【分析】
本题是尺规作线段和差的基础题，解题思路如下：①作线段的和时，先画一条射线作为载体，用圆规量取各已知线段的长度，将需要相加的线段顺次首尾相接截在射线上，从射线端点到最后一个截点的线段就是所求的和线段，本题要作$a+2c$，只需依次截1段$a$、2段$c$即可；②作线段的差时，先确认被减数线段更长（题图中$a＞b$，符合作差要求），先在射线上截取较长的线段$a$，再从$a$的端点往线段内部截取较短的线段$b$，剩余的线段就是所求的差线段。注意全程用圆规量取长度，不能用刻度尺测量，要保留作图痕迹。
【解析】
(1) 作长度等于$a+2c$的线段步骤：
① 用直尺画射线$AP$；
② 用圆规在射线$AP$上顺次截取$AB = a$，$BC = c$，$CD = c$。
(2) 作长度等于$a-b$的线段步骤：
① 用直尺画射线$MQ$；
② 用圆规在射线$MQ$上截取$ME = a$；
③ 在线段$ME$上截取$EN = b$。
（作图需保留圆规截取的对应痕迹，端点字母标注合理即可）
【答案】
(1) 线段$AD$（端点标注合理即可）即为所求的长度等于$a+2c$的线段；
(2) 线段$MN$（端点标注合理即可）即为所求的长度等于$a-b$的线段。
【知识点】
1. 尺规作线段
2. 线段的和差
【点评】
本题属于尺规作图的基础考点，重点考察线段和、差的作图方法，要注意作和时顺次向外截取、作差时向内截取的区别，作图时需保留截取痕迹，端点字母标注清晰规范即可。
【难度系数】
0.8

【分析】
（1）第一问是基础作图题，只需延长线段AD，在AD的延长线上截取与BD长度相等的线段DE即可完成作图。
（2）第二问解题思路：首先利用线段中点的性质，由AD的长度求出AC、CD的长度；再观察线段AC由AB和BC组成，结合BC=4AB的数量关系，可求出AB和BC的长度；接着计算BD的长度，根据DE=BD得到DE的长度；最后根据AE是AD与DE的和，代入数值即可求出AE的长度。
【解析】
（1）延长线段AD，以D为圆心、BD长为半径画弧，交AD的延长线于点E，作图结果如所示。
（2）解：
∵ C是线段AD的中点，AD=10，
∴ $AC=CD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×10=5$。
∵ 点B在线段AC上，$BC=4AB$，且$AB+BC=AC$，
∴ $AB+4AB=5$，解得$AB=1$，$BC=4$。
∴ $BD=BC+CD=4+5=9$。
由作图可知$DE=BD$，
∴ $DE=9$。
∴ $AE=AD+DE=10+9=19$。
【答案】
（1）如图
（2）线段AE的长为19
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算；尺规作相等线段
【点评】
本题是线段章节的常规基础题，作图部分考查基本尺规作图能力，计算部分的核心是理清各线段之间的数量关系，结合中点性质逐步推导即可求解，能够很好地巩固线段相关的基础概念。
【难度系数】
0.7

【分析】
已知A、B、C三点在同一直线上，但未明确点C的位置，因此需分两种情况讨论：①点C在点B的右侧；②点C在点B的左侧。解题时首先根据AB的长度和2BC=3AB的数量关系求出BC的长度，再分别计算两种情况下线段AC的总长度，接着利用线段中点的性质求出AC一半的长度，最后结合线段的和差关系即可算出BM的长度。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当点C在点B的右侧时（如图①）：
∵ AB=4，2BC=3AB，
∴ BC=$\frac{3}{2}$AB=$\frac{3}{2}×4=6$，
∴ AC=AB+BC=4+6=10。
∵ M是线段AC的中点，
∴ AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×10=5$，
∴ BM=AM-AB=5-4=1。
2. 当点C在点B的左侧时（如图②）：
∵ AB=4，2BC=3AB，
∴ BC=6，
∴ AC=BC-AB=6-4=2。
∵ M是线段AC的中点，
∴ AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×2=1$，
∴ BM=AB+AM=4+1=5。
【答案】
线段BM的长为5或1
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是线段长度计算的常规题型，易错点是忽略点C位置的两种可能性导致漏解，熟练掌握线段中点的性质和线段和差的运算规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先明确“折中点”的定义：该点将折线A-C-B分成长度相等的两部分，即折线A到D的长度等于折线D到B的长度，两部分长度均为总长度(AC+BC)的一半。解题时需先判断点D的位置，分D在线段AC上、D在线段BC上两种情况，结合线段和差关系计算即可。
(1)①先计算折线总长度的一半，与AC长度比较，若半长大于AC，则D在BC上，反之在AC上；
(1)②分D在AC、BC两种情况，结合折中点的等长关系计算BC；
(2)先由线段中点的性质求出AC的长度，再分D的两种位置，结合折中点性质计算CB的长度。
【解析】
(1)① 折线A-C-B的总长度为AC+BC=6+10=16，折中点分折线为等长的两部分，每部分长度为16÷2=8。因为AC=6＜8，若D在AC上，A到D的最大长度仅为6，小于8，因此点D在线段BC上。
② 分两种情况讨论：
情况1：点D在线段AC上，此时AD=AC-CD=8-3=5，根据折中点性质，AD=CD+BC，因此BC=AD-CD=5-3=2；
情况2：点D在线段BC上，此时AC+CD=8+3=11，根据折中点性质，AC+CD=BD，因此BC=BD+CD=11+3=14。
综上，BC的长度为2或14。
(2)
∵E为线段AC的中点，EC=8，
∴AC=2CE=2×8=16。
分两种情况讨论：
① 当点D在线段AC上时，如图①：
∵CD=6，
∴AD=AC-CD=16-6=10，
∵D为折中点，
∴AD=CD+BC，
代入得10=6+BC，解得BC=4；
② 当点D在线段BC上时，如图②：
∵CD=6，
∴AC+CD=16+6=22，
∵D为折中点，
∴BD=AC+CD=22，
∴BC=BD+CD=22+6=28。
综上，CB的长度为4或28。
【答案】
(1) ① BC ② 2或14
(2) 因为E为线段AC中点,EC=8,所以AC=2CE=16.① 点D在线段AC上时,如图①,因为CD=6,所以AD=AC-CD=16-6=10.因为D为折中点,所以AD=CD+BC.所以BC=AD-CD=10-6=4;② 点D在线段BC上时,如图②,因为CD=6,所以AC+CD=16+6=22.所以BD=22.所以BC=BD+CD=22+6=28.综上所述,CB的长度是4或28
【知识点】
线段和差计算，新定义理解，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义“折中点”考查线段的相关计算，解题核心是准确理解折中点的等长含义，注意分类讨论点D的不同位置，避免因漏解出错。
【难度系数】
0.6