9. 在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD的大小是
60°或120°
。答案：9. 60°或120°
解析：
【分析】
本题未明确射线OC、OD与直线AB的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①射线OC、OD在直线AB的同侧；②射线OC、OD在直线AB的异侧。解题时结合垂直的定义（夹角为90°）和平角为180°的性质，分别计算两种情况下∠BOD的度数即可，注意避免漏解。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当射线OC、OD在直线AB的同侧时：
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD=90°
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB=180°
已知∠AOC=30°，则∠BOD=∠AOB - ∠AOC - ∠COD=180°-30°-90°=60°
2. 当射线OC、OD在直线AB的异侧时：
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD=90°
已知∠AOC=30°，则∠AOD=∠COD - ∠AOC=90°-30°=60°
∵ ∠AOB=180°，
∴ ∠BOD=∠AOB - ∠AOD=180°-60°=120°
综上，∠BOD的大小是60°或120°。
【答案】
60°或120°
【知识点】
垂线的定义；平角的定义；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略射线位置的不确定性，只考虑一种情况导致漏解，解题时遇到未明确图形位置的几何题，要先梳理所有可能的位置情况，再结合已知几何性质分步计算角度。
【难度系数】
0.6
本题未明确射线OC、OD与直线AB的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①射线OC、OD在直线AB的同侧；②射线OC、OD在直线AB的异侧。解题时结合垂直的定义（夹角为90°）和平角为180°的性质，分别计算两种情况下∠BOD的度数即可，注意避免漏解。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当射线OC、OD在直线AB的同侧时：
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD=90°
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB=180°
已知∠AOC=30°，则∠BOD=∠AOB - ∠AOC - ∠COD=180°-30°-90°=60°
2. 当射线OC、OD在直线AB的异侧时：
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD=90°
已知∠AOC=30°，则∠AOD=∠COD - ∠AOC=90°-30°=60°
∵ ∠AOB=180°，
∴ ∠BOD=∠AOB - ∠AOD=180°-60°=120°
综上，∠BOD的大小是60°或120°。
【答案】
60°或120°
【知识点】
垂线的定义；平角的定义；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略射线位置的不确定性，只考虑一种情况导致漏解，解题时遇到未明确图形位置的几何题，要先梳理所有可能的位置情况，再结合已知几何性质分步计算角度。
【难度系数】
0.6
10. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1.（请利用网格作图，画出的线请用铅笔描粗描黑）
（1）过点C画AB的垂线，垂足为E；
（2）连接AC，BC，则三角形ABC的面积为
（1）过点C画AB的垂线，垂足为E；
（2）连接AC，BC，则三角形ABC的面积为
9.5
。答案：
10.（1）如图所示，点E即为所求
（2）9.5
10.（1）如图所示，点E即为所求
（2）9.5解析：
【分析】
（1）过点C作AB的垂线：先观察AB在网格中的走向，AB每向右延伸6格，竖直方向下降1格，结合网格格点特征，找到过点C且与AB倾斜方向垂直的格点连线，这条线与AB的交点就是垂足E。
（2）求△ABC的面积：网格中计算三角形面积常用割补法，我们先找一个能完全包围△ABC的矩形，算出矩形的总面积，再减去矩形内除△ABC外的其余三个直角三角形的面积，就能得到△ABC的面积。
【解析】
（1）结合网格格点特征，过C画出与AB垂直的直线，与AB交于点E，作图结果符合要求。
（2）用割补法计算面积：
第一步，选取包围△ABC的矩形，该矩形长为7、宽为3，矩形面积 = 7×3 = 21；
第二步，计算矩形内三个多余直角三角形的面积：
第一个直角三角形底为6、高为1，面积 = $\frac{1}{2}×6×1=3$；
第二个直角三角形底为1、高为3，面积 = $\frac{1}{2}×1×3=1.5$；
第三个直角三角形底为7、高为2，面积 = $\frac{1}{2}×7×2=7$；
第三步，△ABC的面积 = 矩形面积 - 三个直角三角形面积和 = $21 - (3+1.5+7) = 9.5$。
【答案】
（1）如图所示，点E即为所求
（2）9.5
【知识点】
垂线的作法、割补法求面积、三角形面积计算
【点评】
本题结合网格考查了基础作图和面积计算，作图时要利用网格格点的特征快速定位垂线，面积计算选用割补法可简化计算过程，是相交线章节的常规基础题。
【难度系数】
0.75
（1）过点C作AB的垂线：先观察AB在网格中的走向，AB每向右延伸6格，竖直方向下降1格，结合网格格点特征，找到过点C且与AB倾斜方向垂直的格点连线，这条线与AB的交点就是垂足E。
（2）求△ABC的面积：网格中计算三角形面积常用割补法，我们先找一个能完全包围△ABC的矩形，算出矩形的总面积，再减去矩形内除△ABC外的其余三个直角三角形的面积，就能得到△ABC的面积。
【解析】
（1）结合网格格点特征，过C画出与AB垂直的直线，与AB交于点E，作图结果符合要求。
（2）用割补法计算面积：
第一步，选取包围△ABC的矩形，该矩形长为7、宽为3，矩形面积 = 7×3 = 21；
第二步，计算矩形内三个多余直角三角形的面积：
第一个直角三角形底为6、高为1，面积 = $\frac{1}{2}×6×1=3$；
第二个直角三角形底为1、高为3，面积 = $\frac{1}{2}×1×3=1.5$；
第三个直角三角形底为7、高为2，面积 = $\frac{1}{2}×7×2=7$；
第三步，△ABC的面积 = 矩形面积 - 三个直角三角形面积和 = $21 - (3+1.5+7) = 9.5$。
【答案】
（1）如图所示，点E即为所求
（2）9.5
【知识点】
垂线的作法、割补法求面积、三角形面积计算
【点评】
本题结合网格考查了基础作图和面积计算，作图时要利用网格格点的特征快速定位垂线，面积计算选用割补法可简化计算过程，是相交线章节的常规基础题。
【难度系数】
0.75
11. 如图，直线AB与CD相交于点O，OM⊥AB.
(1) 若∠1=∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；
(2) 若∠1=$\frac{1}{4}$∠BOC，求∠BOD的大小.
(1) 若∠1=∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；
(2) 若∠1=$\frac{1}{4}$∠BOC，求∠BOD的大小.
答案：11. (1) $ON⊥ CD$. 因为$OM⊥ AB$,所以$∠ AOM=90°$,$∠ 1+∠ AOC=90°$;因为$∠ 1=∠ 2$,所以$∠ 2+∠ AOC=90°$,$∠ NOC=90°$,所以$ON⊥ CD$ (2) $∠ BOD=60°$. 因为$OM⊥ AB$,所以$∠ BOM=90°$,所以$∠ BOC=∠ BOM+∠ 1=90°+∠ 1$,又因为$∠ 1=\frac{1}{4}∠ BOC$,所以$∠ 1=30°$,$∠ BOC=120°$,所以$∠ BOD=180°-∠ BOC=180°-120°=60°$
解析：
【分析】
（1）判断ON与CD的位置关系可通过证明二者夹角为90°推导：首先由OM⊥AB得到∠AOM=90°，即∠1与∠AOC互余，再结合已知∠1=∠2，等量代换可得∠2与∠AOC互余，即∠CON=90°，即可得到ON与CD的位置关系。
（2）求∠BOD的度数可先推导∠BOC的度数：由OM⊥AB可知∠BOM=90°，因此∠BOC=90°+∠1，结合∠1=$\frac{1}{4}$∠BOC的条件即可求出∠1的度数，再利用邻补角和为180°的性质，即可求出∠BOD的大小。
【解析】
(1) $ON⊥ CD$，理由如下：
因为$OM⊥ AB$，根据垂直的定义得$∠ AOM=90°$，所以$∠ 1+∠ AOC=90°$；
又因为$∠ 1=∠ 2$，等量代换得$∠ 2+∠ AOC=90°$，即$∠ NOC=90°$，根据垂直的定义可知$ON⊥ CD$。
(2) 因为$OM⊥ AB$，根据垂直的定义得$∠ BOM=90°$，所以$∠ BOC=∠ BOM+∠ 1=90°+∠ 1$；
又因为$∠ 1=\frac{1}{4}∠ BOC$，代入得$∠1=\frac{1}{4}(90°+∠1)$，计算得$3∠1=90°$，即$∠ 1=30°$，因此$∠ BOC=120°$；
因为∠BOD与∠BOC互为邻补角，所以$∠ BOD=180°-∠ BOC=180°-120°=60°$。
【答案】
(1) $ON⊥CD$；(2) $∠BOD=60°$
【知识点】
垂直的定义，邻补角的性质，角度计算
【点评】
本题属于相交线相关的基础题，解题的关键是结合图形理清角与角的数量关系，熟练运用垂直的定义、邻补角性质以及等量代换的方法进行推理运算即可。
【难度系数】
0.7
（1）判断ON与CD的位置关系可通过证明二者夹角为90°推导：首先由OM⊥AB得到∠AOM=90°，即∠1与∠AOC互余，再结合已知∠1=∠2，等量代换可得∠2与∠AOC互余，即∠CON=90°，即可得到ON与CD的位置关系。
（2）求∠BOD的度数可先推导∠BOC的度数：由OM⊥AB可知∠BOM=90°，因此∠BOC=90°+∠1，结合∠1=$\frac{1}{4}$∠BOC的条件即可求出∠1的度数，再利用邻补角和为180°的性质，即可求出∠BOD的大小。
【解析】
(1) $ON⊥ CD$，理由如下：
因为$OM⊥ AB$，根据垂直的定义得$∠ AOM=90°$，所以$∠ 1+∠ AOC=90°$；
又因为$∠ 1=∠ 2$，等量代换得$∠ 2+∠ AOC=90°$，即$∠ NOC=90°$，根据垂直的定义可知$ON⊥ CD$。
(2) 因为$OM⊥ AB$，根据垂直的定义得$∠ BOM=90°$，所以$∠ BOC=∠ BOM+∠ 1=90°+∠ 1$；
又因为$∠ 1=\frac{1}{4}∠ BOC$，代入得$∠1=\frac{1}{4}(90°+∠1)$，计算得$3∠1=90°$，即$∠ 1=30°$，因此$∠ BOC=120°$；
因为∠BOD与∠BOC互为邻补角，所以$∠ BOD=180°-∠ BOC=180°-120°=60°$。
【答案】
(1) $ON⊥CD$；(2) $∠BOD=60°$
【知识点】
垂直的定义，邻补角的性质，角度计算
【点评】
本题属于相交线相关的基础题，解题的关键是结合图形理清角与角的数量关系，熟练运用垂直的定义、邻补角性质以及等量代换的方法进行推理运算即可。
【难度系数】
0.7
12. 如图，已知$OE⊥ AB$，垂足为$O$，直线$CD$经过点$O$.
（1）若$∠ AOD=35°$，求$∠ COE$的大小；
（2）若$∠ BOC=\frac{2}{3}∠ COE$，求$∠ DOE$的大小；
（3）在（2）的条件下，过点$O$作$OF⊥ CD$，则$∠ EOF=$
（1）若$∠ AOD=35°$，求$∠ COE$的大小；
（2）若$∠ BOC=\frac{2}{3}∠ COE$，求$∠ DOE$的大小；
（3）在（2）的条件下，过点$O$作$OF⊥ CD$，则$∠ EOF=$
36°或144°
.（直接写出答案）答案：12. （1）因为$∠ AOD$与$∠ BOC$是对顶角，且$∠ AOD=35°$,所以$∠ BOC=∠ AOD=35°$. 因为$OE⊥ AB$,所以$∠ BOE=90°$,所以$∠ COE=∠ BOE-∠ BOC=90°-35°=55°$ （2）因为$∠ BOC=\frac{2}{3}∠ COE$,且$∠ BOC+∠ COE=∠ BOE=90°$,所以$∠ COE=54°$. 所以$∠ DOE=180°-∠ COE=180°-54°=126°$ （3）$36°$或$144°$
解析：
【分析】
（1）先观察角的位置关系，∠AOD和∠BOC是对顶角，根据对顶角相等可得到∠BOC的度数；再结合OE⊥AB的条件可知∠BOE为90°，用∠BOE减去∠BOC就能求出∠COE的度数。
（2）已知∠BOC和∠COE的数量关系，且二者的和等于直角∠BOE的90°，代入数量关系可先求出∠COE的度数，再根据∠DOE和∠COE互为邻补角、和为180°，即可求出∠DOE的大小。
（3）作OF⊥CD时，OF有两种可能的位置，分别是在∠BOE一侧和∠AOE一侧，需要分类讨论结合垂直的性质计算∠EOF的大小，避免漏解。
【解析】
（1）
∵ ∠AOD与∠BOC是对顶角，∠AOD=35°
∴ ∠BOC=∠AOD=35°
∵ OE⊥AB，垂足为O
∴ ∠BOE=90°
∴ ∠COE=∠BOE - ∠BOC=90°-35°=55°
（2）设∠COE=x，由题意得∠BOC=$\frac{2}{3}$x
∵ ∠BOC + ∠COE=∠BOE=90°
∴ $\frac{2}{3}x + x=90°$，解得x=54°，即∠COE=54°
∵ ∠DOE与∠COE互为邻补角
∴ ∠DOE=180°-∠COE=180°-54°=126°
（3）分两种情况计算：
①当OF在∠BOE内部时，
∵ OF⊥CD，
∴ ∠COF=90°，则∠EOF=∠COF-∠COE=90°-54°=36°
②当OF在∠AOD一侧时，∠EOF=360°-90°-126°=144°
【答案】
（1）$\boldsymbol{55°}$；（2）$\boldsymbol{126°}$；（3）$\boldsymbol{36°}$或$\boldsymbol{144°}$
【知识点】
对顶角的性质，垂直的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是相交线性质的基础综合题，前两问考查对顶角、垂直、邻补角的常规应用，找准角的位置和数量关系即可求解；第三问需要考虑垂线的两种位置，易错点是漏写其中一个结果，解题时要注意分类讨论。
【难度系数】
0.7
（1）先观察角的位置关系，∠AOD和∠BOC是对顶角，根据对顶角相等可得到∠BOC的度数；再结合OE⊥AB的条件可知∠BOE为90°，用∠BOE减去∠BOC就能求出∠COE的度数。
（2）已知∠BOC和∠COE的数量关系，且二者的和等于直角∠BOE的90°，代入数量关系可先求出∠COE的度数，再根据∠DOE和∠COE互为邻补角、和为180°，即可求出∠DOE的大小。
（3）作OF⊥CD时，OF有两种可能的位置，分别是在∠BOE一侧和∠AOE一侧，需要分类讨论结合垂直的性质计算∠EOF的大小，避免漏解。
【解析】
（1）
∵ ∠AOD与∠BOC是对顶角，∠AOD=35°
∴ ∠BOC=∠AOD=35°
∵ OE⊥AB，垂足为O
∴ ∠BOE=90°
∴ ∠COE=∠BOE - ∠BOC=90°-35°=55°
（2）设∠COE=x，由题意得∠BOC=$\frac{2}{3}$x
∵ ∠BOC + ∠COE=∠BOE=90°
∴ $\frac{2}{3}x + x=90°$，解得x=54°，即∠COE=54°
∵ ∠DOE与∠COE互为邻补角
∴ ∠DOE=180°-∠COE=180°-54°=126°
（3）分两种情况计算：
①当OF在∠BOE内部时，
∵ OF⊥CD，
∴ ∠COF=90°，则∠EOF=∠COF-∠COE=90°-54°=36°
②当OF在∠AOD一侧时，∠EOF=360°-90°-126°=144°
【答案】
（1）$\boldsymbol{55°}$；（2）$\boldsymbol{126°}$；（3）$\boldsymbol{36°}$或$\boldsymbol{144°}$
【知识点】
对顶角的性质，垂直的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是相交线性质的基础综合题，前两问考查对顶角、垂直、邻补角的常规应用，找准角的位置和数量关系即可求解；第三问需要考虑垂线的两种位置，易错点是漏写其中一个结果，解题时要注意分类讨论。
【难度系数】
0.7