10. 有两根同样长度但粗细不同的蜡烛，粗蜡烛可燃4 h，细蜡烛可燃3 h. 一次停电，同时点燃两根蜡烛，恢复供电后同时吹灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的2倍，则停电的时间为
2.4
h.答案：10. 2.4
解析：
【分析】
这是一道用一元一次方程求解的实际应用题，解题核心是把蜡烛总长度看作单位“1”，先求出两根蜡烛每小时的燃烧占比，再结合“剩余粗蜡烛长度=2×剩余细蜡烛长度”的等量关系列方程求解。思考步骤：1. 设停电时间为未知数x；2. 分别表示x小时后两根蜡烛的剩余长度；3. 根据剩余长度的倍数关系列方程；4. 解方程得到结果。
【解析】
设停电的时间为$ x $小时，将蜡烛的总长度看作单位“1”。
粗蜡烛可燃4h，每小时燃烧总长度的$\frac{1}{4}$，x小时后剩余长度为$1-\frac{1}{4}x$；
细蜡烛可燃3h，每小时燃烧总长度的$\frac{1}{3}$，x小时后剩余长度为$1-\frac{1}{3}x$。
根据剩余粗蜡烛长度是细蜡烛的2倍，列方程：
$1-\frac{1}{4}x=2×(1-\frac{1}{3}x)$
解方程：
去括号得：$1-\frac{1}{4}x=2-\frac{2}{3}x$
移项得：$\frac{2}{3}x-\frac{1}{4}x=2-1$
通分计算得：$\frac{5}{12}x=1$
解得：$x=\frac{12}{5}=2.4$
【答案】
2.4
【知识点】
一元一次方程应用，单位“1”设元，等量关系构建
【点评】
本题属于典型的燃烧类实际应用题，将总长度设为单位“1”是简化计算的关键，找准剩余长度的倍数关系建立方程即可求解，该解题思路可迁移到同类工程、损耗类应用题中。
【难度系数】
0.7
这是一道用一元一次方程求解的实际应用题，解题核心是把蜡烛总长度看作单位“1”，先求出两根蜡烛每小时的燃烧占比，再结合“剩余粗蜡烛长度=2×剩余细蜡烛长度”的等量关系列方程求解。思考步骤：1. 设停电时间为未知数x；2. 分别表示x小时后两根蜡烛的剩余长度；3. 根据剩余长度的倍数关系列方程；4. 解方程得到结果。
【解析】
设停电的时间为$ x $小时，将蜡烛的总长度看作单位“1”。
粗蜡烛可燃4h，每小时燃烧总长度的$\frac{1}{4}$，x小时后剩余长度为$1-\frac{1}{4}x$；
细蜡烛可燃3h，每小时燃烧总长度的$\frac{1}{3}$，x小时后剩余长度为$1-\frac{1}{3}x$。
根据剩余粗蜡烛长度是细蜡烛的2倍，列方程：
$1-\frac{1}{4}x=2×(1-\frac{1}{3}x)$
解方程：
去括号得：$1-\frac{1}{4}x=2-\frac{2}{3}x$
移项得：$\frac{2}{3}x-\frac{1}{4}x=2-1$
通分计算得：$\frac{5}{12}x=1$
解得：$x=\frac{12}{5}=2.4$
【答案】
2.4
【知识点】
一元一次方程应用，单位“1”设元，等量关系构建
【点评】
本题属于典型的燃烧类实际应用题，将总长度设为单位“1”是简化计算的关键，找准剩余长度的倍数关系建立方程即可求解，该解题思路可迁移到同类工程、损耗类应用题中。
【难度系数】
0.7
11. 甲、乙两人想共同承包一项工程，已知甲单独做需30天完成，乙单独做需20天完成.
合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1 000元. 两人商量后签订了该合同.
（1）正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？为什么？
（2）现两人合做了这项工程的75%，因别处有急事，必须调走一人，调走谁更合适？为什么？
合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1 000元. 两人商量后签订了该合同.
（1）正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？为什么？
（2）现两人合做了这项工程的75%，因别处有急事，必须调走一人，调走谁更合适？为什么？
答案：11.（1）设甲、乙合做需要x天完成，由题意，得$(\frac{1}{30}+\frac{1}{20})x=1$，解得$x=12$，$12＜15$，所以甲、乙两人能履行该合同 （2）设两人合做了这项工程的75%用了y天，根据题意，得$(\frac{1}{30}+\frac{1}{20})y=\frac{3}{4}$，解得$y=9$，剩下的由甲单独做需要的时间是$\frac{1}{4}÷\frac{1}{30}=7.5$(天)，剩下的由乙单独做需要的时间是$\frac{1}{4}÷\frac{1}{20}=5$(天)，$9+7.5=16.5＞15$，不合适，$9+5=14＜15$，调走甲比较合适
解析：
【分析】
本题属于工程类应用题，解题时先将总工作量看作单位“1”，明确工作效率、工作时间、工作量三者的数量关系：工作量=工作效率×工作时间。（1）要判断能否履行合同，先求出甲乙合作完成全部工程的时间，再与合同规定的15天比较即可。甲的工作效率为$\frac{1}{30}$，乙的工作效率为$\frac{1}{20}$，两者相加为合作效率，根据总工作量为1列方程求解合作时间，再对比15天判断即可。（2）先列方程求出两人合作完成75%工作量的用时，再分别计算剩余工作量由甲、乙单独完成的时间，分别加上已用时间后和15天比较，选择总用时不超期的方案，即可确定调走谁更合适。
【解析】
（1）设甲、乙合做需要x天完成全部工程，把总工作量记为单位“1”，甲的工作效率为$\frac{1}{30}$，乙的工作效率为$\frac{1}{20}$，根据总工作量=合作效率×合作时间列方程：
$(\frac{1}{30}+\frac{1}{20})x=1$
通分化简得$\frac{1}{12}x=1$，解得$x=12$，因为$12＜15$，说明两人合作可在规定时间内完成。
（2）设两人合做完成工程的75%用了y天，75%即$\frac{3}{4}$，列方程得：
$(\frac{1}{30}+\frac{1}{20})y=\frac{3}{4}$
化简得$\frac{1}{12}y=\frac{3}{4}$，解得$y=9$。剩余工作量为$1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$：
若剩下的由甲单独做，所需时间为$\frac{1}{4}÷\frac{1}{30}=7.5$天，总用时$9+7.5=16.5$天，$16.5＞15$，超时不符合要求；
若剩下的由乙单独做，所需时间为$\frac{1}{4}÷\frac{1}{20}=5$天，总用时$9+5=14$天，$14＜15$，符合要求，因此调走甲更合适。
【答案】
（1）设甲、乙合做需要x天完成，由题意，得$(\frac{1}{30}+\frac{1}{20})x=1$，解得$x=12$，$12＜15$，所以甲、乙两人能履行该合同
（2）设两人合做了这项工程的75%用了y天，根据题意，得$(\frac{1}{30}+\frac{1}{20})y=\frac{3}{4}$，解得$y=9$，剩下的由甲单独做需要的时间是$\frac{1}{4}÷\frac{1}{30}=7.5$(天)，剩下的由乙单独做需要的时间是$\frac{1}{4}÷\frac{1}{20}=5$(天)，$9+7.5=16.5＞15$，不合适，$9+5=14＜15$，调走甲比较合适
【知识点】
工程问题、一元一次方程的应用、有理数大小比较
【点评】
本题是工程类实际应用的典型题型，解题核心是将总工作量看作单位“1”，熟练运用工作量、工作效率、工作时间三者的等量关系列方程求解，最后结合实际要求对比方案合理性即可解题，实用性较强。
【难度系数】
0.7
本题属于工程类应用题，解题时先将总工作量看作单位“1”，明确工作效率、工作时间、工作量三者的数量关系：工作量=工作效率×工作时间。（1）要判断能否履行合同，先求出甲乙合作完成全部工程的时间，再与合同规定的15天比较即可。甲的工作效率为$\frac{1}{30}$，乙的工作效率为$\frac{1}{20}$，两者相加为合作效率，根据总工作量为1列方程求解合作时间，再对比15天判断即可。（2）先列方程求出两人合作完成75%工作量的用时，再分别计算剩余工作量由甲、乙单独完成的时间，分别加上已用时间后和15天比较，选择总用时不超期的方案，即可确定调走谁更合适。
【解析】
（1）设甲、乙合做需要x天完成全部工程，把总工作量记为单位“1”，甲的工作效率为$\frac{1}{30}$，乙的工作效率为$\frac{1}{20}$，根据总工作量=合作效率×合作时间列方程：
$(\frac{1}{30}+\frac{1}{20})x=1$
通分化简得$\frac{1}{12}x=1$，解得$x=12$，因为$12＜15$，说明两人合作可在规定时间内完成。
（2）设两人合做完成工程的75%用了y天，75%即$\frac{3}{4}$，列方程得：
$(\frac{1}{30}+\frac{1}{20})y=\frac{3}{4}$
化简得$\frac{1}{12}y=\frac{3}{4}$，解得$y=9$。剩余工作量为$1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$：
若剩下的由甲单独做，所需时间为$\frac{1}{4}÷\frac{1}{30}=7.5$天，总用时$9+7.5=16.5$天，$16.5＞15$，超时不符合要求；
若剩下的由乙单独做，所需时间为$\frac{1}{4}÷\frac{1}{20}=5$天，总用时$9+5=14$天，$14＜15$，符合要求，因此调走甲更合适。
【答案】
（1）设甲、乙合做需要x天完成，由题意，得$(\frac{1}{30}+\frac{1}{20})x=1$，解得$x=12$，$12＜15$，所以甲、乙两人能履行该合同
（2）设两人合做了这项工程的75%用了y天，根据题意，得$(\frac{1}{30}+\frac{1}{20})y=\frac{3}{4}$，解得$y=9$，剩下的由甲单独做需要的时间是$\frac{1}{4}÷\frac{1}{30}=7.5$(天)，剩下的由乙单独做需要的时间是$\frac{1}{4}÷\frac{1}{20}=5$(天)，$9+7.5=16.5＞15$，不合适，$9+5=14＜15$，调走甲比较合适
【知识点】
工程问题、一元一次方程的应用、有理数大小比较
【点评】
本题是工程类实际应用的典型题型，解题核心是将总工作量看作单位“1”，熟练运用工作量、工作效率、工作时间三者的等量关系列方程求解，最后结合实际要求对比方案合理性即可解题，实用性较强。
【难度系数】
0.7
12. 某校召开运动会，七年级(1)班学生到超市分两次(第二次少于第一次)购买某种饮料90瓶，共用去205元，已知该种饮料价格如下表，求两次分别购买这种饮料多少瓶.
答案：12. 设第一次购买这种饮料x瓶，则第二次购买这种饮料$(90-x)$瓶. ① 若第一次购买这种饮料50瓶以上，第二次购买这种饮料30瓶以下，则$2x+3(90-x)=205$，解得$x=65$，得$90-x=25$，因为$65＞50$，$25＜30$，所以这种情况成立 ② 若第一次购买这种饮料50瓶以上，第二次购买这种饮料30瓶以上，则$2x+2.5(90-x)=205$，解得$x=40$，得$90-x=50$. 因为$40＜50$，所以这种情况不成立 ③ 若第一次第二次均购买这种饮料30瓶以上，但不超过50瓶. 则$2.5×90=225$，因为$225＞205$，所以这种情况不成立. 答：第一次购买饮料65瓶，则第二次购买饮料25瓶
解析：
【分析】
已知两次共购买90瓶饮料，且第二次购买量少于第一次，因此第一次购买量一定大于45瓶。由于饮料单价随购买量分段设置，需要结合第一次购买量的可能区间分类讨论：①第一次购买50瓶以上，第二次购买不超过30瓶；②第一次购买50瓶以上，第二次购买30~50瓶之间；③两次购买量都在30~50瓶之间。针对每种情况对应单价列一元一次方程，求解后检验解是否符合对应区间的要求，符合条件的即为正确结果。
【解析】
设第一次购买这种饮料$x$瓶，则第二次购买这种饮料$(90-x)$瓶，由题意得$x＞90-x$，即$x＞45$。
① 若第一次购买50瓶以上，第二次购买不超过30瓶：
此时第一次单价为2元/瓶，第二次单价为3元/瓶，列方程：
$2x+3(90-x)=205$
去括号得：$2x+270-3x=205$
移项合并同类项得：$-x=-65$
解得：$x=65$
则$90-x=90-65=25$，验证：$65＞50$，$25＜30$，符合假设条件，该情况成立。
② 若第一次购买50瓶以上，第二次购买30瓶以上不超过50瓶：
此时第一次单价为2元/瓶，第二次单价为2.5元/瓶，列方程：
$2x+2.5(90-x)=205$
去括号得：$2x+225-2.5x=205$
移项合并同类项得：$-0.5x=-20$
解得：$x=40$
则$90-x=50$，验证：$40＜50$，不符合“第一次购买50瓶以上”的假设，该情况不成立。
③ 若两次购买量都在30瓶以上不超过50瓶：
此时单价均为2.5元/瓶，总费用为$2.5×90=225$元，$225＞205$，与总费用205元的题意矛盾，该情况不成立。
【答案】第一次购买饮料65瓶，第二次购买饮料25瓶
【知识点】一元一次方程应用，分段计价问题，分类讨论思想
【点评】本题是典型的分段计费类实际应用题，解题关键是先根据两次购买的数量关系确定未知数的大致范围，再结合分段收费规则分类列方程，最后要注意检验解是否符合对应分类的取值条件，排除不符合题意的结果。
【难度系数】
0.6
已知两次共购买90瓶饮料，且第二次购买量少于第一次，因此第一次购买量一定大于45瓶。由于饮料单价随购买量分段设置，需要结合第一次购买量的可能区间分类讨论：①第一次购买50瓶以上，第二次购买不超过30瓶；②第一次购买50瓶以上，第二次购买30~50瓶之间；③两次购买量都在30~50瓶之间。针对每种情况对应单价列一元一次方程，求解后检验解是否符合对应区间的要求，符合条件的即为正确结果。
【解析】
设第一次购买这种饮料$x$瓶，则第二次购买这种饮料$(90-x)$瓶，由题意得$x＞90-x$，即$x＞45$。
① 若第一次购买50瓶以上，第二次购买不超过30瓶：
此时第一次单价为2元/瓶，第二次单价为3元/瓶，列方程：
$2x+3(90-x)=205$
去括号得：$2x+270-3x=205$
移项合并同类项得：$-x=-65$
解得：$x=65$
则$90-x=90-65=25$，验证：$65＞50$，$25＜30$，符合假设条件，该情况成立。
② 若第一次购买50瓶以上，第二次购买30瓶以上不超过50瓶：
此时第一次单价为2元/瓶，第二次单价为2.5元/瓶，列方程：
$2x+2.5(90-x)=205$
去括号得：$2x+225-2.5x=205$
移项合并同类项得：$-0.5x=-20$
解得：$x=40$
则$90-x=50$，验证：$40＜50$，不符合“第一次购买50瓶以上”的假设，该情况不成立。
③ 若两次购买量都在30瓶以上不超过50瓶：
此时单价均为2.5元/瓶，总费用为$2.5×90=225$元，$225＞205$，与总费用205元的题意矛盾，该情况不成立。
【答案】第一次购买饮料65瓶，第二次购买饮料25瓶
【知识点】一元一次方程应用，分段计价问题，分类讨论思想
【点评】本题是典型的分段计费类实际应用题，解题关键是先根据两次购买的数量关系确定未知数的大致范围，再结合分段收费规则分类列方程，最后要注意检验解是否符合对应分类的取值条件，排除不符合题意的结果。
【难度系数】
0.6
13. 体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队.
（1）已知A队有32人，B队有28人. 从A队调a人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，求a的值.
（2）若B队人数是A队的2倍，从A队调m人到B队，又从B队回调m人到A队（回调的人数里有男有女），试判断回调后A队中的女生人数和B队中的男生人数是否相同，并说明理由.
（1）已知A队有32人，B队有28人. 从A队调a人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，求a的值.
（2）若B队人数是A队的2倍，从A队调m人到B队，又从B队回调m人到A队（回调的人数里有男有女），试判断回调后A队中的女生人数和B队中的男生人数是否相同，并说明理由.
答案：13.（1）根据题意，得$2(32-a)+3=28+a$，解得$a=13$，即a的值为13 （2）相等，理由：从A队调m人到B队，则此时B队男生人数为m人，接下来，又从B队回调m人到A队，回调的人数里有男有女，如果从B队回调几个男生，则剩下的男生就留在B队，而B队回调的女生数和B队剩下的男生数相同，故回调后A队中的女生人数和B队中的男生人数相同
解析：
【分析】
（1）本题是人员调动类的一元一次方程应用题，解题核心是找准等量关系：调动后B队人数 = 2×调动后A队剩余人数 + 3。先分别表示出调动后两队的人数，再根据等量关系列方程求解即可。
（2）要判断两个量是否相等，可通过设未知数分别表示两个目标量，对比化简结果即可。已知A队原全为男生、B队原全为女生，设回调人数中女生人数为x，分别用含x的代数式表示回调后A队女生人数、B队男生人数，对比即可得结论。
【解析】
（1）从A队调a人到B队后，A队剩余人数为$(32-a)$人，B队人数为$(28+a)$人。
根据题意列方程：
$2(32-a)+3=28+a$
展开并整理得：$67-2a=28+a$
移项合并同类项得：$3a=39$
解得：$a=13$
（2）回调后A队中的女生人数和B队中的男生人数相等，理由如下：
已知A队原本全为男生，B队原本全为女生。从A队调m人到B队时，调过去的m人均为男生，此时B队共有m名男生。
设从B队回调的m人中有x名女生，则回调的男生人数为$(m-x)$名。
①回调后A队的女生全部来自回调人员，因此A队女生人数为x名；
②回调后B队剩余的男生人数为$m-(m-x)=x$名。
因此二者人数相等。
【答案】
（1）$a=13$；（2）相等，理由见解析
【知识点】
一元一次方程应用、列代数式、整式化简
【点评】
本题结合校园体育课的实际场景出题，贴近学生生活，第一问侧重考查一元一次方程解应用题的基础步骤，第二问侧重考查逻辑推理能力，需要理清人员调动的数量关系，能有效检验学生的方程应用能力和逻辑思维水平。
【难度系数】
0.65
（1）本题是人员调动类的一元一次方程应用题，解题核心是找准等量关系：调动后B队人数 = 2×调动后A队剩余人数 + 3。先分别表示出调动后两队的人数，再根据等量关系列方程求解即可。
（2）要判断两个量是否相等，可通过设未知数分别表示两个目标量，对比化简结果即可。已知A队原全为男生、B队原全为女生，设回调人数中女生人数为x，分别用含x的代数式表示回调后A队女生人数、B队男生人数，对比即可得结论。
【解析】
（1）从A队调a人到B队后，A队剩余人数为$(32-a)$人，B队人数为$(28+a)$人。
根据题意列方程：
$2(32-a)+3=28+a$
展开并整理得：$67-2a=28+a$
移项合并同类项得：$3a=39$
解得：$a=13$
（2）回调后A队中的女生人数和B队中的男生人数相等，理由如下：
已知A队原本全为男生，B队原本全为女生。从A队调m人到B队时，调过去的m人均为男生，此时B队共有m名男生。
设从B队回调的m人中有x名女生，则回调的男生人数为$(m-x)$名。
①回调后A队的女生全部来自回调人员，因此A队女生人数为x名；
②回调后B队剩余的男生人数为$m-(m-x)=x$名。
因此二者人数相等。
【答案】
（1）$a=13$；（2）相等，理由见解析
【知识点】
一元一次方程应用、列代数式、整式化简
【点评】
本题结合校园体育课的实际场景出题，贴近学生生活，第一问侧重考查一元一次方程解应用题的基础步骤，第二问侧重考查逻辑推理能力，需要理清人员调动的数量关系，能有效检验学生的方程应用能力和逻辑思维水平。
【难度系数】
0.65