9. 已知直线AB，CD相交于点O，∠AOF=90°，OA平分∠EOC.
（1）如图①，若∠AOE=50°，则∠COF=
（2）如图②，若∠EOC=∠COF，则∠AOE=
（1）如图①，若∠AOE=50°，则∠COF=
40
°，∠BOD=50
°；（2）如图②，若∠EOC=∠COF，则∠AOE=
30
°，与∠AOE互补的角有∠AOD,∠BOC,∠BOE
.答案：9. (1) 40,50.提示:因为OA平分∠EOC,所以∠AOC=∠AOE=50°;因为∠AOF=90°,所以∠COF=∠AOF-∠AOC=90°-50°=40°.因为∠BOD与∠AOC是对顶角,所以,∠BOD=∠AOC=50° (2) 30;∠AOD,∠BOC,∠BOE.提示:因为OA平分∠EOC,所以∠AOC=∠AOE,∠EOC=2∠AOC;因为∠EOC=∠COF,所以∠COF=2∠AOC.因为∠AOF=∠AOC+∠COF=90°,所以3∠AOC=90°,∠AOC=30°,所以∠AOE=30°
解析：
【分析】
（1）解决第一问首先利用角平分线的定义，由OA平分∠EOC得出∠AOC与∠AOE相等，再结合∠AOF=90°，用∠AOF减去∠AOC即可求出∠COF的度数；最后根据对顶角相等的性质，由∠AOC的度数直接得到∠BOD的度数。
（2）解决第二问先设∠AOE为x，利用角平分线的性质表示出∠EOC，再结合∠EOC=∠COF得到∠COF的表达式，根据∠AOC+∠COF=∠AOF=90°列方程求解得到∠AOE的度数；找与∠AOE互补的角时，根据互补的定义，结合图中邻补角、对顶角的关系找出所有符合条件的角即可。
【解析】
（1）
∵OA平分∠EOC，∠AOE=50°
∴∠AOC=∠AOE=50°
∵∠AOF=90°
∴∠COF=∠AOF - ∠AOC=90° - 50°=40°
∵直线AB、CD相交于点O，∠BOD与∠AOC是对顶角
∴∠BOD=∠AOC=50°
（2）设∠AOE=x
∵OA平分∠EOC
∴∠AOC=∠AOE=x，∠EOC=2∠AOE=2x
∵∠EOC=∠COF
∴∠COF=2x
∵∠AOF=∠AOC + ∠COF=90°
∴x + 2x=90°，解得x=30°，即∠AOE=30°
根据互补角定义：和为180°的两个角互为补角
∠AOE+∠BOE=180°，故∠BOE与∠AOE互补；
∠AOC+∠BOC=180°，∠AOE=∠AOC，故∠BOC与∠AOE互补；
∠BOC与∠AOD是对顶角，∠AOD=∠BOC，故∠AOD与∠AOE互补；
因此与∠AOE互补的角有∠AOD、∠BOC、∠BOE。
【答案】
（1）40，50；
（2）30；∠AOD、∠BOC、∠BOE
【知识点】
角平分线的定义；对顶角的性质；补角的定义
【点评】
本题是相交线中角的计算基础题，解题的关键是理清图中角的和差关系，灵活运用角平分线、对顶角、互补角的性质进行推导，计算时注意不要混淆各个角的位置关系。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问首先利用角平分线的定义，由OA平分∠EOC得出∠AOC与∠AOE相等，再结合∠AOF=90°，用∠AOF减去∠AOC即可求出∠COF的度数；最后根据对顶角相等的性质，由∠AOC的度数直接得到∠BOD的度数。
（2）解决第二问先设∠AOE为x，利用角平分线的性质表示出∠EOC，再结合∠EOC=∠COF得到∠COF的表达式，根据∠AOC+∠COF=∠AOF=90°列方程求解得到∠AOE的度数；找与∠AOE互补的角时，根据互补的定义，结合图中邻补角、对顶角的关系找出所有符合条件的角即可。
【解析】
（1）
∵OA平分∠EOC，∠AOE=50°
∴∠AOC=∠AOE=50°
∵∠AOF=90°
∴∠COF=∠AOF - ∠AOC=90° - 50°=40°
∵直线AB、CD相交于点O，∠BOD与∠AOC是对顶角
∴∠BOD=∠AOC=50°
（2）设∠AOE=x
∵OA平分∠EOC
∴∠AOC=∠AOE=x，∠EOC=2∠AOE=2x
∵∠EOC=∠COF
∴∠COF=2x
∵∠AOF=∠AOC + ∠COF=90°
∴x + 2x=90°，解得x=30°，即∠AOE=30°
根据互补角定义：和为180°的两个角互为补角
∠AOE+∠BOE=180°，故∠BOE与∠AOE互补；
∠AOC+∠BOC=180°，∠AOE=∠AOC，故∠BOC与∠AOE互补；
∠BOC与∠AOD是对顶角，∠AOD=∠BOC，故∠AOD与∠AOE互补；
因此与∠AOE互补的角有∠AOD、∠BOC、∠BOE。
【答案】
（1）40，50；
（2）30；∠AOD、∠BOC、∠BOE
【知识点】
角平分线的定义；对顶角的性质；补角的定义
【点评】
本题是相交线中角的计算基础题，解题的关键是理清图中角的和差关系，灵活运用角平分线、对顶角、互补角的性质进行推导，计算时注意不要混淆各个角的位置关系。
【难度系数】
0.8
10. 如图，直线AB，CD相交于点O，ON把∠AOD分成两个角，且∠AON与∠NOD的度数之比是2：3，∠BOC=75°.
（1）求∠AON的大小.
（2）如果OM平分∠BON，那么OB是∠COM的平分线吗？试说明理由.
（1）求∠AON的大小.
（2）如果OM平分∠BON，那么OB是∠COM的平分线吗？试说明理由.
答案：10. (1) 因为∠AOD与∠BOC为对顶角,且∠BOC=75°;所以∠AOD=75°,又因为∠AOD=∠AON+∠NOD,∠AON:∠NOD=2:3,所以∠AON=30° (2) OB是∠COM的角平分线.因为∠AON=30°,所以∠BON=180°-∠AON=180°-30°=150°.又因为OM平分∠BON,所以∠BOM=$\frac{1}{2}$∠BON=75°.所以∠BOC=∠BOM,所以OB是∠COM的角平分线
解析：
【分析】
（1）求解第一问时，首先利用对顶角相等的性质，得到与已知∠BOC相等的∠AOD的度数，再结合∠AON和∠NOD的度数比例，按比例分配即可算出∠AON的度数。
（2）求解第二问时，要判断OB是不是∠COM的平分线，只需验证∠BOC和∠BOM是否度数相等即可。先根据平角为180°求出∠BON的度数，再利用角平分线的定义算出∠BOM的度数，将其与∠BOC的度数对比即可得出结论。
【解析】
（1）
∵直线AB、CD相交于点O，∠AOD与∠BOC互为对顶角，
∴∠AOD=∠BOC=75°，
∵∠AON:∠NOD=2:3，且∠AOD=∠AON+∠NOD，
∴$∠ AON=75°× \frac{2}{2+3}=30°$。
（2）OB是∠COM的平分线，理由如下：
∵∠AON=30°，∠AON与∠BON组成平角，
∴$∠ BON=180°-∠ AON=180°-30°=150°$，
∵OM平分∠BON，
∴$∠ BOM=\frac{1}{2}∠ BON=\frac{1}{2}× 150°=75°$，
又
∵∠BOC=75°，
∴∠BOC=∠BOM，因此OB是∠COM的角平分线。
【答案】
（1）$∠ AON=30°$
（2）OB是∠COM的平分线，理由见解析。
【知识点】
对顶角相等；角平分线定义；角度和差计算
【点评】
本题属于相交线相关的基础题，主要考查对顶角性质、角平分线的判定以及角度的和差运算，解题的核心是梳理清楚图形中各个角的数量关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
（1）求解第一问时，首先利用对顶角相等的性质，得到与已知∠BOC相等的∠AOD的度数，再结合∠AON和∠NOD的度数比例，按比例分配即可算出∠AON的度数。
（2）求解第二问时，要判断OB是不是∠COM的平分线，只需验证∠BOC和∠BOM是否度数相等即可。先根据平角为180°求出∠BON的度数，再利用角平分线的定义算出∠BOM的度数，将其与∠BOC的度数对比即可得出结论。
【解析】
（1）
∵直线AB、CD相交于点O，∠AOD与∠BOC互为对顶角，
∴∠AOD=∠BOC=75°，
∵∠AON:∠NOD=2:3，且∠AOD=∠AON+∠NOD，
∴$∠ AON=75°× \frac{2}{2+3}=30°$。
（2）OB是∠COM的平分线，理由如下：
∵∠AON=30°，∠AON与∠BON组成平角，
∴$∠ BON=180°-∠ AON=180°-30°=150°$，
∵OM平分∠BON，
∴$∠ BOM=\frac{1}{2}∠ BON=\frac{1}{2}× 150°=75°$，
又
∵∠BOC=75°，
∴∠BOC=∠BOM，因此OB是∠COM的角平分线。
【答案】
（1）$∠ AON=30°$
（2）OB是∠COM的平分线，理由见解析。
【知识点】
对顶角相等；角平分线定义；角度和差计算
【点评】
本题属于相交线相关的基础题，主要考查对顶角性质、角平分线的判定以及角度的和差运算，解题的核心是梳理清楚图形中各个角的数量关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
11. 如图，直线EF与MN相交于点O，$∠ MOE=30°$，将三角板的直角顶点与点O重合，直角边OA与MN重合，OB在$∠ NOE$内部. 操作：将三角板绕点O以$3°/\mathrm{s}$的速度按顺时针方向旋转一周，设运动时间为$t$ s.
（1）当$t$为何值时，直角边OB恰好平分$∠ NOE$？此时OA是否平分$∠ MOE$？
（2）若在三角板转动的同时，直线EF也以$9°/\mathrm{s}$的速度绕点O按顺时针方向旋转一周，当一方先旋转完一周时，另一方同时停止转动.
① 当$t$为何值时，EF平分$∠ AOB$？
② EF能否平分$∠ NOB$？若能，请直接写出$t$的值；若不能，请说明理由.
（1）当$t$为何值时，直角边OB恰好平分$∠ NOE$？此时OA是否平分$∠ MOE$？
（2）若在三角板转动的同时，直线EF也以$9°/\mathrm{s}$的速度绕点O按顺时针方向旋转一周，当一方先旋转完一周时，另一方同时停止转动.
① 当$t$为何值时，EF平分$∠ AOB$？
② EF能否平分$∠ NOB$？若能，请直接写出$t$的值；若不能，请说明理由.
答案：11. (1) 当直角边OB恰好平分∠NOE时,∠NOB=$\frac{1}{2}$∠NOE=$\frac{1}{2}$(180°-30°)=75°,所以90°-3°·t=75°,解得t=5.此时∠MOA=3°×5=15°=$\frac{1}{2}$∠MOE,所以此时OA平分∠MOE (2) ① OE平分∠AOB,依题意有30+9t-3t=90÷2,解得t=2.5;OF平分∠AOB,依题意有30+9t-3t=180+90÷2,解得t=32.5.综上所述,当t为2.5或32.5时,EF平分∠AOB ② OB在MN上面,依题意有180-30-9t=(90-3t)÷2,解得t=14;OB在MN下面,依题意有9t-(360-30)=(3t-90)÷2,解得t=38.综上所述,EF能平分∠NOB,t为14或38
解析：
【分析】
(1) 先根据平角定义求出初始∠NOE的度数，结合角平分线定义得到OB平分∠NOE时∠NOB的度数；再根据三角板的旋转速度，用含t的式子表示旋转后∠NOB的大小，列方程求解t，再验证此时∠MOA是否等于∠MOE的一半即可。
(2) ① EF也同步旋转，需分两种情况：OE平分∠AOB、OF平分∠AOB，分别用含t的式子表示∠AOE的度数，结合平分时对应的角度大小列方程求解。
② 分OB在MN上方、OB在MN下方两种情况，根据EF平分∠NOB的等量关系列方程，判断是否存在符合要求的t值即可。
【解析】
(1) 已知初始∠MOE=30°，则$∠ NOE=180°-∠ MOE=180°-30°=150°$。
若OB平分∠NOE，则$∠ NOB=\frac{1}{2}∠ NOE=\frac{1}{2}×150°=75°$。
三角板顺时针旋转速度为$3°/\mathrm{s}$，初始时∠AOB=90°且OA与MN重合，即初始∠NOB=90°，旋转t秒后$∠ NOB=90°-3°· t$，列方程：
$90-3t=75$
解得$t=5$。
此时$∠ MOA=3°×5=15°=\frac{1}{2}×30°=\frac{1}{2}∠ MOE$，因此OA平分∠MOE。
(2) ① EF顺时针旋转速度为$9°/\mathrm{s}$，分两种情况讨论：
当OE平分∠AOB时，$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOB=45°$。t秒后$∠ MOE=30°+9°· t$，$∠ MOA=3°· t$，因此$∠ AOE=(30+9t)-3t$，列方程：
$30+9t-3t=45$
解得$t=2.5$。
当OF平分∠AOB时，$∠ AOF=\frac{1}{2}∠ AOB=45°$，此时$∠ AOE=180°+45°=225°$，列方程：
$30+9t-3t=225$
解得$t=32.5$。
② EF能平分∠NOB，分两种情况讨论：
当OB在MN上方时，列方程：$180-30-9t=\frac{90-3t}{2}$，解得$t=14$。
当OB在MN下方时，列方程：$9t-(360-30)=\frac{3t-90}{2}$，解得$t=38$。
【答案】
(1) $t=5$，此时OA平分$∠ MOE$；
(2) ① $t$为$2.5$或$32.5$；② 能，$t$的值为$14$或$38$。
【知识点】
角平分线定义，角的和差计算，动态角问题
【点评】
本题结合旋转运动考查角度的计算，解题时需要根据运动速度和方向，用含t的代数式表示各角的大小，同时要注意分类讨论不同的位置情况，避免漏解，体现了方程思想和分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.5
(1) 先根据平角定义求出初始∠NOE的度数，结合角平分线定义得到OB平分∠NOE时∠NOB的度数；再根据三角板的旋转速度，用含t的式子表示旋转后∠NOB的大小，列方程求解t，再验证此时∠MOA是否等于∠MOE的一半即可。
(2) ① EF也同步旋转，需分两种情况：OE平分∠AOB、OF平分∠AOB，分别用含t的式子表示∠AOE的度数，结合平分时对应的角度大小列方程求解。
② 分OB在MN上方、OB在MN下方两种情况，根据EF平分∠NOB的等量关系列方程，判断是否存在符合要求的t值即可。
【解析】
(1) 已知初始∠MOE=30°，则$∠ NOE=180°-∠ MOE=180°-30°=150°$。
若OB平分∠NOE，则$∠ NOB=\frac{1}{2}∠ NOE=\frac{1}{2}×150°=75°$。
三角板顺时针旋转速度为$3°/\mathrm{s}$，初始时∠AOB=90°且OA与MN重合，即初始∠NOB=90°，旋转t秒后$∠ NOB=90°-3°· t$，列方程：
$90-3t=75$
解得$t=5$。
此时$∠ MOA=3°×5=15°=\frac{1}{2}×30°=\frac{1}{2}∠ MOE$，因此OA平分∠MOE。
(2) ① EF顺时针旋转速度为$9°/\mathrm{s}$，分两种情况讨论：
当OE平分∠AOB时，$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOB=45°$。t秒后$∠ MOE=30°+9°· t$，$∠ MOA=3°· t$，因此$∠ AOE=(30+9t)-3t$，列方程：
$30+9t-3t=45$
解得$t=2.5$。
当OF平分∠AOB时，$∠ AOF=\frac{1}{2}∠ AOB=45°$，此时$∠ AOE=180°+45°=225°$，列方程：
$30+9t-3t=225$
解得$t=32.5$。
② EF能平分∠NOB，分两种情况讨论：
当OB在MN上方时，列方程：$180-30-9t=\frac{90-3t}{2}$，解得$t=14$。
当OB在MN下方时，列方程：$9t-(360-30)=\frac{3t-90}{2}$，解得$t=38$。
【答案】
(1) $t=5$，此时OA平分$∠ MOE$；
(2) ① $t$为$2.5$或$32.5$；② 能，$t$的值为$14$或$38$。
【知识点】
角平分线定义，角的和差计算，动态角问题
【点评】
本题结合旋转运动考查角度的计算，解题时需要根据运动速度和方向，用含t的代数式表示各角的大小，同时要注意分类讨论不同的位置情况，避免漏解，体现了方程思想和分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.5