10. 如图，已知∠1，∠2，∠1＜∠2，用直尺和圆规作两个角，使其大小分别是∠2−∠1，∠1+∠2.（不写作法，保留作图痕迹）
答案：
10. 如图，$∠ AOC=∠ 2-∠ 1,∠ DOF=∠ 1+∠ 2$
10. 如图，$∠ AOC=∠ 2-∠ 1,∠ DOF=∠ 1+∠ 2$
解析：
【分析】
解决本题的核心是掌握尺规作一个角等于已知角的基本方法，再结合角的和差含义思考作图方法：
1. 作两角差$∠2-∠1$：先作出与$∠2$大小相等的角，再在这个角的内部，以该角的一边为公共边，作出与$∠1$大小相等的角，剩余的角即为$∠2$与$∠1$的差；
2. 作两角和$∠1+∠2$：先作出与$∠2$大小相等的角，再在这个角的外部，以该角的一边为公共边，作出与$∠1$大小相等的角，两个角共同组成的大角即为$∠1$与$∠2$的和。
【解析】
首先利用尺规作一个角等于已知角的方法操作：
1. 作$∠ AOB=∠2$，再以$OB$为公共边，在$∠ AOB$内部作$∠ COB=∠1$，此时$∠ AOC=∠ AOB-∠ COB=∠2-∠1$，即为所求的差角；
2. 作$∠ EOF=∠2$，再以$OF$为公共边，在$∠ EOF$外部作$∠ DOF=∠1$，此时$∠ DOF=∠ EOF+∠ DOF=∠1+∠2$，即为所求的和角；
作图时保留所有作图弧线痕迹即可。
【答案】
如图，$∠ AOC=∠ 2-∠ 1,∠ DOF=∠ 1+∠ 2$
【知识点】
尺规作一个角等于已知角；角的和差计算
【点评】
本题属于基础作图类题目，重点考查对尺规作角方法的掌握和对角的和差含义的理解，作图时要注意保留作图痕迹，区分作角的和与差时小角的位置：作和时小角在大角外侧，作差时小角在大角内部。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握尺规作一个角等于已知角的基本方法，再结合角的和差含义思考作图方法：
1. 作两角差$∠2-∠1$：先作出与$∠2$大小相等的角，再在这个角的内部，以该角的一边为公共边，作出与$∠1$大小相等的角，剩余的角即为$∠2$与$∠1$的差；
2. 作两角和$∠1+∠2$：先作出与$∠2$大小相等的角，再在这个角的外部，以该角的一边为公共边，作出与$∠1$大小相等的角，两个角共同组成的大角即为$∠1$与$∠2$的和。
【解析】
首先利用尺规作一个角等于已知角的方法操作：
1. 作$∠ AOB=∠2$，再以$OB$为公共边，在$∠ AOB$内部作$∠ COB=∠1$，此时$∠ AOC=∠ AOB-∠ COB=∠2-∠1$，即为所求的差角；
2. 作$∠ EOF=∠2$，再以$OF$为公共边，在$∠ EOF$外部作$∠ DOF=∠1$，此时$∠ DOF=∠ EOF+∠ DOF=∠1+∠2$，即为所求的和角；
作图时保留所有作图弧线痕迹即可。
【答案】
如图，$∠ AOC=∠ 2-∠ 1,∠ DOF=∠ 1+∠ 2$
【知识点】
尺规作一个角等于已知角；角的和差计算
【点评】
本题属于基础作图类题目，重点考查对尺规作角方法的掌握和对角的和差含义的理解，作图时要注意保留作图痕迹，区分作角的和与差时小角的位置：作和时小角在大角外侧，作差时小角在大角内部。
【难度系数】
0.8
11. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠EOF=90°，OF平分∠BOC吗？为什么？
答案：11. 平分. 因为OE平分∠BOD，所以∠BOE=∠DOE，因为∠EOF=90°，所以∠BOE+∠BOF=90°，$∠ DOE+∠ COF=180°-∠ EOF=90°$因为∠BOE=∠DOE，所以∠BOF=∠COF
解析：
【分析】
要判断OF是否平分∠BOC，核心是证明∠BOF=∠COF。首先根据已知的角平分线条件得到∠BOE=∠DOE，再结合∠EOF=90°和CD是直线（对应平角180°），可推出∠BOE与∠BOF互余、∠DOE与∠COF互余，最后利用等角的余角相等即可得到两个待证角相等，从而得出结论。
【解析】
OF平分∠BOC，理由如下：
∵ OE平分∠BOD，
∴ ∠BOE=∠DOE，
∵ ∠EOF=90°，
∴ ∠BOE+∠BOF=90°，
又
∵ 直线CD对应平角，∠COD=180°，
∴ ∠DOE+∠COF=180°-∠EOF=180°-90°=90°，
结合∠BOE=∠DOE，根据等角的余角相等可得∠BOF=∠COF，因此OF平分∠BOC。
【答案】
OF平分∠BOC。因为OE平分∠BOD，所以∠BOE=∠DOE，因为∠EOF=90°，所以∠BOE+∠BOF=90°，$∠DOE+∠COF=180°-∠EOF=90°$，因为∠BOE=∠DOE，所以∠BOF=∠COF，故OF平分∠BOC。
【知识点】
角平分线的判定，等角的余角相等，平角的定义
【点评】
本题属于角相关性质的基础题，解题的关键是理清图中角的和差关系，结合角平分线定义和余角的性质推导即可，熟练掌握角的基本性质是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.8
要判断OF是否平分∠BOC，核心是证明∠BOF=∠COF。首先根据已知的角平分线条件得到∠BOE=∠DOE，再结合∠EOF=90°和CD是直线（对应平角180°），可推出∠BOE与∠BOF互余、∠DOE与∠COF互余，最后利用等角的余角相等即可得到两个待证角相等，从而得出结论。
【解析】
OF平分∠BOC，理由如下：
∵ OE平分∠BOD，
∴ ∠BOE=∠DOE，
∵ ∠EOF=90°，
∴ ∠BOE+∠BOF=90°，
又
∵ 直线CD对应平角，∠COD=180°，
∴ ∠DOE+∠COF=180°-∠EOF=180°-90°=90°，
结合∠BOE=∠DOE，根据等角的余角相等可得∠BOF=∠COF，因此OF平分∠BOC。
【答案】
OF平分∠BOC。因为OE平分∠BOD，所以∠BOE=∠DOE，因为∠EOF=90°，所以∠BOE+∠BOF=90°，$∠DOE+∠COF=180°-∠EOF=90°$，因为∠BOE=∠DOE，所以∠BOF=∠COF，故OF平分∠BOC。
【知识点】
角平分线的判定，等角的余角相等，平角的定义
【点评】
本题属于角相关性质的基础题，解题的关键是理清图中角的和差关系，结合角平分线定义和余角的性质推导即可，熟练掌握角的基本性质是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.8
12.（1）如图①，OC是∠AOB内的一条射线，OD，OE分别平分∠AOB，∠AOC. 若∠BOC=90°，求∠DOE.
（2）小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：
如图①，若∠BOC=m°，则∠DOE=
（3）已知直线AM，BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM，ON重合，OD，OE分别平分∠AOB，∠AOC，当∠BOC=m°时，求∠DOE.（在备用图中画出示意图求解）
（2）小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：
如图①，若∠BOC=m°，则∠DOE=
$\frac{m°}{2}$
.（3）已知直线AM，BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM，ON重合，OD，OE分别平分∠AOB，∠AOC，当∠BOC=m°时，求∠DOE.（在备用图中画出示意图求解）
答案：
12.（1）$∠ DOE=45°$. 设$∠ AOC=α°$,则$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=α°+90°$,因为OD平分$∠ AOB$,OE平分$∠ AOC$,所以$∠ DOE=∠ AOD-∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOB-\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(α°+90°)-\frac{1}{2}α°=\frac{1}{2}×90°=45°$ （2）$\frac{m°}{2}$.设$∠ AOC=α°$,则$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=α°+m°$,因为OD平分$∠ AOB$,OE平分$∠ AOC$,所以$∠ DOE=∠ AOD-∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOB-\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(α°+m°)-\frac{1}{2}α°=\frac{m°}{2}$ （3）① 当OC在AM上,即OC在$∠ BOM$之间,设$∠ AOC=α°$,则$∠ AOB=∠ AOC-∠ BOC=α°-m°$,因为OD平分$∠ AOB$,OE平分$∠ AOC$,所以$∠ DOE=∠ AOD-∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC-\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}α°-\frac{1}{2}(α°-m°)=\frac{m°}{2}$;② 当OC在直线AM下方,且OC在$∠ MON$之间时,$∠ BOC=∠ AOC=m°$,$∠ DOE=∠ AOE-∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC+\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}∠ BOC=180°-\frac{m°}{2}$;③ 当OC在直线AM下方,且OC在$∠ AON$之间时,由②得,$∠ BOC=m°$,$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ AOC+\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{m°}{2}$.综上所述,$∠ DOE=\frac{m°}{2}$或$180°-\frac{m°}{2}$
12.（1）$∠ DOE=45°$. 设$∠ AOC=α°$,则$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=α°+90°$,因为OD平分$∠ AOB$,OE平分$∠ AOC$,所以$∠ DOE=∠ AOD-∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOB-\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(α°+90°)-\frac{1}{2}α°=\frac{1}{2}×90°=45°$ （2）$\frac{m°}{2}$.设$∠ AOC=α°$,则$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=α°+m°$,因为OD平分$∠ AOB$,OE平分$∠ AOC$,所以$∠ DOE=∠ AOD-∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOB-\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(α°+m°)-\frac{1}{2}α°=\frac{m°}{2}$ （3）① 当OC在AM上,即OC在$∠ BOM$之间,设$∠ AOC=α°$,则$∠ AOB=∠ AOC-∠ BOC=α°-m°$,因为OD平分$∠ AOB$,OE平分$∠ AOC$,所以$∠ DOE=∠ AOD-∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC-\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}α°-\frac{1}{2}(α°-m°)=\frac{m°}{2}$;② 当OC在直线AM下方,且OC在$∠ MON$之间时,$∠ BOC=∠ AOC=m°$,$∠ DOE=∠ AOE-∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC+\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}∠ BOC=180°-\frac{m°}{2}$;③ 当OC在直线AM下方,且OC在$∠ AON$之间时,由②得,$∠ BOC=m°$,$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ AOC+\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{m°}{2}$.综上所述,$∠ DOE=\frac{m°}{2}$或$180°-\frac{m°}{2}$
解析：
【分析】
（1）要求∠DOE，观察图形可知∠DOE=∠AOD-∠AOE，已知OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线，根据角平分线定义，∠AOD是∠AOB的一半，∠AOE是∠AOC的一半，设∠AOC为未知数，结合∠BOC=90°表示出∠AOB，代入作差后未知数会抵消，即可求出∠DOE的度数。
（2）和第（1）问思路完全一致，仅将∠BOC的度数换成m°，按照相同的推导过程，消去所设的未知数即可得到结果。
（3）当OC在∠AOB外时，射线OC的位置有三种不同情况，需分类讨论：①OC在∠BOM内部；②OC在∠MON内部；③OC在∠AON内部。每种情况先确定对应的角的和差关系，再结合角平分线的性质推导∠DOE的大小，最后汇总所有情况的结果。
【解析】
（1）设$∠ AOC=α°$，则$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=α°+90°$
∵OD平分$∠ AOB$，OE平分$∠ AOC$
∴$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}(α°+90°)$，$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}α°$
∴$∠ DOE=∠ AOD-∠ AOE=\frac{1}{2}(α°+90°)-\frac{1}{2}α°=\frac{1}{2}×90°=45°$
（2）设$∠ AOC=α°$，则$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=α°+m°$
∵OD平分$∠ AOB$，OE平分$∠ AOC$
∴$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}(α°+m°)$，$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}α°$
∴$∠ DOE=∠ AOD-∠ AOE=\frac{1}{2}(α°+m°)-\frac{1}{2}α°=\frac{m°}{2}$
（3）分三种情况讨论：
① 当OC在$∠ BOM$之间（对应图①），设$∠ AOC=α°$，则$∠ AOB=∠ AOC-∠ BOC=α°-m°$
∵OD平分$∠ AOB$，OE平分$∠ AOC$
∴$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}α°$，$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}(α°-m°)$
∴$∠ DOE=∠ AOE-∠ AOD=\frac{1}{2}α°-\frac{1}{2}(α°-m°)=\frac{m°}{2}$
② 当OC在$∠ MON$之间（对应图②），此时$∠ BOC=m°$，$∠ AOB+∠ AOC=360°-∠ BOC=360°-m°$
∵OD平分$∠ AOB$，OE平分$∠ AOC$
∴$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB$，$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC$
∴$∠ DOE=∠ AOD+∠ AOE=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ AOC)=\frac{1}{2}(360°-m°)=180°-\frac{m°}{2}$
③ 当OC在$∠ AON$之间（对应图③），设$∠ AOC=α°$，则$∠ AOB=∠ BOC-∠ AOC=m°-α°$
∵OD平分$∠ AOB$，OE平分$∠ AOC$
∴$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}(m°-α°)$，$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}α°$
∴$∠ DOE=∠ AOD+∠ AOE=\frac{1}{2}(m°-α°)+\frac{1}{2}α°=\frac{m°}{2}$
综上可得$∠ DOE$的度数为$\frac{m°}{2}$或$180°-\frac{m°}{2}$。
【答案】
（1）$∠ DOE=45°$；（2）$\frac{m°}{2}$；（3）$∠ DOE=\frac{m°}{2}$或$180°-\frac{m°}{2}$，对应示意图：
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题从特殊角度到一般角度逐步探究，核心是利用角平分线的性质转化角的数量关系，第三问需要根据射线OC的不同位置分类讨论，解题时要注意结合图形分析角的和差关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）要求∠DOE，观察图形可知∠DOE=∠AOD-∠AOE，已知OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线，根据角平分线定义，∠AOD是∠AOB的一半，∠AOE是∠AOC的一半，设∠AOC为未知数，结合∠BOC=90°表示出∠AOB，代入作差后未知数会抵消，即可求出∠DOE的度数。
（2）和第（1）问思路完全一致，仅将∠BOC的度数换成m°，按照相同的推导过程，消去所设的未知数即可得到结果。
（3）当OC在∠AOB外时，射线OC的位置有三种不同情况，需分类讨论：①OC在∠BOM内部；②OC在∠MON内部；③OC在∠AON内部。每种情况先确定对应的角的和差关系，再结合角平分线的性质推导∠DOE的大小，最后汇总所有情况的结果。
【解析】
（1）设$∠ AOC=α°$，则$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=α°+90°$
∵OD平分$∠ AOB$，OE平分$∠ AOC$
∴$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}(α°+90°)$，$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}α°$
∴$∠ DOE=∠ AOD-∠ AOE=\frac{1}{2}(α°+90°)-\frac{1}{2}α°=\frac{1}{2}×90°=45°$
（2）设$∠ AOC=α°$，则$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=α°+m°$
∵OD平分$∠ AOB$，OE平分$∠ AOC$
∴$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}(α°+m°)$，$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}α°$
∴$∠ DOE=∠ AOD-∠ AOE=\frac{1}{2}(α°+m°)-\frac{1}{2}α°=\frac{m°}{2}$
（3）分三种情况讨论：
① 当OC在$∠ BOM$之间（对应图①），设$∠ AOC=α°$，则$∠ AOB=∠ AOC-∠ BOC=α°-m°$
∵OD平分$∠ AOB$，OE平分$∠ AOC$
∴$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}α°$，$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}(α°-m°)$
∴$∠ DOE=∠ AOE-∠ AOD=\frac{1}{2}α°-\frac{1}{2}(α°-m°)=\frac{m°}{2}$
② 当OC在$∠ MON$之间（对应图②），此时$∠ BOC=m°$，$∠ AOB+∠ AOC=360°-∠ BOC=360°-m°$
∵OD平分$∠ AOB$，OE平分$∠ AOC$
∴$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB$，$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC$
∴$∠ DOE=∠ AOD+∠ AOE=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ AOC)=\frac{1}{2}(360°-m°)=180°-\frac{m°}{2}$
③ 当OC在$∠ AON$之间（对应图③），设$∠ AOC=α°$，则$∠ AOB=∠ BOC-∠ AOC=m°-α°$
∵OD平分$∠ AOB$，OE平分$∠ AOC$
∴$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}(m°-α°)$，$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}α°$
∴$∠ DOE=∠ AOD+∠ AOE=\frac{1}{2}(m°-α°)+\frac{1}{2}α°=\frac{m°}{2}$
综上可得$∠ DOE$的度数为$\frac{m°}{2}$或$180°-\frac{m°}{2}$。
【答案】
（1）$∠ DOE=45°$；（2）$\frac{m°}{2}$；（3）$∠ DOE=\frac{m°}{2}$或$180°-\frac{m°}{2}$，对应示意图：
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题从特殊角度到一般角度逐步探究，核心是利用角平分线的性质转化角的数量关系，第三问需要根据射线OC的不同位置分类讨论，解题时要注意结合图形分析角的和差关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6