9. 如图，在长方形ABCD中放入6个长、宽都相同的小长方形，求小长方形的宽AE. 设AE=x cm，根据题意，可得方程（
A.$6+2x=14-3x$
B.$6+2x=x+(14-3x)$
C.$14-3x=6$
D.$6+2x=14-x$
B
）A.$6+2x=14-3x$
B.$6+2x=x+(14-3x)$
C.$14-3x=6$
D.$6+2x=14-x$
答案：9. B
解析：
【分析】
解题时首先明确设小长方形的宽AE=x cm，第一步先从大长方形的水平边BC找关系：3个小长方形的宽加上1个小长方形的长等于14cm，据此可以用含x的代数式表示出小长方形的长为(14-3x)cm；第二步找垂直方向的等量关系：大长方形的宽AB长度固定，它既可以表示为“2个小长方形的宽+6cm”，也可以表示为“1个小长方形的长+1个小长方形的宽”，根据AB的两种表达式相等即可列出方程。
【解析】
设小长方形的宽AE=x cm。
1. 求小长方形的长：观察BC边的长度，3个小长方形的宽与1个小长方形的长之和为14cm，因此小长方形的长为$(14-3x)$cm。
2. 找垂直方向的等量关系：大长方形的宽AB长度固定，有两种表示方式：
①从左侧看：$AB = 2x + 6$；
②从右侧看：$AB = \mathrm{小长方形的长} + x = (14-3x) + x$。
3. 联立等式得方程：$6+2x = x + (14-3x)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元一次方程、几何等量关系、代数式表示线段
【点评】
本题是方程与几何结合的基础题型，解题核心是通过读图提取图形中隐含的等量关系，利用同一个量的不同表达形式建立等式，需要培养从图形中找等量的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确设小长方形的宽AE=x cm，第一步先从大长方形的水平边BC找关系：3个小长方形的宽加上1个小长方形的长等于14cm，据此可以用含x的代数式表示出小长方形的长为(14-3x)cm；第二步找垂直方向的等量关系：大长方形的宽AB长度固定，它既可以表示为“2个小长方形的宽+6cm”，也可以表示为“1个小长方形的长+1个小长方形的宽”，根据AB的两种表达式相等即可列出方程。
【解析】
设小长方形的宽AE=x cm。
1. 求小长方形的长：观察BC边的长度，3个小长方形的宽与1个小长方形的长之和为14cm，因此小长方形的长为$(14-3x)$cm。
2. 找垂直方向的等量关系：大长方形的宽AB长度固定，有两种表示方式：
①从左侧看：$AB = 2x + 6$；
②从右侧看：$AB = \mathrm{小长方形的长} + x = (14-3x) + x$。
3. 联立等式得方程：$6+2x = x + (14-3x)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元一次方程、几何等量关系、代数式表示线段
【点评】
本题是方程与几何结合的基础题型，解题核心是通过读图提取图形中隐含的等量关系，利用同一个量的不同表达形式建立等式，需要培养从图形中找等量的能力。
【难度系数】
0.7
10. 明代数学家程大位在《算法统宗》中提出一个问题，其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两.（注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）下列设未知数列方程正确的是
① 设这群人人数为$x$，根据题意，得$7x - 4 = 9x + 8$；
② 设这群人人数为$x$，根据题意，得$7x + 4 = 9x - 8$；
③ 设所分银子的数量为$x$两，根据题意，得$\frac{x - 4}{7} = \frac{x + 8}{9}$；
④ 设所分银子的数量为$x$两，根据题意，得$\frac{x + 4}{7} = \frac{x - 8}{9}$.
②③
（填序号）.① 设这群人人数为$x$，根据题意，得$7x - 4 = 9x + 8$；
② 设这群人人数为$x$，根据题意，得$7x + 4 = 9x - 8$；
③ 设所分银子的数量为$x$两，根据题意，得$\frac{x - 4}{7} = \frac{x + 8}{9}$；
④ 设所分银子的数量为$x$两，根据题意，得$\frac{x + 4}{7} = \frac{x - 8}{9}$.
答案：10. ②③
解析：
【分析】
本题是盈亏类列方程问题，解题核心是抓住题目中的不变量：要么总银子的重量不变，要么分银子的总人数不变。我们可以分两种设未知数的思路推导方程，再逐一判断给出的4个式子是否正确：①如果设人数为未知数，就根据总银子重量相等列方程；②如果设银子总重量为未知数，就根据分银子的人数相等列方程。
【解析】
我们分两种设未知数的情况逐一验证：
1. 设这群人人数为$ x $
若每人分7两剩余4两，说明总银子重量 = 已分的7x两 + 剩余的4两，即总银子为$ 7x+4 $；
若每人分9两还差8两，说明总银子重量 = 要分的9x两 - 还差的8两，即总银子为$ 9x-8 $；
总银子重量不变，因此列方程得$ 7x+4=9x-8 $，故①错误，②正确。
2. 设所分银子的数量为$ x $两
若每人分7两剩余4两，说明分掉的银子重量为$ x-4 $两，因此分银子的人数 = 分掉的银子重量÷每人分的7两，即人数为$ \frac{x-4}{7} $；
若每人分9两还差8两，说明如果再补上8两银子，就刚好够每人分9两，此时总银子重量为$ x+8 $两，因此分银子的人数 = $ \frac{x+8}{9} $；
分银子的人数不变，因此列方程得$ \frac{x-4}{7}=\frac{x+8}{9} $，故③正确，④错误。
综上，列方程正确的是②③。
【答案】
②③
【知识点】
一元一次方程应用、列方程找等量关系、盈亏问题
【点评】
本题结合古代数学背景考查根据实际问题列方程，解题的关键是准确梳理盈亏对应的数量关系，明确不变量作为列等式的依据，注意避免盈余和亏损对应的加减符号出错。
【难度系数】
0.7
本题是盈亏类列方程问题，解题核心是抓住题目中的不变量：要么总银子的重量不变，要么分银子的总人数不变。我们可以分两种设未知数的思路推导方程，再逐一判断给出的4个式子是否正确：①如果设人数为未知数，就根据总银子重量相等列方程；②如果设银子总重量为未知数，就根据分银子的人数相等列方程。
【解析】
我们分两种设未知数的情况逐一验证：
1. 设这群人人数为$ x $
若每人分7两剩余4两，说明总银子重量 = 已分的7x两 + 剩余的4两，即总银子为$ 7x+4 $；
若每人分9两还差8两，说明总银子重量 = 要分的9x两 - 还差的8两，即总银子为$ 9x-8 $；
总银子重量不变，因此列方程得$ 7x+4=9x-8 $，故①错误，②正确。
2. 设所分银子的数量为$ x $两
若每人分7两剩余4两，说明分掉的银子重量为$ x-4 $两，因此分银子的人数 = 分掉的银子重量÷每人分的7两，即人数为$ \frac{x-4}{7} $；
若每人分9两还差8两，说明如果再补上8两银子，就刚好够每人分9两，此时总银子重量为$ x+8 $两，因此分银子的人数 = $ \frac{x+8}{9} $；
分银子的人数不变，因此列方程得$ \frac{x-4}{7}=\frac{x+8}{9} $，故③正确，④错误。
综上，列方程正确的是②③。
【答案】
②③
【知识点】
一元一次方程应用、列方程找等量关系、盈亏问题
【点评】
本题结合古代数学背景考查根据实际问题列方程，解题的关键是准确梳理盈亏对应的数量关系，明确不变量作为列等式的依据，注意避免盈余和亏损对应的加减符号出错。
【难度系数】
0.7
11. 轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3 h，若船速为26 km/h，水速为2 km/h，求A港和B港的距离. 设A港和B港相距x km. 根据题意，可得方程
$\frac{x}{26+2}+3=\frac{x}{26-2}$
.答案：11. $\frac{x}{26+2}+3=\frac{x}{26-2}$
解析：
【分析】
这是流水行船类的列方程应用题，解题思路可按以下步骤梳理：1. 先明确核心等量关系：题目说顺流从A到B比逆流从B到A少用3h，也就是顺流行驶时间+3h=逆流行驶时间；2. 回忆流水行船的速度规律：顺流速度=静水船速+水速，逆流速度=静水船速-水速，先确定两种行驶状态的速度；3. 根据行程问题的基本公式“时间=路程÷速度”，用含x的式子分别表示顺流时间和逆流时间；4. 把两个时间表达式代入等量关系，即可得到所求方程。
【解析】
首先计算两种行驶状态的速度：
顺流速度 = 船速 + 水速 = $26+2$（km/h），因此顺流从A到B的时间为$\frac{x}{26+2}$ h；
逆流速度 = 船速 - 水速 = $26-2$（km/h），因此逆流从B到A的时间为$\frac{x}{26-2}$ h；
结合“顺流比逆流少用3h”的条件，即顺流时间加3h等于逆流时间，列方程得：
$\frac{x}{26+2}+3=\frac{x}{26-2}$
【答案】
$\frac{x}{26+2}+3=\frac{x}{26-2}$
【知识点】
1. 流水行船速度
2. 行程问题公式
3. 列一元一次方程
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题的关键是准确掌握流水行船的速度计算方法，找准时间差对应的等量关系，这类题型是行程类应用题的常考类型，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
这是流水行船类的列方程应用题，解题思路可按以下步骤梳理：1. 先明确核心等量关系：题目说顺流从A到B比逆流从B到A少用3h，也就是顺流行驶时间+3h=逆流行驶时间；2. 回忆流水行船的速度规律：顺流速度=静水船速+水速，逆流速度=静水船速-水速，先确定两种行驶状态的速度；3. 根据行程问题的基本公式“时间=路程÷速度”，用含x的式子分别表示顺流时间和逆流时间；4. 把两个时间表达式代入等量关系，即可得到所求方程。
【解析】
首先计算两种行驶状态的速度：
顺流速度 = 船速 + 水速 = $26+2$（km/h），因此顺流从A到B的时间为$\frac{x}{26+2}$ h；
逆流速度 = 船速 - 水速 = $26-2$（km/h），因此逆流从B到A的时间为$\frac{x}{26-2}$ h；
结合“顺流比逆流少用3h”的条件，即顺流时间加3h等于逆流时间，列方程得：
$\frac{x}{26+2}+3=\frac{x}{26-2}$
【答案】
$\frac{x}{26+2}+3=\frac{x}{26-2}$
【知识点】
1. 流水行船速度
2. 行程问题公式
3. 列一元一次方程
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题的关键是准确掌握流水行船的速度计算方法，找准时间差对应的等量关系，这类题型是行程类应用题的常考类型，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
12. 检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解.
(1) $2x+5=10x-3(x=1)$；
(2) $x^2 -5(x-2)=6(x=0)$.
(1) $2x+5=10x-3(x=1)$；
(2) $x^2 -5(x-2)=6(x=0)$.
答案：12. (1) 是 (2) 否
解析：
【分析】
检验一个数是否为方程的解，通用思路是代入验证法：首先把括号内的数值分别代入方程的左边和右边，再分别计算出左右两边的结果，最后对比结果：如果左右两边数值相等，说明该数是对应方程的解，若不相等则不是方程的解，按这个步骤分别计算两个小题即可。
【解析】
(1) 将$x=1$代入方程$2x+5=10x-3$：
左边$=2×1+5=7$，
右边$=10×1-3=7$，
左边$=$右边，因此$x=1$是该方程的解。
(2) 将$x=0$代入方程$x^2 -5(x-2)=6$：
左边$=0^2-5×(0-2)=0+10=10$，
右边$=6$，
左边$≠$右边，因此$x=0$不是该方程的解。
【答案】
(1) 是 (2) 否
【知识点】
方程的解的判定；代数式求值
【点评】
本题是方程相关的基础题型，重点考查方程解的验证方法，掌握“代入、计算、比较”的三步检验逻辑即可正确解题，该方法也是后续解方程后验证结果正误的核心技能。
【难度系数】
0.9
检验一个数是否为方程的解，通用思路是代入验证法：首先把括号内的数值分别代入方程的左边和右边，再分别计算出左右两边的结果，最后对比结果：如果左右两边数值相等，说明该数是对应方程的解，若不相等则不是方程的解，按这个步骤分别计算两个小题即可。
【解析】
(1) 将$x=1$代入方程$2x+5=10x-3$：
左边$=2×1+5=7$，
右边$=10×1-3=7$，
左边$=$右边，因此$x=1$是该方程的解。
(2) 将$x=0$代入方程$x^2 -5(x-2)=6$：
左边$=0^2-5×(0-2)=0+10=10$，
右边$=6$，
左边$≠$右边，因此$x=0$不是该方程的解。
【答案】
(1) 是 (2) 否
【知识点】
方程的解的判定；代数式求值
【点评】
本题是方程相关的基础题型，重点考查方程解的验证方法，掌握“代入、计算、比较”的三步检验逻辑即可正确解题，该方法也是后续解方程后验证结果正误的核心技能。
【难度系数】
0.9
13. 一件衬衫先按成本加价60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的成本是多少元？设这件衬衫的成本为x元.
（1）填写表格（用含x的代数式表示）；
（2）根据相等关系列出方程.
（1）填写表格（用含x的代数式表示）；
（2）根据相等关系列出方程.
答案：13. (1) 标价:$x+60$ 售价:$0.8x+48$ (2) $0.8x+48-x=24$
解析：
【分析】
先解决表格填写问题：首先明确标价的计算规则是成本加价60元，成本为x元，直接相加即可得到标价的代数式；售价是标价打8折，也就是标价乘以0.8，代入标价的代数式化简就能得到售价的表达式。再解决列方程的问题：销售问题中基础等量关系为“利润=售价-成本”，已知获利24元，把售价、成本的代数式代入该等量关系，就能列出对应方程。
【解析】
（1）已知衬衫成本为$ x $元，按成本加价60元标价，因此标价为$ x+60 $元；
再以8折出售，即售价为标价的80%，因此售价为$ 0.8(x+60) = 0.8x + 48 $元。
（2）根据“售价 - 成本 = 利润”的等量关系，已知获利24元，将售价、成本代入得方程：
$ 0.8x + 48 - x = 24 $
【答案】
（1）标价：$ x+60 $，售价：$ 0.8x+48 $；（2）$ 0.8x+48-x=24 $
【知识点】
列代数式；销售利润计算；一元一次方程列写
【点评】
本题是销售类基础应用题，核心是理清成本、标价、售价、利润之间的数量关系，理解打折的含义，即可快速完成代数式书写和方程列写。
【难度系数】
0.85
先解决表格填写问题：首先明确标价的计算规则是成本加价60元，成本为x元，直接相加即可得到标价的代数式；售价是标价打8折，也就是标价乘以0.8，代入标价的代数式化简就能得到售价的表达式。再解决列方程的问题：销售问题中基础等量关系为“利润=售价-成本”，已知获利24元，把售价、成本的代数式代入该等量关系，就能列出对应方程。
【解析】
（1）已知衬衫成本为$ x $元，按成本加价60元标价，因此标价为$ x+60 $元；
再以8折出售，即售价为标价的80%，因此售价为$ 0.8(x+60) = 0.8x + 48 $元。
（2）根据“售价 - 成本 = 利润”的等量关系，已知获利24元，将售价、成本代入得方程：
$ 0.8x + 48 - x = 24 $
【答案】
（1）标价：$ x+60 $，售价：$ 0.8x+48 $；（2）$ 0.8x+48-x=24 $
【知识点】
列代数式；销售利润计算；一元一次方程列写
【点评】
本题是销售类基础应用题，核心是理清成本、标价、售价、利润之间的数量关系，理解打折的含义，即可快速完成代数式书写和方程列写。
【难度系数】
0.85