问题 如图,把$Rt△ ABC$的斜边AB放在定直线$l$上,按顺时针方向在$l$上转动两次,使它转到$△ A''B''C''$位置,设$BC=1,AC=\sqrt{3}$,则顶点A运动到点$A''$的位置时,点A经过的路线长是;点A经过的路线与直线$l$所围成的面积是.
名师指导
$Rt△ ABC$转动两次,每一次的圆心、半径、旋转的角度都不一样,因此,要进行分步计算.第一次是以B为圆心,AB长为半径旋转,则A经过的路线是以B为圆心,AB长为半径的弧;第二次是以$C'$为圆心,$A'C'$(即AC)长为半径旋转,则A经过的路线是以$C'$为圆心,$A'C'$长为半径的弧.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
名师指导
$Rt△ ABC$转动两次,每一次的圆心、半径、旋转的角度都不一样,因此,要进行分步计算.第一次是以B为圆心,AB长为半径旋转,则A经过的路线是以B为圆心,AB长为半径的弧;第二次是以$C'$为圆心,$A'C'$(即AC)长为半径旋转,则A经过的路线是以$C'$为圆心,$A'C'$长为半径的弧.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
答案：点$A$经过的路线长是$\boldsymbol{\frac{(8+3\sqrt{3})π}{6}}$；点$A$经过的路线与直线$l$所围成的面积是$\boldsymbol{\frac{25π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}}$。
解析：
【分析】
首先根据Rt△ABC的直角边长求出斜边长度和内角∠ABC的度数，再明确两次旋转的对应参数：第一次以B为圆心、AB长为半径，旋转角度为180°减∠ABC的度数；第二次以C'为圆心、AC长为半径，旋转角度为90°。点A的路线长为两次旋转对应弧长之和，路线与直线l围成的面积为两个扇形面积加中间三角形的面积之和。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=√3，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2$，
$\cos∠ ABC=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$，故$∠ ABC=60°$，即$∠ A'BC'=∠ ABC=60°$。
1. 计算点A经过的路线长：
第一次绕点B顺时针旋转，旋转角为$180°-60°=120°$，半径$r_1=AB=2$，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，得第一段弧长$l_1=\frac{120π×2}{180}=\frac{4π}{3}$；
第二次绕点C'顺时针旋转，旋转角为$90°$，半径$r_2=A'C'=AC=\sqrt{3}$，
第二段弧长$l_2=\frac{90π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{2}$；
总路线长$l=l_1+l_2=\frac{4π}{3}+\frac{\sqrt{3}π}{2}=\frac{(8+3\sqrt{3})π}{6}$。
2. 计算路线与直线l围成的面积：
第一个扇形（圆心为B，半径2，圆心角120°）的面积：
$S_1=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{120π×2^2}{360}=\frac{4π}{3}$；
第二个扇形（圆心为C'，半径$\sqrt{3}$，圆心角90°）的面积：
$S_2=\frac{90π×(\sqrt{3})^2}{360}=\frac{3π}{4}$；
中间$△ A'BC'$的面积与原Rt△ABC面积相等：
$S_3=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
总面积$S=S_1+S_2+S_3=\frac{4π}{3}+\frac{3π}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{25π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
点A经过的路线长是$\frac{(8+3\sqrt{3})π}{6}$；点A经过的路线与直线$l$所围成的面积是$\frac{25π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【知识点】
弧长公式应用，扇形面积计算，旋转的性质
【点评】
本题是图形旋转与弧长、扇形面积计算的综合题型，解题的核心是准确找到两次旋转的圆心、旋转半径和旋转角度，分步计算各部分量后再合并求和，能有效考查对旋转性质和扇形相关公式的掌握程度。
【难度系数】
0.6
首先根据Rt△ABC的直角边长求出斜边长度和内角∠ABC的度数，再明确两次旋转的对应参数：第一次以B为圆心、AB长为半径，旋转角度为180°减∠ABC的度数；第二次以C'为圆心、AC长为半径，旋转角度为90°。点A的路线长为两次旋转对应弧长之和，路线与直线l围成的面积为两个扇形面积加中间三角形的面积之和。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=√3，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2$，
$\cos∠ ABC=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$，故$∠ ABC=60°$，即$∠ A'BC'=∠ ABC=60°$。
1. 计算点A经过的路线长：
第一次绕点B顺时针旋转，旋转角为$180°-60°=120°$，半径$r_1=AB=2$，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，得第一段弧长$l_1=\frac{120π×2}{180}=\frac{4π}{3}$；
第二次绕点C'顺时针旋转，旋转角为$90°$，半径$r_2=A'C'=AC=\sqrt{3}$，
第二段弧长$l_2=\frac{90π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{2}$；
总路线长$l=l_1+l_2=\frac{4π}{3}+\frac{\sqrt{3}π}{2}=\frac{(8+3\sqrt{3})π}{6}$。
2. 计算路线与直线l围成的面积：
第一个扇形（圆心为B，半径2，圆心角120°）的面积：
$S_1=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{120π×2^2}{360}=\frac{4π}{3}$；
第二个扇形（圆心为C'，半径$\sqrt{3}$，圆心角90°）的面积：
$S_2=\frac{90π×(\sqrt{3})^2}{360}=\frac{3π}{4}$；
中间$△ A'BC'$的面积与原Rt△ABC面积相等：
$S_3=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
总面积$S=S_1+S_2+S_3=\frac{4π}{3}+\frac{3π}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{25π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
点A经过的路线长是$\frac{(8+3\sqrt{3})π}{6}$；点A经过的路线与直线$l$所围成的面积是$\frac{25π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【知识点】
弧长公式应用，扇形面积计算，旋转的性质
【点评】
本题是图形旋转与弧长、扇形面积计算的综合题型，解题的核心是准确找到两次旋转的圆心、旋转半径和旋转角度，分步计算各部分量后再合并求和，能有效考查对旋转性质和扇形相关公式的掌握程度。
【难度系数】
0.6
1. 如图,有一长为4 cm,宽为3 cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向),木板上的顶点A的位置变化为A→A₁→A₂,其中第二次翻滚被桌面上一个小木块挡住,使木板边沿A₂C与桌面成30°角,则点A翻滚到A₂位置时,共走过的路径长为 (
A.10 cm
B.3.5π cm
C.4.5π cm
D.2.5π cm
B
)A.10 cm
B.3.5π cm
C.4.5π cm
D.2.5π cm
答案：1. B.
解析：
【分析】
要解决这道题，首先明确点A的运动路径是两段不同的圆弧，需分别计算两段弧长再求和。解题思路如下：1. 确定第一次翻滚的旋转中心、旋转半径和旋转角：第一次绕B点顺时针旋转90°，旋转半径是长方形的对角线，用勾股定理可求出半径长度，再用弧长公式计算第一段弧长；2. 确定第二次翻滚的旋转中心、旋转半径和旋转角：第二次绕C点旋转，结合A₂C与桌面成30°的条件推导旋转角度，旋转半径为长方形的宽，计算第二段弧长；3. 两段弧长相加得到总路径长。
【解析】
已知长方形长4cm，宽3cm，根据勾股定理可得长方形对角线长度为$\sqrt{3^2+4^2}=5\mathrm{cm}$。
1. 第一次翻滚：以B为旋转中心，顺时针旋转90°，旋转半径为长方形对角线长5cm，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，第一段弧长：
$l_1=\frac{90π×5}{180}=2.5π\mathrm{cm}$
2. 第二次翻滚：以C为旋转中心，原长方形侧边与桌面垂直，因A₂C与桌面成30°角，故旋转角度为$90°-30°=60°$，旋转半径为长方形的宽3cm，第二段弧长：
$l_2=\frac{60π×3}{180}=π\mathrm{cm}$
3. 总路径长为两段弧长之和：$l=l_1+l_2=2.5π+π=3.5π\mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
弧长计算，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题是旋转与弧长计算结合的典型题型，易错点是误判两次旋转的半径和旋转角度，解题时要结合翻滚的实际过程分析运动轨迹，准确提取各参数代入公式计算即可。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确点A的运动路径是两段不同的圆弧，需分别计算两段弧长再求和。解题思路如下：1. 确定第一次翻滚的旋转中心、旋转半径和旋转角：第一次绕B点顺时针旋转90°，旋转半径是长方形的对角线，用勾股定理可求出半径长度，再用弧长公式计算第一段弧长；2. 确定第二次翻滚的旋转中心、旋转半径和旋转角：第二次绕C点旋转，结合A₂C与桌面成30°的条件推导旋转角度，旋转半径为长方形的宽，计算第二段弧长；3. 两段弧长相加得到总路径长。
【解析】
已知长方形长4cm，宽3cm，根据勾股定理可得长方形对角线长度为$\sqrt{3^2+4^2}=5\mathrm{cm}$。
1. 第一次翻滚：以B为旋转中心，顺时针旋转90°，旋转半径为长方形对角线长5cm，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，第一段弧长：
$l_1=\frac{90π×5}{180}=2.5π\mathrm{cm}$
2. 第二次翻滚：以C为旋转中心，原长方形侧边与桌面垂直，因A₂C与桌面成30°角，故旋转角度为$90°-30°=60°$，旋转半径为长方形的宽3cm，第二段弧长：
$l_2=\frac{60π×3}{180}=π\mathrm{cm}$
3. 总路径长为两段弧长之和：$l=l_1+l_2=2.5π+π=3.5π\mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
弧长计算，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题是旋转与弧长计算结合的典型题型，易错点是误判两次旋转的半径和旋转角度，解题时要结合翻滚的实际过程分析运动轨迹，准确提取各参数代入公式计算即可。
【难度系数】
0.6
2. 一个扇形的圆心角是$120°$，面积是$3π \ \mathrm{cm}^2$，那么这个扇形的半径是
3
cm答案：2. 3.
解析：
【分析】
已知扇形的圆心角度数和面积，要求半径，首先回忆圆心角为度数形式的扇形面积公式：$S=\frac{nπ R^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）。解题时先设半径为未知数，将已知的圆心角、面积代入公式得到关于半径的方程，求解后结合半径为正数的实际意义，即可得到半径的长度。
【解析】
设这个扇形的半径为$R\ \mathrm{cm}$，根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$，将$n=120°$，$S_{\mathrm{扇形}}=3π\ \mathrm{cm}^2$代入得：
$\frac{120π R^2}{360}=3π$
化简左边得：$\frac{π R^2}{3}=3π$
两边同时除以不为0的$π$，得：$\frac{R^2}{3}=3$
两边同乘3得：$R^2=9$
因为半径为正数，所以$R=\sqrt{9}=3$
【答案】
3
【知识点】
扇形面积公式，算术平方根的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查扇形面积公式的运用，解题时准确代入已知条件，注意半径为正值的隐含条件即可求解，计算过程中注意约分化简，避免不必要的计算失误。
【难度系数】
0.85
已知扇形的圆心角度数和面积，要求半径，首先回忆圆心角为度数形式的扇形面积公式：$S=\frac{nπ R^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）。解题时先设半径为未知数，将已知的圆心角、面积代入公式得到关于半径的方程，求解后结合半径为正数的实际意义，即可得到半径的长度。
【解析】
设这个扇形的半径为$R\ \mathrm{cm}$，根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$，将$n=120°$，$S_{\mathrm{扇形}}=3π\ \mathrm{cm}^2$代入得：
$\frac{120π R^2}{360}=3π$
化简左边得：$\frac{π R^2}{3}=3π$
两边同时除以不为0的$π$，得：$\frac{R^2}{3}=3$
两边同乘3得：$R^2=9$
因为半径为正数，所以$R=\sqrt{9}=3$
【答案】
3
【知识点】
扇形面积公式，算术平方根的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查扇形面积公式的运用，解题时准确代入已知条件，注意半径为正值的隐含条件即可求解，计算过程中注意约分化简，避免不必要的计算失误。
【难度系数】
0.85
3. 如图,某小区要绿化一扇形OAB空地,准备在小扇形OCD内种花,在其余区域内(阴影部分)种草,测得$∠ AOB=120°,OA=15\ \mathrm{m},OC=10\ \mathrm{m}$,则种草区域的面积为
$\dfrac{125π}{3}\mathrm{m}^2$
.答案：3. $\dfrac{125π}{3}\mathrm{m}^2$.
解析：
【分析】
要求种草区域（阴影部分）的面积，观察图形可知阴影部分是扇环，面积等于大扇形OAB的面积减去小扇形OCD的面积。已知两个扇形的圆心角均为120°，半径分别为OA=15m、OC=10m，只需代入扇形面积公式分别计算两个扇形的面积，再作差即可得到结果。
【解析】
阴影部分（种草区域）的面积 = 大扇形OAB的面积 - 小扇形OCD的面积。
扇形面积公式为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）。
已知$∠ AOB=120°$，$OA=15\ \mathrm{m}$，$OC=10\ \mathrm{m}$，代入得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=\frac{120π×15^2}{360}-\frac{120π×10^2}{360}\\&=\frac{1}{3}π×(225 - 100)\\&=\frac{125π}{3}\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{125π}{3}\mathrm{m}^2$
【知识点】
扇形面积计算，组合图形面积求解
【点评】
本题考查扇环类阴影面积的计算，解题核心是明确阴影面积可通过两个同圆心角的扇形面积作差得到，只要熟练掌握扇形面积公式就能快速求解，是扇形面积应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
要求种草区域（阴影部分）的面积，观察图形可知阴影部分是扇环，面积等于大扇形OAB的面积减去小扇形OCD的面积。已知两个扇形的圆心角均为120°，半径分别为OA=15m、OC=10m，只需代入扇形面积公式分别计算两个扇形的面积，再作差即可得到结果。
【解析】
阴影部分（种草区域）的面积 = 大扇形OAB的面积 - 小扇形OCD的面积。
扇形面积公式为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）。
已知$∠ AOB=120°$，$OA=15\ \mathrm{m}$，$OC=10\ \mathrm{m}$，代入得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=\frac{120π×15^2}{360}-\frac{120π×10^2}{360}\\&=\frac{1}{3}π×(225 - 100)\\&=\frac{125π}{3}\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{125π}{3}\mathrm{m}^2$
【知识点】
扇形面积计算，组合图形面积求解
【点评】
本题考查扇环类阴影面积的计算，解题核心是明确阴影面积可通过两个同圆心角的扇形面积作差得到，只要熟练掌握扇形面积公式就能快速求解，是扇形面积应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8