5. 如图，AB是$\odot O$的直径，D，E为$\odot O$上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得$CD=BD$，连接AC交$\odot O$于点F，连接AE，DE，
（1）证明：$∠ E=∠ C$；
（2）若$∠ E=55°$，求$∠ BDF$的度数。
（1）证明：$∠ E=∠ C$；
（2）若$∠ E=55°$，求$∠ BDF$的度数。
答案：
5. (1) 证明:如图,连接AD.
$\because$ AB 是 $\odot O$ 的直径，
$\therefore ∠ ADB = 90°$, 即 $AD ⊥ BC$. $\because CD = BD,\therefore AD$ 垂直平分 $BC$, $\therefore AB = AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C$. 又$\because ∠ B=∠ E,\therefore ∠ E=∠ C$.
(2) 解:$\because$ 四边形 AEDF 是$\odot O$ 的内接四边形，
$\therefore ∠ AFD=180° - ∠ E$. 又$\because ∠ AFD=180° - ∠ CFD$,
$\therefore ∠ CFD = ∠ E = 55°$. 又 $\because ∠ C = ∠ E = 55°$,
$\therefore ∠ BDF=∠ C+∠ CFD=110°$.
5. (1) 证明:如图,连接AD.
$\because$ AB 是 $\odot O$ 的直径，
$\therefore ∠ ADB = 90°$, 即 $AD ⊥ BC$. $\because CD = BD,\therefore AD$ 垂直平分 $BC$, $\therefore AB = AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C$. 又$\because ∠ B=∠ E,\therefore ∠ E=∠ C$.
(2) 解:$\because$ 四边形 AEDF 是$\odot O$ 的内接四边形，
$\therefore ∠ AFD=180° - ∠ E$. 又$\because ∠ AFD=180° - ∠ CFD$,
$\therefore ∠ CFD = ∠ E = 55°$. 又 $\because ∠ C = ∠ E = 55°$,
$\therefore ∠ BDF=∠ C+∠ CFD=110°$.
解析：
【分析】
（1）要证明∠E=∠C，可通过中间角∠B等量代换推导：首先看到AB是圆的直径，优先联想到直径所对的圆周角是直角，可得AD⊥BC；结合CD=BD的条件，可知AD是BC的垂直平分线，由此推出AB=AC，根据等腰三角形底角相等得∠B=∠C；再根据同弧所对的圆周角相等，可得∠B=∠E，代换后即可证得结论。
（2）求∠BDF的度数时，首先观察到∠BDF是△CDF的外角，等于∠C+∠CFD；由第一问结论已知∠C=∠E=55°，再利用圆内接四边形对角互补的性质，可推出∠CFD=∠E=55°，代入外角公式即可计算出结果。
【解析】
（1）证明：如图，连接AD。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BC$。
∵$CD=BD$，
∴AD垂直平分BC，
∴$AB=AC$，
∴$∠ B=∠ C$。
又
∵$∠ B$和$∠ E$都是弧AD所对的圆周角，
∴$∠ B=∠ E$，
∴$∠ E=∠ C$。
（2）解：
∵四边形AEDF是$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ AFD+∠ E=180°$，
又
∵$∠ AFD+∠ CFD=180°$，
∴$∠ CFD=∠ E=55°$。
由（1）可知$∠ C=∠ E=55°$，
∵$∠ BDF$是$△ CDF$的外角，
∴$∠ BDF=∠ C+∠ CFD=55°+55°=110°$。
【答案】
(1) 证明:如图,连接AD.
$\because$ AB 是 $\odot O$ 的直径，
$\therefore ∠ ADB = 90°$, 即 $AD ⊥ BC$. $\because CD = BD,\therefore AD$ 垂直平分 $BC$, $\therefore AB = AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C$. 又$\because ∠ B=∠ E,\therefore ∠ E=∠ C$.
(2) 解:$\because$ 四边形 AEDF 是$\odot O$ 的内接四边形，
$\therefore ∠ AFD=180° - ∠ E$. 又$\because ∠ AFD=180° - ∠ CFD$,
$\therefore ∠ CFD = ∠ E = 55°$. 又 $\because ∠ C = ∠ E = 55°$,
$\therefore ∠ BDF=∠ C+∠ CFD=110°$.
【知识点】
直径所对圆周角为直角；同弧所对圆周角相等；圆内接四边形性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础综合题，解题核心是合理添加辅助线AD，结合直径、圆周角、圆内接四边形的性质，联动等腰三角形、三角形外角的知识点逐步推导，解题思路清晰，是巩固圆基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.7
（1）要证明∠E=∠C，可通过中间角∠B等量代换推导：首先看到AB是圆的直径，优先联想到直径所对的圆周角是直角，可得AD⊥BC；结合CD=BD的条件，可知AD是BC的垂直平分线，由此推出AB=AC，根据等腰三角形底角相等得∠B=∠C；再根据同弧所对的圆周角相等，可得∠B=∠E，代换后即可证得结论。
（2）求∠BDF的度数时，首先观察到∠BDF是△CDF的外角，等于∠C+∠CFD；由第一问结论已知∠C=∠E=55°，再利用圆内接四边形对角互补的性质，可推出∠CFD=∠E=55°，代入外角公式即可计算出结果。
【解析】
（1）证明：如图，连接AD。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BC$。
∵$CD=BD$，
∴AD垂直平分BC，
∴$AB=AC$，
∴$∠ B=∠ C$。
又
∵$∠ B$和$∠ E$都是弧AD所对的圆周角，
∴$∠ B=∠ E$，
∴$∠ E=∠ C$。
（2）解：
∵四边形AEDF是$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ AFD+∠ E=180°$，
又
∵$∠ AFD+∠ CFD=180°$，
∴$∠ CFD=∠ E=55°$。
由（1）可知$∠ C=∠ E=55°$，
∵$∠ BDF$是$△ CDF$的外角，
∴$∠ BDF=∠ C+∠ CFD=55°+55°=110°$。
【答案】
(1) 证明:如图,连接AD.
$\because$ AB 是 $\odot O$ 的直径，
$\therefore ∠ ADB = 90°$, 即 $AD ⊥ BC$. $\because CD = BD,\therefore AD$ 垂直平分 $BC$, $\therefore AB = AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C$. 又$\because ∠ B=∠ E,\therefore ∠ E=∠ C$.
(2) 解:$\because$ 四边形 AEDF 是$\odot O$ 的内接四边形，
$\therefore ∠ AFD=180° - ∠ E$. 又$\because ∠ AFD=180° - ∠ CFD$,
$\therefore ∠ CFD = ∠ E = 55°$. 又 $\because ∠ C = ∠ E = 55°$,
$\therefore ∠ BDF=∠ C+∠ CFD=110°$.
【知识点】
直径所对圆周角为直角；同弧所对圆周角相等；圆内接四边形性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础综合题，解题核心是合理添加辅助线AD，结合直径、圆周角、圆内接四边形的性质，联动等腰三角形、三角形外角的知识点逐步推导，解题思路清晰，是巩固圆基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.7
如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，P是$\overset{\frown}{BC}$上一点.探索PA与PB+PC之间的数量关系，并说明理由.
答案：提示:$PA=PB+PC$. 理由:在 $PA$ 上取一点 $D$,使 $PD=PC$,连接 $CD$,则$△ PCD$ 是等边三角形. 再证$△ PBC≌△ DAC$ 即可.
解析：
【分析】
要证明两条短边的和等于长边，通常采用截长补短法。本题结合等边三角形和圆周角的性质，优先选截长法：在较长的PA上截取一段与PB或PC等长，再通过证明三角形全等，推导出剩余线段与另一条短边相等即可。首先由同弧所对的圆周角相等，可得∠APC=∠ABC=60°，若在PA上截取PD=PC，可先证△PCD为等边三角形，再推导△PBC与△DAC全等，将PB转化为AD即可得到结论。
【解析】
解：$PA=PB+PC$，理由如下：
1. 在$PA$上取一点$D$，使$PD=PC$，连接$CD$。
2. $\because△ ABC$是$\odot O$的内接等边三角形，
$\therefore AC=BC$，$∠ ABC=∠ ACB=60°$。
3. $\because∠ APC$和$∠ ABC$都是弧$AC$所对的圆周角，
$\therefore∠ APC=∠ ABC=60°$。
4. 又$\because PD=PC$，
$\therefore△ PCD$是等边三角形，
$\therefore PC=CD$，$∠ PCD=60°$。
5. $\because∠ ACB=∠ PCD=60°$，
$\therefore∠ ACB-∠ BCD=∠ PCD-∠ BCD$，即$∠ ACD=∠ BCP$。
6. 在$△ PBC$和$△ DAC$中：
$\begin{cases}BC=AC \\∠ BCP=∠ ACD \\PC=CD\end{cases}$
$\therefore△ PBC≌△ DAC(\mathrm{SAS})$。
7. $\therefore PB=AD$。
8. $\because PA=PD+AD$，$PD=PC$，$AD=PB$，
$\therefore PA=PB+PC$。
【答案】
$PA=PB+PC$
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与特殊三角形结合的典型题型，核心考查线段和差关系的证明方法，解题时利用截长补短法结合圆周角性质、全等三角形判定即可推导结论，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要证明两条短边的和等于长边，通常采用截长补短法。本题结合等边三角形和圆周角的性质，优先选截长法：在较长的PA上截取一段与PB或PC等长，再通过证明三角形全等，推导出剩余线段与另一条短边相等即可。首先由同弧所对的圆周角相等，可得∠APC=∠ABC=60°，若在PA上截取PD=PC，可先证△PCD为等边三角形，再推导△PBC与△DAC全等，将PB转化为AD即可得到结论。
【解析】
解：$PA=PB+PC$，理由如下：
1. 在$PA$上取一点$D$，使$PD=PC$，连接$CD$。
2. $\because△ ABC$是$\odot O$的内接等边三角形，
$\therefore AC=BC$，$∠ ABC=∠ ACB=60°$。
3. $\because∠ APC$和$∠ ABC$都是弧$AC$所对的圆周角，
$\therefore∠ APC=∠ ABC=60°$。
4. 又$\because PD=PC$，
$\therefore△ PCD$是等边三角形，
$\therefore PC=CD$，$∠ PCD=60°$。
5. $\because∠ ACB=∠ PCD=60°$，
$\therefore∠ ACB-∠ BCD=∠ PCD-∠ BCD$，即$∠ ACD=∠ BCP$。
6. 在$△ PBC$和$△ DAC$中：
$\begin{cases}BC=AC \\∠ BCP=∠ ACD \\PC=CD\end{cases}$
$\therefore△ PBC≌△ DAC(\mathrm{SAS})$。
7. $\therefore PB=AD$。
8. $\because PA=PD+AD$，$PD=PC$，$AD=PB$，
$\therefore PA=PB+PC$。
【答案】
$PA=PB+PC$
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与特殊三角形结合的典型题型，核心考查线段和差关系的证明方法，解题时利用截长补短法结合圆周角性质、全等三角形判定即可推导结论，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
1. 如图，AB是$\odot O$的直径，CD是弦，$∠ BCD=30°$，$OA=2$，则阴影部分的面积是（
A.$\dfrac{π}{3}$
B.$\dfrac{2π}{3}$
C.$π$
D.$2π$
B
）A.$\dfrac{π}{3}$
B.$\dfrac{2π}{3}$
C.$π$
D.$2π$
答案：1. B.
解析：
【分析】
要计算阴影部分的面积，首先观察图形可将阴影部分转化为扇形OBD的面积求解。解题思路如下：第一步，根据圆周角定理，由弧BD对应的圆周角∠BCD的度数，求出弧BD对应的圆心角∠BOD的度数；第二步，已知圆的半径OA=2，将圆心角度数和半径代入扇形面积公式，即可算出阴影部分的面积。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
∵∠BCD是弧BD所对的圆周角，∠BOD是弧BD所对的圆心角，且∠BCD=30°，
∴∠BOD=2∠BCD=2×30°=60°。
∵OA是⊙O的半径，OA=2，
∴⊙O的半径r=2，即扇形OBD的半径为2。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为扇形圆心角度数，r为扇形半径），代入n=60，r=2得：
$S_{阴影}=S_{扇形OBD}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题是圆相关计算的基础题型，解题的关键是熟练运用圆周角定理求圆心角度数，同时掌握将不规则阴影面积转化为规则图形面积的转化思想。
【难度系数】
0.8
要计算阴影部分的面积，首先观察图形可将阴影部分转化为扇形OBD的面积求解。解题思路如下：第一步，根据圆周角定理，由弧BD对应的圆周角∠BCD的度数，求出弧BD对应的圆心角∠BOD的度数；第二步，已知圆的半径OA=2，将圆心角度数和半径代入扇形面积公式，即可算出阴影部分的面积。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
∵∠BCD是弧BD所对的圆周角，∠BOD是弧BD所对的圆心角，且∠BCD=30°，
∴∠BOD=2∠BCD=2×30°=60°。
∵OA是⊙O的半径，OA=2，
∴⊙O的半径r=2，即扇形OBD的半径为2。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为扇形圆心角度数，r为扇形半径），代入n=60，r=2得：
$S_{阴影}=S_{扇形OBD}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题是圆相关计算的基础题型，解题的关键是熟练运用圆周角定理求圆心角度数，同时掌握将不规则阴影面积转化为规则图形面积的转化思想。
【难度系数】
0.8
2. 圆的周长为 $12π$，则这个圆的直径是
12
。答案：2. 12.
解析：
【分析】
解题时首先回忆圆的周长和直径的关系公式，明确已知周长求直径的推导思路：圆的周长公式为$C=π d$（$C$代表周长，$d$代表直径），对公式变形可得$d=C÷π$，将已知的周长数值代入变形后的公式，就能算出直径的长度。
【解析】
解：设该圆的直径为$d$，根据圆的周长公式：$\boldsymbol{C=π d}$（$C$为周长，$d$为直径）
已知圆的周长$C=12π$，代入公式可得：
$12π=π d$
等式两边同时除以$π$，解得$d=12$
【答案】
12
【知识点】
圆的周长公式、等式的基本性质
【点评】
本题是基础题型，主要考查圆的周长公式的直接应用，熟练掌握圆的周长公式及简单变形即可快速求解，是圆相关计算的常考基础题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆圆的周长和直径的关系公式，明确已知周长求直径的推导思路：圆的周长公式为$C=π d$（$C$代表周长，$d$代表直径），对公式变形可得$d=C÷π$，将已知的周长数值代入变形后的公式，就能算出直径的长度。
【解析】
解：设该圆的直径为$d$，根据圆的周长公式：$\boldsymbol{C=π d}$（$C$为周长，$d$为直径）
已知圆的周长$C=12π$，代入公式可得：
$12π=π d$
等式两边同时除以$π$，解得$d=12$
【答案】
12
【知识点】
圆的周长公式、等式的基本性质
【点评】
本题是基础题型，主要考查圆的周长公式的直接应用，熟练掌握圆的周长公式及简单变形即可快速求解，是圆相关计算的常考基础题。
【难度系数】
0.9
3. 扇形的面积为$6π$，半径为4，则扇形的弧长$l=$
$3π$
（结果保留$π$）。答案：3. $3π$.
解析：
【分析】
首先回忆扇形面积的相关公式，扇形面积有两种常用表达形式：一是用圆心角和半径表示的$ S_{\mathrm{扇}}=\frac{nπ R^2}{360} $，二是用弧长和半径表示的$ S_{\mathrm{扇}}=\frac{1}{2}lR $。题目已知扇形面积和半径，要求弧长，选择第二种公式更简便，无需额外计算圆心角，直接对公式变形后代入数值计算即可。
【解析】
解：已知扇形面积$ S=6π $，半径$ R=4 $。
根据扇形面积与弧长的关系公式：$ S=\frac{1}{2}lR $，
变形可得弧长计算公式：$ l=\frac{2S}{R} $，
将已知数值代入公式得：$ l=\frac{2×6π}{4}=3π $。
【答案】
$ 3π $
【知识点】
1. 扇形面积公式 2. 弧长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查扇形面积公式的灵活运用，选择用弧长和半径表示的扇形面积公式可大幅简化计算过程，减少计算量。
【难度系数】
0.8
首先回忆扇形面积的相关公式，扇形面积有两种常用表达形式：一是用圆心角和半径表示的$ S_{\mathrm{扇}}=\frac{nπ R^2}{360} $，二是用弧长和半径表示的$ S_{\mathrm{扇}}=\frac{1}{2}lR $。题目已知扇形面积和半径，要求弧长，选择第二种公式更简便，无需额外计算圆心角，直接对公式变形后代入数值计算即可。
【解析】
解：已知扇形面积$ S=6π $，半径$ R=4 $。
根据扇形面积与弧长的关系公式：$ S=\frac{1}{2}lR $，
变形可得弧长计算公式：$ l=\frac{2S}{R} $，
将已知数值代入公式得：$ l=\frac{2×6π}{4}=3π $。
【答案】
$ 3π $
【知识点】
1. 扇形面积公式 2. 弧长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查扇形面积公式的灵活运用，选择用弧长和半径表示的扇形面积公式可大幅简化计算过程，减少计算量。
【难度系数】
0.8
4. 如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为
$\dfrac{3}{8}π$
（结果保留π）。答案：4. $\dfrac{3}{8}π$.
解析：
【分析】
本题要求三个阴影扇形的面积和，首先观察三个扇形的特征：所有扇形的半径都等于小正方形的边长1，半径相等，因此不需要分别计算每个扇形的面积，只需要先求出三个扇形的圆心角的总和，再代入扇形面积公式整体计算即可。第一步先确定半径$r=1$；第二步计算圆心角总和：右上角扇形的圆心角是等腰直角三角形的锐角，为$45°$，剩余两个扇形的圆心角是直角三角形的两个锐角，和为$90°$，可得总圆心角为$135°$；第三步代入扇形面积公式求解即可。
【解析】
解：由图可知，三个阴影扇形的半径都等于小正方形的边长，即$r=1$。
观察三个扇形的圆心角：
1. 右上角扇形的圆心角为等腰直角三角形的锐角，大小为$45°$；
2. 左上角和左下角两个扇形的圆心角是直角三角形的两个锐角，二者和为$90°$。
因此三个扇形的圆心角总和$n=45°+90°=135°$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，将$n=135°$，$r=1$代入得：
$S_{阴影}=\frac{135π×1^2}{360}=\frac{3}{8}π$
【答案】
$\dfrac{3}{8}π$
【知识点】
扇形面积计算；三角形内角和
【点评】
本题解题的核心技巧是整体运算，通过合并圆心角简化计算过程，避免分别计算每个扇形面积的繁琐，主要考查学生的图形观察能力和整体思想。
【难度系数】
0.7
本题要求三个阴影扇形的面积和，首先观察三个扇形的特征：所有扇形的半径都等于小正方形的边长1，半径相等，因此不需要分别计算每个扇形的面积，只需要先求出三个扇形的圆心角的总和，再代入扇形面积公式整体计算即可。第一步先确定半径$r=1$；第二步计算圆心角总和：右上角扇形的圆心角是等腰直角三角形的锐角，为$45°$，剩余两个扇形的圆心角是直角三角形的两个锐角，和为$90°$，可得总圆心角为$135°$；第三步代入扇形面积公式求解即可。
【解析】
解：由图可知，三个阴影扇形的半径都等于小正方形的边长，即$r=1$。
观察三个扇形的圆心角：
1. 右上角扇形的圆心角为等腰直角三角形的锐角，大小为$45°$；
2. 左上角和左下角两个扇形的圆心角是直角三角形的两个锐角，二者和为$90°$。
因此三个扇形的圆心角总和$n=45°+90°=135°$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，将$n=135°$，$r=1$代入得：
$S_{阴影}=\frac{135π×1^2}{360}=\frac{3}{8}π$
【答案】
$\dfrac{3}{8}π$
【知识点】
扇形面积计算；三角形内角和
【点评】
本题解题的核心技巧是整体运算，通过合并圆心角简化计算过程，避免分别计算每个扇形面积的繁琐，主要考查学生的图形观察能力和整体思想。
【难度系数】
0.7