧总质量等于3个“”的质量，因此右侧“？”处需要放3个“”才能让天平平衡。
【答案】
3
【知识点】
等量代换、等式的性质、天平平衡原理
【点评】
本题结合生活中的天平场景考查等量代换思想的应用，解题关键是梳理清楚不同物体之间的质量换算关系，能够帮助学生很好地巩固对等式性质的理解和应用。
【难度系数】
0.8
解决本题首先明确天平平衡时左右两侧物体总质量相等，我们可以分别用字母表示三种物体的质量，根据前两架天平的平衡关系列出对应的等式，再结合等式的性质推导三种物体质量之间的数量关系，最后代入第三架天平的左侧质量表达式，即可算出右侧需要放置的正方形个数。
【解析】
设“○”的质量为$a$，“”的质量为$b$，“△”的质量为$c$。
根据第一架天平平衡，可得等式：$\boldsymbol{2a = c + b}$ ①
根据第二架天平平衡，可得等式：$\boldsymbol{a + b = c}$ ②
将②代入①替换掉$c$，得：
$2a = (a + b) + b$
化简得：$2a = a + 2b$
根据等式的性质，两边同时减去$a$，得：$a = 2b$，即1个“○”的质量等于2个“”的质量。
第三架天平左侧的总质量为$a + b$，将$a=2b$代入得：
$a + b = 2b + b = 3b$
即左侧总质量等于3个“”的质量，因此右侧“？”处需要放3个“”才能让天平平衡。
【答案】
3
【知识点】
等量代换、等式的性质、天平平衡原理
【点评】
本题结合生活中的天平场景考查等量代换思想的应用，解题关键是梳理清楚不同物体之间的质量换算关系，能够帮助学生很好地巩固对等式性质的理解和应用。
【难度系数】
0.8
8. 下列等式是由$5x-1=4x$根据等式性质变形得到的，其中正确的有（
① $5x-4x=1$；② $4x-5x=1$；③ $\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}=2x$；④ $6x-1=3x$.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
）① $5x-4x=1$；② $4x-5x=1$；③ $\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}=2x$；④ $6x-1=3x$.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案：C
解析：
【分析】
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：首先明确等式的两个基本性质：1.等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；2.等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来将原等式$5x-1=4x$按照等式性质逐个验证4个变形是否正确，统计正确的个数即可得到答案。
【解析】
我们结合等式性质对每个变形逐一判断：
原等式为：$5x-1=4x$
1. 验证①：根据等式性质1，等式两边同时加1，再减$4x$，左边变为$5x-1+1-4x=5x-4x$，右边变为$4x+1-4x=1$，可得$5x-4x=1$，故①正确。
2. 验证②：由①的结论$5x-4x=1$，两边同时乘$-1$可得$4x-5x=-1$，与②中$4x-5x=1$不符，故②错误。
3. 验证③：根据等式性质2，等式两边同时乘$\frac{1}{2}$（即除以2），左边变为$(5x-1)×\frac{1}{2}=\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}$，右边变为$4x×\frac{1}{2}=2x$，可得$\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}=2x$，故③正确。
4. 验证④：若要得到左边$6x-1$，需要在原等式左边加$x$，根据等式性质，右边也需要加$x$得到$5x$，而不是$3x$，变形不符合等式性质，故④错误。
综上，正确的变形是①和③，共2个。
【答案】
C
【知识点】
等式的基本性质，移项法则
【点评】
本题重点考查等式变形的规则，解题时要注意等式两边必须进行完全相同的运算，移项时注意符号变化，避免因运算规则不熟练出现错误。
【难度系数】
0.7
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：首先明确等式的两个基本性质：1.等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；2.等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来将原等式$5x-1=4x$按照等式性质逐个验证4个变形是否正确，统计正确的个数即可得到答案。
【解析】
我们结合等式性质对每个变形逐一判断：
原等式为：$5x-1=4x$
1. 验证①：根据等式性质1，等式两边同时加1，再减$4x$，左边变为$5x-1+1-4x=5x-4x$，右边变为$4x+1-4x=1$，可得$5x-4x=1$，故①正确。
2. 验证②：由①的结论$5x-4x=1$，两边同时乘$-1$可得$4x-5x=-1$，与②中$4x-5x=1$不符，故②错误。
3. 验证③：根据等式性质2，等式两边同时乘$\frac{1}{2}$（即除以2），左边变为$(5x-1)×\frac{1}{2}=\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}$，右边变为$4x×\frac{1}{2}=2x$，可得$\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}=2x$，故③正确。
4. 验证④：若要得到左边$6x-1$，需要在原等式左边加$x$，根据等式性质，右边也需要加$x$得到$5x$，而不是$3x$，变形不符合等式性质，故④错误。
综上，正确的变形是①和③，共2个。
【答案】
C
【知识点】
等式的基本性质，移项法则
【点评】
本题重点考查等式变形的规则，解题时要注意等式两边必须进行完全相同的运算，移项时注意符号变化，避免因运算规则不熟练出现错误。
【难度系数】
0.7