9. 在数轴上与－2相距2个单位长度的点表示的数为
0或-4
；长为2个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖2
个表示整数的点，最多能覆盖3
个表示整数的点。答案：9. 0或-4，2，3
解析：
【分析】
第一问需考虑数轴上与定点距离固定的点有两种位置：分别在定点的左侧和右侧，分别计算即可，避免漏解；第二、三问讨论木条覆盖整数点的数量时，需分木条端点落在整数点上和落在两个整数之间两种情况，分别统计覆盖的整数点数量，再对比得到最多和最少的个数。
【解析】
1. 求与-2相距2个单位长度的点表示的数：
① 若该点在-2的右侧，对应的数比-2大2，计算得：$-2 + 2 = 0$；
② 若该点在-2的左侧，对应的数比-2小2，计算得：$-2 - 2 = -4$；
因此第一个空填0或-4。
2. 求长为2个单位长度的木条覆盖整数点的数量：
① 最少覆盖情况：当木条的两个端点都落在两个整数之间时，例如木条范围是0.1~2.1，此时覆盖的整数点为1、2，共2个；
② 最多覆盖情况：当木条的两个端点都恰好落在整数点上时，例如木条范围是0~2，此时覆盖的整数点为0、1、2，共3个；
因此后两个空依次填2、3。
【答案】
0或-4，2，3
【知识点】
数轴的应用，数轴上两点距离，分类讨论
【点评】
本题是数轴的基础应用题，解题核心是要具备分类讨论的意识，第一问不要忽略点在已知点左侧的情况，后两问要考虑木条端点的不同位置，避免漏算情况导致出错。
【难度系数】
0.7
第一问需考虑数轴上与定点距离固定的点有两种位置：分别在定点的左侧和右侧，分别计算即可，避免漏解；第二、三问讨论木条覆盖整数点的数量时，需分木条端点落在整数点上和落在两个整数之间两种情况，分别统计覆盖的整数点数量，再对比得到最多和最少的个数。
【解析】
1. 求与-2相距2个单位长度的点表示的数：
① 若该点在-2的右侧，对应的数比-2大2，计算得：$-2 + 2 = 0$；
② 若该点在-2的左侧，对应的数比-2小2，计算得：$-2 - 2 = -4$；
因此第一个空填0或-4。
2. 求长为2个单位长度的木条覆盖整数点的数量：
① 最少覆盖情况：当木条的两个端点都落在两个整数之间时，例如木条范围是0.1~2.1，此时覆盖的整数点为1、2，共2个；
② 最多覆盖情况：当木条的两个端点都恰好落在整数点上时，例如木条范围是0~2，此时覆盖的整数点为0、1、2，共3个；
因此后两个空依次填2、3。
【答案】
0或-4，2，3
【知识点】
数轴的应用，数轴上两点距离，分类讨论
【点评】
本题是数轴的基础应用题，解题核心是要具备分类讨论的意识，第一问不要忽略点在已知点左侧的情况，后两问要考虑木条端点的不同位置，避免漏算情况导致出错。
【难度系数】
0.7
10. 把下列各数在数轴上表示出来，再用“＜”把它们连接起来：
$-4$，$-\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{1}{4}$，$2$，$-\dfrac{1}{2}$，$3.5$，$2\dfrac{1}{2}$
$-4$，$-\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{1}{4}$，$2$，$-\dfrac{1}{2}$，$3.5$，$2\dfrac{1}{2}$
答案：10. 画图略，$-4＜-\frac{1}{2}＜-\frac{1}{3}＜\frac{1}{4}＜2＜2\frac{1}{2}＜3.5$
解析：
【分析】
解题时首先回忆数轴的性质：数轴上原点左侧是负数，右侧是正数，且越往右的数越大，越往左的数越小。我们可以分两步思考：第一步，先区分给定数中的正数和负数，负数都小于正数；第二步，负数之间比较时，绝对值越大的数越小，正数之间直接按大小排序，也可以通过在数轴上准确标出所有数对应的点，再按照从左到右的顺序直接写出大小关系，两种方法可以互相验证结果是否正确。
【解析】
1. 画数轴：先确定原点（表示0的点）、向右为正方向，选取合适的单位长度。
2. 找点标数：在数轴上依次标出各数对应的点：
负数部分：-4在原点左侧4个单位长度处，$-\dfrac{1}{2}=-0.5$在原点左侧0.5个单位处，$-\dfrac{1}{3}\approx-0.33$在原点左侧，位置比$-\dfrac{1}{2}$更靠近原点；
正数部分：$\dfrac{1}{4}=0.25$在原点右侧0.25个单位处，2在原点右侧2个单位处，$2\dfrac{1}{2}=2.5$在2和3的中点处，3.5在3和4的中点处。
3. 比较大小：根据数轴上左边的数小于右边的数，从左到右排列各数即可。
【答案】
画图略，$-4＜-\frac{1}{2}＜-\frac{1}{3}＜\frac{1}{4}＜2＜2\frac{1}{2}＜3.5$
【知识点】
数轴的使用、有理数大小比较
【点评】
本题是有理数大小比较的基础题型，解题关键是熟练掌握数轴上数的大小规律，以及负数比较大小的规则，做题时注意分数、小数、带分数的互相转化，避免因标错数轴上的点导致排序错误。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆数轴的性质：数轴上原点左侧是负数，右侧是正数，且越往右的数越大，越往左的数越小。我们可以分两步思考：第一步，先区分给定数中的正数和负数，负数都小于正数；第二步，负数之间比较时，绝对值越大的数越小，正数之间直接按大小排序，也可以通过在数轴上准确标出所有数对应的点，再按照从左到右的顺序直接写出大小关系，两种方法可以互相验证结果是否正确。
【解析】
1. 画数轴：先确定原点（表示0的点）、向右为正方向，选取合适的单位长度。
2. 找点标数：在数轴上依次标出各数对应的点：
负数部分：-4在原点左侧4个单位长度处，$-\dfrac{1}{2}=-0.5$在原点左侧0.5个单位处，$-\dfrac{1}{3}\approx-0.33$在原点左侧，位置比$-\dfrac{1}{2}$更靠近原点；
正数部分：$\dfrac{1}{4}=0.25$在原点右侧0.25个单位处，2在原点右侧2个单位处，$2\dfrac{1}{2}=2.5$在2和3的中点处，3.5在3和4的中点处。
3. 比较大小：根据数轴上左边的数小于右边的数，从左到右排列各数即可。
【答案】
画图略，$-4＜-\frac{1}{2}＜-\frac{1}{3}＜\frac{1}{4}＜2＜2\frac{1}{2}＜3.5$
【知识点】
数轴的使用、有理数大小比较
【点评】
本题是有理数大小比较的基础题型，解题关键是熟练掌握数轴上数的大小规律，以及负数比较大小的规则，做题时注意分数、小数、带分数的互相转化，避免因标错数轴上的点导致排序错误。
【难度系数】
0.85
11. 已知a，b都是有理数，若$a＜-2$，$-2＜b$，则a与b哪个数大？请说明理由。
答案：11. 根据有理数大小关系的传递性，$b＞a$
解析：
【分析】
解题时首先梳理题目给出的两个不等关系，发现两个式子都含有共同的中间量-2，我们可以借助不等关系的传递性，将a、-2、b的大小关系串联起来，即可直接得到a和b的大小；也可以结合数轴的性质：数轴上右侧的数总比左侧的数大，判断a、b在数轴上的相对位置，进而比较大小。
【解析】
解：由题意可知，$a ＜ -2$，且$-2 ＜ b$，
将两个不等关系联立可得：$a ＜ -2 ＜ b$，
根据有理数大小关系的传递性，可直接得出$a ＜ b$，即b更大。
（也可借助数轴验证：a在数轴上位于-2的左侧，b位于-2的右侧，数轴上右边的数大于左边的数，因此b在a的右侧，故$b ＞ a$）
【答案】
根据有理数大小关系的传递性，$b＞a$
【知识点】
有理数大小比较、不等式的传递性
【点评】
本题是基础的有理数大小比较题型，核心考查对不等关系传递性的应用，也可结合数轴的性质快速判断，熟练掌握基础比较规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先梳理题目给出的两个不等关系，发现两个式子都含有共同的中间量-2，我们可以借助不等关系的传递性，将a、-2、b的大小关系串联起来，即可直接得到a和b的大小；也可以结合数轴的性质：数轴上右侧的数总比左侧的数大，判断a、b在数轴上的相对位置，进而比较大小。
【解析】
解：由题意可知，$a ＜ -2$，且$-2 ＜ b$，
将两个不等关系联立可得：$a ＜ -2 ＜ b$，
根据有理数大小关系的传递性，可直接得出$a ＜ b$，即b更大。
（也可借助数轴验证：a在数轴上位于-2的左侧，b位于-2的右侧，数轴上右边的数大于左边的数，因此b在a的右侧，故$b ＞ a$）
【答案】
根据有理数大小关系的传递性，$b＞a$
【知识点】
有理数大小比较、不等式的传递性
【点评】
本题是基础的有理数大小比较题型，核心考查对不等关系传递性的应用，也可结合数轴的性质快速判断，熟练掌握基础比较规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
12. 点 A 在数轴上表示+5 的位置，第一次沿数轴先向右移动 1 个单位长度，再向左移动 2个单位长度到达点 $ A_1 $；第二次从点 $ A_1 $ 开始，沿数轴先向右移动 3 个单位长度，再向左移动 4 个单位长度到达点 $ A_2 $；第三次从点 $ A_2 $ 开始，沿数轴先向右移动 5 个单位长度，再向左移动 6 个单位长度到达点 $ A_3 $……
（1）数轴上点 $ A_1 $ 表示的数是多少？
（2）数轴上点 $ A_5 $ 表示的数是多少？
（3）数轴上点
（1）数轴上点 $ A_1 $ 表示的数是多少？
（2）数轴上点 $ A_5 $ 表示的数是多少？
（3）数轴上点
$A_8$
表示的数是－3.答案：12. (1) 4 (2) 0 (3) $A_8$
解析：
【分析】
解题时先回忆数轴上点的平移规则：点向右平移，对应的数加平移长度；点向左平移，对应的数减平移长度。第一问直接按照第一次的移动步骤计算即可得到$A_1$表示的数；再观察每次移动的特点：每次操作都是先向右移动奇数个单位，再向左移动比它大1的偶数个单位，相当于每次操作整体向左移动1个单位，即每完成一次操作，点表示的数比操作前小1，由此可推导得到第n次操作后点$A_n$表示的数的规律，利用规律就能快速解决第二、第三问。
【解析】
（1）已知点A表示的数是+5，第一次向右移动1个单位后对应的数为：$5+1=6$，再向左移动2个单位，得到$A_1$表示的数为：$6-2=4$。
（2）根据每次操作整体向左移动1个单位的规律，可得第n次操作后，点$A_n$表示的数为$5-n$。当$n=5$时，$A_5$表示的数为：$5-5=0$。
（3）令$5-n=-3$，解得$n=8$，即点$A_8$表示的数是-3。
【答案】
（1）4；（2）0；（3）$A_8$
【知识点】
数轴点的平移；有理数加减运算；规律探究
【点评】
本题结合数轴的点平移场景考查有理数运算和规律归纳能力，解题时既可以逐次计算移动后的结果，也可以通过总结通用规律简化计算，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆数轴上点的平移规则：点向右平移，对应的数加平移长度；点向左平移，对应的数减平移长度。第一问直接按照第一次的移动步骤计算即可得到$A_1$表示的数；再观察每次移动的特点：每次操作都是先向右移动奇数个单位，再向左移动比它大1的偶数个单位，相当于每次操作整体向左移动1个单位，即每完成一次操作，点表示的数比操作前小1，由此可推导得到第n次操作后点$A_n$表示的数的规律，利用规律就能快速解决第二、第三问。
【解析】
（1）已知点A表示的数是+5，第一次向右移动1个单位后对应的数为：$5+1=6$，再向左移动2个单位，得到$A_1$表示的数为：$6-2=4$。
（2）根据每次操作整体向左移动1个单位的规律，可得第n次操作后，点$A_n$表示的数为$5-n$。当$n=5$时，$A_5$表示的数为：$5-5=0$。
（3）令$5-n=-3$，解得$n=8$，即点$A_8$表示的数是-3。
【答案】
（1）4；（2）0；（3）$A_8$
【知识点】
数轴点的平移；有理数加减运算；规律探究
【点评】
本题结合数轴的点平移场景考查有理数运算和规律归纳能力，解题时既可以逐次计算移动后的结果，也可以通过总结通用规律简化计算，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
13. 阅读材料并回答问题：
对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”。例如：如图，数轴上点A，B，C表示的数分别为1，3，4，点B与点A的距离是2，点B与点C的距离是1，此时点B是点A，C的“关联点”。
（1）若点P表示－2，点Q表示4. $-\dfrac{2}{3}$，0，2，6对应的点分别是$C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$，则其中哪几个点是点P，Q的“关联点”？
（2）点M表示的数是－5，点N表示的数是15，P为数轴上一个动点。若点P在点N的左侧，且点P是点M，N的“关联点”，则点P表示的数是
对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”。例如：如图，数轴上点A，B，C表示的数分别为1，3，4，点B与点A的距离是2，点B与点C的距离是1，此时点B是点A，C的“关联点”。
（1）若点P表示－2，点Q表示4. $-\dfrac{2}{3}$，0，2，6对应的点分别是$C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$，则其中哪几个点是点P，Q的“关联点”？
（2）点M表示的数是－5，点N表示的数是15，P为数轴上一个动点。若点P在点N的左侧，且点P是点M，N的“关联点”，则点P表示的数是
－25或$\frac{5}{3}$或$\frac{25}{3}$
。答案：13. (1) $C_2,C_3$ (2) $-25$或$\frac{5}{3}$或$\frac{25}{3}$
解析：
【分析】
首先明确“关联点”的定义：数轴上一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系。解题时先利用数轴两点距离的计算方法（位置确定时用大数减小数，位置不确定时可结合绝对值或分情况计算），第一问逐个计算各点到P、Q的距离判断是否满足2倍关系；第二问设动点P表示的数为x，根据P的位置分类讨论，列一元一次方程求解即可。
【解析】
（1）点P表示的数为-2，点Q表示的数为4，两点距离为$4 - (-2)=6$。
分别计算各$C_i$到P、Q的距离：
①$C_1$表示$-\frac{2}{3}$：到P的距离为$\left|-\frac{2}{3}-(-2)\right|=\frac{4}{3}$，到Q的距离为$\left|4-(-\frac{2}{3})\right|=\frac{14}{3}$，无2倍关系，不是关联点；
②$C_2$表示0：到P的距离为$0-(-2)=2$，到Q的距离为$4-0=4$，$4=2×2$，满足2倍关系，是关联点；
③$C_3$表示2：到P的距离为$2-(-2)=4$，到Q的距离为$4-2=2$，$4=2×2$，满足2倍关系，是关联点；
④$C_4$表示6：到P的距离为$6-(-2)=8$，到Q的距离为$6-4=2$，无2倍关系，不是关联点。
（2）设点P表示的数为$x$，已知P在点N左侧，故$x＜15$，点M表示-5，点N表示15，分情况讨论：
1. 当P在M左侧（$x＜-5$）时：
$PM=-5-x$，$PN=15-x$，满足2倍关系时$15-x=2(-5-x)$，解得$x=-25$，符合$x＜-5$；
2. 当P在M、N之间（$-5＜x＜15$）时：
$PM=x+5$，$PN=15-x$，分两种子情况：
① $PM=2PN$：$x+5=2(15-x)$，解得$x=\frac{25}{3}$，符合范围；
② $PN=2PM$：$15-x=2(x+5)$，解得$x=\frac{5}{3}$，符合范围。
【答案】
(1) $C_2,C_3$ (2) $-25$或$\frac{5}{3}$或$\frac{25}{3}$
【知识点】
数轴两点距离；新定义问题；一元一次方程应用
【点评】
本题属于新定义题型，解题关键是准确理解“关联点”的含义，结合数轴距离公式对动点位置分类讨论列方程求解，注意分类时不要遗漏情况，验证解是否符合位置要求。
【难度系数】
0.6
首先明确“关联点”的定义：数轴上一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系。解题时先利用数轴两点距离的计算方法（位置确定时用大数减小数，位置不确定时可结合绝对值或分情况计算），第一问逐个计算各点到P、Q的距离判断是否满足2倍关系；第二问设动点P表示的数为x，根据P的位置分类讨论，列一元一次方程求解即可。
【解析】
（1）点P表示的数为-2，点Q表示的数为4，两点距离为$4 - (-2)=6$。
分别计算各$C_i$到P、Q的距离：
①$C_1$表示$-\frac{2}{3}$：到P的距离为$\left|-\frac{2}{3}-(-2)\right|=\frac{4}{3}$，到Q的距离为$\left|4-(-\frac{2}{3})\right|=\frac{14}{3}$，无2倍关系，不是关联点；
②$C_2$表示0：到P的距离为$0-(-2)=2$，到Q的距离为$4-0=4$，$4=2×2$，满足2倍关系，是关联点；
③$C_3$表示2：到P的距离为$2-(-2)=4$，到Q的距离为$4-2=2$，$4=2×2$，满足2倍关系，是关联点；
④$C_4$表示6：到P的距离为$6-(-2)=8$，到Q的距离为$6-4=2$，无2倍关系，不是关联点。
（2）设点P表示的数为$x$，已知P在点N左侧，故$x＜15$，点M表示-5，点N表示15，分情况讨论：
1. 当P在M左侧（$x＜-5$）时：
$PM=-5-x$，$PN=15-x$，满足2倍关系时$15-x=2(-5-x)$，解得$x=-25$，符合$x＜-5$；
2. 当P在M、N之间（$-5＜x＜15$）时：
$PM=x+5$，$PN=15-x$，分两种子情况：
① $PM=2PN$：$x+5=2(15-x)$，解得$x=\frac{25}{3}$，符合范围；
② $PN=2PM$：$15-x=2(x+5)$，解得$x=\frac{5}{3}$，符合范围。
【答案】
(1) $C_2,C_3$ (2) $-25$或$\frac{5}{3}$或$\frac{25}{3}$
【知识点】
数轴两点距离；新定义问题；一元一次方程应用
【点评】
本题属于新定义题型，解题关键是准确理解“关联点”的含义，结合数轴距离公式对动点位置分类讨论列方程求解，注意分类时不要遗漏情况，验证解是否符合位置要求。
【难度系数】
0.6